閆成海

(西安文理學(xué)院 信息工程學(xué)院，西安　710065)

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[教育教學(xué)研究]

淺論東西方數(shù)學(xué)文化形成的差異
——基于《九章算術(shù)》與《幾何原本》的比較

閆成海

(西安文理學(xué)院 信息工程學(xué)院，西安710065)

《九章算術(shù)》與《幾何原本》是東西方數(shù)學(xué)史上的巨著，反映著不同的數(shù)學(xué)文化背景。將從東西方文化形成的角度解讀，差異主要體現(xiàn)在：在文化中的層次不同，《幾何原本》代表的是精神層次，《九章算術(shù)》代表的是技術(shù)層次；在社會文化中的追求不同，《幾何原本》追求真理，《九章算術(shù)》追求實(shí)用；在社會文化中導(dǎo)致的結(jié)果不同，《幾何原本》導(dǎo)致了數(shù)學(xué)理性的產(chǎn)生，《九章算術(shù)》導(dǎo)致了實(shí)用性的產(chǎn)生。

九章算術(shù)；幾何原本；文化差異；比較

《九章算術(shù)》與《幾何原本》是數(shù)學(xué)史上兩大巨著，代表著古代東西方數(shù)學(xué)發(fā)展的最高水平，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的源泉。兩書的思考和比較研究對于了解數(shù)學(xué)歷史和發(fā)展有著重要的促進(jìn)作用，因此兩書的比較也就從未停止過。鄧宗琦對兩書從成書的背景、內(nèi)容、數(shù)學(xué)方法等方面做出了比較。[1]張維忠從文化角度對《幾何原本》進(jìn)行了思考。[2]70-73王曉亞提出了數(shù)學(xué)教育視野下的比較。[3]22-26黃秦安從文化差異進(jìn)行了比較。[4]這些比較已經(jīng)從開始的數(shù)學(xué)比較走向了數(shù)學(xué)文化觀的比較，對于我們現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育有著積極的作用。

本文將從東西方數(shù)學(xué)文化形成的差異進(jìn)行比較：

一、《幾何原本》與《九章算術(shù)》在文化中的層次不同

數(shù)學(xué)是人類社會生產(chǎn)實(shí)踐活動的產(chǎn)物。M·克萊因認(rèn)為數(shù)學(xué)在西方的文明史中扮演著非常重要的作用，反映著時代的特征，“一個時代的特征在很大程度上與該時代的數(shù)學(xué)密切相關(guān)”，[5]9-20從某種程度上來說，人類的發(fā)展史就是一部人類的數(shù)學(xué)史。

1.《幾何原本》在西方社會文化中處于精神層次

古巴比倫和古埃及留給人類豐厚的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。這些數(shù)學(xué)遺產(chǎn)主要是集中在簡單的代數(shù)與幾何知識，在實(shí)踐中有著豐富的運(yùn)用。古巴比倫和古埃及的數(shù)學(xué)本質(zhì)上是經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)。希臘數(shù)學(xué)雖然來自于巴比倫和埃及，但是古希臘的哲人們并不滿足于此，由于“希臘人是天才的哲學(xué)家，他們熱愛理性，愛好精神活動，這就使得他們與其他民族有著重大的區(qū)別”。[6]27

希臘人抽象出數(shù)學(xué)的概念，運(yùn)用了演繹的手段，開始了一段數(shù)學(xué)新的歷程。在古希臘時期，哲學(xué)、數(shù)學(xué)、藝術(shù)是很難分開的。就像畢達(dá)哥拉斯學(xué)派堅(jiān)稱的“萬物皆可數(shù)”以及柏拉圖“不懂幾何者勿入”，這些都是宗教、數(shù)學(xué)、哲學(xué)很難分開的一個側(cè)面。也就是說，從古希臘的雅典時期，數(shù)學(xué)在社會文化層面就有著神秘的宗教和哲學(xué)味道。數(shù)學(xué)是哲學(xué)，哲學(xué)是數(shù)學(xué)，這就使得古希臘的數(shù)學(xué)在充滿著神秘、宗教和哲學(xué)氛圍中處于文化的系統(tǒng)中一種精神層次?！肮畔ＥD人最大限度決定著今天文明本質(zhì)的貢獻(xiàn)，則是他們的數(shù)學(xué)?！盵6]27

2.《九章算術(shù)》在東方社會文化系統(tǒng)中處于技術(shù)層次

“在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，如果數(shù)學(xué)失去了神秘的巫術(shù)，宗教的解釋作用，那么數(shù)學(xué)在文化系統(tǒng)中就只能處于技術(shù)的子系統(tǒng)，很難對文化系統(tǒng)的精神子系統(tǒng)發(fā)生影響。”[7]《九章算術(shù)》是一個問題集，顯然每道題都給出了答案，但是大部分的題目并沒有具體的計(jì)算過程，但是可以套用具體的解題步驟得出答案。解題步驟使用了算籌。算籌在中國數(shù)學(xué)中也僅僅是作為一種運(yùn)算工具，而宗教的神秘性被周易所取代，東方的數(shù)學(xué)與宗教的神秘性是分開的。

《九章算術(shù)》在社會文化系統(tǒng)中所處的地位。一方面，與自身發(fā)展不足有關(guān)，缺少演繹邏輯體系，另一方面，與傳統(tǒng)社會的價(jià)值取向有關(guān)，中國古代數(shù)學(xué)有明顯的重實(shí)用思想的傾向，“中國的古代數(shù)學(xué)處于技藝層面,遵守匠人技藝的用進(jìn)廢退的原則”。[5]9-20

以《九章算術(shù)》為代表的東方數(shù)學(xué)就只能處在文化系統(tǒng)的子系統(tǒng)技術(shù)層面，還無法上升到文化系統(tǒng)中的精神層面,使得《九章算術(shù)》成為在生產(chǎn)實(shí)際中遇到各種問題的一個參考工具，它對于上層建筑幾乎沒有任何影響，只能服務(wù)于上層建筑。

3.《幾何原本》與《九章算術(shù)》文化層次的差異

《幾何原本》嚴(yán)密的演繹體系，成為在社會文化系統(tǒng)中的精神財(cái)富，深深地影響著西方人的思維習(xí)慣?！毒耪滤阈g(shù)》以歸納為主，是一種技術(shù)層面的，是經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，來自于實(shí)踐又應(yīng)用于實(shí)踐，缺少社會神秘性、宗教性的緊密結(jié)合，也缺乏演繹體系，在技術(shù)層次孤獨(dú)的發(fā)展，喪失了數(shù)學(xué)在社會進(jìn)步歷程中的精神作用，剩下的也就是它的實(shí)用性。

二、《幾何原本》與《九章算術(shù)》在社會文化中的追求不同

《幾何原本》與《九章算術(shù)》在社會文化系統(tǒng)中所處的地位和層次不同，這就決定了它們在追求上有所區(qū)別。

1.《幾何原本》追求真理，追求美的本質(zhì)

哲學(xué)的意義在于追求真理、追求美的本質(zhì)。古希臘人是天生的哲學(xué)家，熱衷討論生與死、生命不朽、精神的本質(zhì)、善惡之分等問題。希臘人為了定義直線，線由點(diǎn)構(gòu)成。那點(diǎn)又是什么？他們說“點(diǎn)是沒有部分的”。按照邏輯體系就應(yīng)該打破沙鍋問到底，那部分又是什么呢？如果我們這樣無休止地問下去，永遠(yuǎn)都不會有結(jié)果，所以希臘人聰明地解決了這個問題。討論問題的一個起點(diǎn)，這個起點(diǎn)就是基礎(chǔ)，這個基礎(chǔ)大家一看就明白，無需過多解釋。《幾何原本》就是在建立在23條定義、5條公設(shè)5條公理之上的。所有的問題就是以此為基礎(chǔ)從這些展開。

每一步的證明都是基于一定公理、公設(shè)和定義，利用了無懈可擊的前提，從而得出了無懈可擊的結(jié)論。《幾何原本》的思維習(xí)慣是建立在演繹基礎(chǔ)上，這樣做的就可以體現(xiàn)一種求真的科學(xué)態(tài)度?！拔釔畚釒?，吾更愛真理?！?幾何就是最好的追求真理的藍(lán)本，討論幾何就如同討論真理，《幾何原本》是追求真理、追求美的化身。

2.《九章算術(shù)》追求實(shí)用，應(yīng)用于社會

技術(shù)是技能，是工具，服務(wù)于社會，追求實(shí)用?！毒耪滤阈g(shù)》顧名思義就是九種計(jì)算技術(shù)的總結(jié)，是一本問題集，全書包含了九類問題，涵蓋了246個問題，以工具書的方式呈現(xiàn)給人們。對每一個問題首先提出問題；其次，答曰就是給出了答案；最后，給出了解決方法就是術(shù)曰?！毒耪滤阈g(shù)》追求的就是如何更好地服務(wù)社會。

《幾何原本》作為演繹體系的范本，在思維上影響著西方世界，《九章算術(shù)》是一種術(shù)，術(shù)的流傳方式就顯得很特別。因?yàn)樵谥貙?shí)用的民族文化中，實(shí)用的內(nèi)容就以實(shí)用的方式流傳，很難以一種智慧、理性創(chuàng)造的方式流傳，這是《九章算術(shù)》在傳播方式上與《幾何原本》的一個根本區(qū)別?！毒耪滤阈g(shù)》作為中國古代的數(shù)學(xué)教材， “自然注重?cái)?shù)學(xué)知識的應(yīng)用，以實(shí)際研究對象并以服務(wù)于實(shí)際為目的。數(shù)學(xué)結(jié)論是在實(shí)踐中通過觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、歸納的結(jié)果，這就很難超越直觀經(jīng)驗(yàn)和具體運(yùn)算而發(fā)展演繹推理。”[3]22-26中國古代的數(shù)學(xué)來自于生活而又服務(wù)于生活，是經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，在獲取知識方面缺乏推理工具，也只把數(shù)學(xué)作為一種工具，視為術(shù)，一種技能，也就成了少數(shù)人謀生的手段和技能。

3.導(dǎo)致文化上追求的差異

古希臘數(shù)學(xué)是追求真理、追求美，通過幾何的方式來追求美，歐幾里得幾何是靜態(tài)的，就使得文化中的美是一種靜態(tài)的美。古希臘人的生活受到這種影響，古希臘廟宇的寧靜也是歐氏幾何靜態(tài)的一種反應(yīng)。他們的雕刻圖形也是靜態(tài)、冷漠的，給人以心安理得的安逸，就如同等邊三角形喚起的情感。

《九章算術(shù)》是中國文化下的產(chǎn)物，在文化中起著積極的作用。中國古代的數(shù)學(xué)家是一個特殊的群體?；I算只能從技藝工匠層面吸收實(shí)用人才,中國歷史中宋元數(shù)學(xué)的大發(fā)展恰是朝代更替才使部分士大夫仕途中斷,投向數(shù)學(xué)以求自身價(jià)值之實(shí)現(xiàn)(如秦九韶、李冶)。由此,才形成了獨(dú)特的宋元數(shù)學(xué)。[8]

三、《幾何原本》與《九章算術(shù)》在社會文化中導(dǎo)致的結(jié)果不同

方向引導(dǎo)目標(biāo)的形成，層次決定著走向。《幾何原本》與《九章算術(shù)》在文化層次上的差異和追求方向的不同，自然也就導(dǎo)致了兩種不同的結(jié)果。

1.數(shù)學(xué)理性的產(chǎn)生

在古希臘思想體系中已經(jīng)很難把理性因素與美學(xué)因素、道德因素分開。歐氏幾何已經(jīng)深深地影響到古希臘人的學(xué)習(xí)、生活以及行為方式，它們已是一個整體。“我們把那種孕育于古希臘文明、并伴隨著近代自然科學(xué)的形成和逐步發(fā)展逐步定型和不斷得到加強(qiáng)的西方理性精神成為數(shù)學(xué)理性。”[9]。

數(shù)學(xué)理性起源于古希臘，形成于西方文藝復(fù)興時期，由近代的西方行為理性而來。也就是說，在本質(zhì)上是受到古希臘數(shù)學(xué)中三段論的影響，來源于歐氏范疇，換句話說，主要就是“接受已知，就要接受結(jié)果”。數(shù)學(xué)理性是西方數(shù)學(xué)文化的一種主要力量，在西方文化中扮演著重要角色，對于西方的行為也起著某種潛在的影響。

數(shù)學(xué)發(fā)展史上的三次危機(jī)促進(jìn)了數(shù)學(xué)發(fā)展，雖然數(shù)學(xué)危機(jī)的形成主要是西方人演繹體系下的數(shù)學(xué)的解釋出現(xiàn)問題，但是從另一個側(cè)面更促成了和培養(yǎng)了這種數(shù)學(xué)理性，讓人們更加懂得了“接受已知，就要接受結(jié)論”。規(guī)則一旦形成，誰打破都會帶來災(zāi)難。

從古希臘時代以來，幾百代人通過學(xué)習(xí)歐幾里得幾何學(xué)，掌握了如何進(jìn)行推理的方法。歐幾里得幾何學(xué)的重要性，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了自身的數(shù)學(xué)特征，已經(jīng)發(fā)展為一門藝術(shù)，更是一種精神，一種理性的精神。

2.實(shí)用性的產(chǎn)生

《九章算術(shù)》注重實(shí)用，導(dǎo)致注重結(jié)果。導(dǎo)向上數(shù)學(xué)理性“接受已知，就要接受結(jié)論”。數(shù)學(xué)實(shí)用性，只管結(jié)果，不管已知，或者說，接受已知，而不接受結(jié)果。按照這種思維，在我們這個社會產(chǎn)生的大部分問題都可以用這個來解釋。我們社會沒有形成一種理性文明，重要的就在于我們?nèi)狈@種理性文明。

一個學(xué)科上升為理性的層面，既在于這個學(xué)科本身因素，也又在于這個民族文化對這個學(xué)科的定位?！毒耪滤阈g(shù)》作為我們文化的技術(shù)層次，無法上升到精神層面，但是作為文化系統(tǒng)的子系統(tǒng)技術(shù)工具深深地影響著我們的民族文化。

以《九章算術(shù)》為代表的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué),大部分以“管理數(shù)學(xué)”的形式出現(xiàn),目的是為了丈量田畝、興修水利、分配勞力、計(jì)算稅收、運(yùn)輸糧食等國家管理的實(shí)用目標(biāo)，缺乏理性探討作用。

文化影響著數(shù)學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)在社會中的作用又影響著文化的發(fā)展。19世紀(jì)前的中國數(shù)學(xué)教育觀，主要受《九章算術(shù)》的影響，認(rèn)為數(shù)學(xué)是來源于生產(chǎn)生活,服務(wù)于社會生產(chǎn)發(fā)展，具有濃厚的實(shí)用和功利色彩。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育是一種實(shí)用性教育，再加上民族文化的潛移默化,使得中國古代的文化增添的濃厚的實(shí)用性色彩和實(shí)用主義。

四、《幾何原本》與《九章算術(shù)》在社會文化中的差異，最終走向殊途同歸

《幾何原本》和《九章算術(shù)》代表了兩種數(shù)學(xué)文化，在各自的領(lǐng)地獨(dú)自發(fā)展和壯大，深深地影響著各自的數(shù)學(xué)文化，在東西方文化形成和發(fā)展過程中起著非常重要的作用。世界已經(jīng)越來越小，文化的交流和碰撞已不不可避免，作為歐氏范疇的幾何文化和九章實(shí)用性文化交流和碰撞就不可避免。

1.《九章算術(shù)》實(shí)用性的缺陷

《幾何原本》自引入我國以來，給數(shù)學(xué)教育引入了一股清風(fēng)，影響著數(shù)學(xué)的發(fā)展。我國一直作為一種數(shù)學(xué)知識來學(xué)習(xí)，注重《幾何原本》的實(shí)用性，卻忽視它的文化性。它的引入依然把它作為一種數(shù)學(xué)工具看待，這種狀況至今也未有本質(zhì)上的變化。直到數(shù)學(xué)文化的引入，人們才在思想上有所認(rèn)識。

數(shù)學(xué)的思想文化觀念并沒有成為民族深層次文化心理中的積淀物，還難以成為流淌在民族文化血液中的東西。西方數(shù)學(xué)發(fā)展過程中產(chǎn)生了三次危機(jī)，讓他們有很深的體會，規(guī)則一旦破壞，造成的影響是巨大的。

2.《幾何原本》數(shù)學(xué)理性的缺陷

任何事物從哲學(xué)角度都是一分為二，既有積極一面又有消極一面。西方這種數(shù)學(xué)理性它的最大特點(diǎn)就是體現(xiàn)演繹，注重邏輯體系，但是存在這一個致命的缺點(diǎn)就是沒有人，忽視了人的因素。歐氏幾何范式下的科學(xué)使得人們僅從物質(zhì)的成就來理解科學(xué)，卻不去思考生命的價(jià)值，思考科學(xué)的意義。這就造成了科學(xué)文化與人文化之間的分裂與對抗。數(shù)學(xué)理性使得科學(xué)喪失了人性，注重了理性。

數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，邏輯無法創(chuàng)新，還需要直覺。數(shù)學(xué)的發(fā)展之路就應(yīng)該是數(shù)學(xué)直覺與數(shù)學(xué)理性的相結(jié)合。依靠數(shù)學(xué)直覺的想象功能產(chǎn)生新的猜想，對于新的猜想又依靠數(shù)學(xué)的嚴(yán)密推理使之公理化、邏輯化。哥德巴赫猜想，就是依靠觀察數(shù)的特點(diǎn)，通過歸納猜想得出來的。

3.從實(shí)用性向數(shù)學(xué)文化的過渡

實(shí)用、宗教、哲學(xué)和美學(xué)共同促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，我們不能厚此薄彼。就是在西方文化中我們也難以斷定是哪一個因素起決定性的作用。以《九章算術(shù)》為主的東方數(shù)學(xué)恰恰是忽視了數(shù)學(xué)的哲學(xué)、宗教和美學(xué)的因素，獨(dú)自依靠著數(shù)學(xué)的實(shí)用性推動著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這樣在中國人的心目中，數(shù)學(xué)的實(shí)用性就根深蒂固。 “自然科學(xué)并非人類認(rèn)識世界的唯一工具，科學(xué)文化與人類文化以及方法論上科學(xué)規(guī)范與人文規(guī)范的融合才是推動社會文化進(jìn)步的必由之路?！盵2]70-73現(xiàn)代文明中這兩者應(yīng)該是相互相容、相互促進(jìn)、共同發(fā)展。

幸運(yùn)的是，我們已經(jīng)開始對數(shù)學(xué)的認(rèn)識發(fā)生改變。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出,數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。同時，高校通識教育數(shù)學(xué)文化課也正如火如荼地開展起來，向?qū)W生開展數(shù)學(xué)文化的滲透和教育，擔(dān)負(fù)其傳遞數(shù)學(xué)文化與發(fā)展文化的重任。

我們的文明之旅，從某種程度上來說就是理性之旅。

[1]鄧宗琦.《九章算術(shù)》與《幾何原本》的比較研究[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1996，(2):263-269.

[2]張維忠.對《幾何原本》的文化思考[J].北京科技大學(xué)學(xué)報(bào)(社科版),2002，(1).

[3]王曉亞,張守波,等.數(shù)學(xué)教育視野下《九章算術(shù)》與《幾何原本》的比較研究[J]. 渤海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011，(1).

[4]黃秦安.從文化的視角看西方數(shù)學(xué)與中國古代數(shù)學(xué)的差異與融合[J].湖南教育：數(shù)學(xué)教師,2009，(11):18-22.

[5]張祖貴. 論莫里斯·克萊因的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想[J]. 自然辯證法通訊,1989,(6).

[6][德]M·克萊因.西方文化中的數(shù)學(xué)[M].張祖貴譯.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社, 2005.

[7]王憲昌,等.數(shù)學(xué)文化概論[M].北京:科學(xué)出版社,2010:65.

[8]徐乃楠,王憲昌.數(shù)學(xué)文化熱與數(shù)學(xué)文化史研究[J].自然辯證法通訊,2009,(3):14-17.

[9]鄭毓信.數(shù)學(xué)文化學(xué)[M].成都:四川教育出版社, 2000:17.

[責(zé)任編輯石曉博]

Sino-Western Differences of Mathematical Culture—A Comparative Study between The Nine Chapters on the Mathematical Arts and Euclid’s Elements

YAN Cheng-hai

(SchoolofInformationEngineering,Xi’anUniversity,Xi’an710065,China)

The two great works of The Nine Chapters on the Mathematical Arts and Euclid’s Elements in mathematical history have respectively Orient and Occident cultural implications of mathematics. A comparative study between the two works indicates that The Nine Chapters on the Mathematical Arts focuses on technique and practicability while Euclid’s Elements stresses spirit as well as the pursuit of truth and reason.

The Nine Chapters on the Mathematical Arts; Euclid’s Elements; cultural difference; comparison

2015-12-17

西安文理學(xué)院教學(xué)改革項(xiàng)目：提升課堂效果的途徑(JG2015B022)階段性成果。

閆成海(1978—),男，陜西乾縣人，西安文理學(xué)院信息工程學(xué)院講師，主要從事數(shù)學(xué)文化、教育統(tǒng)計(jì)研究。

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1008-777X(2016)02-0101-04