李泳耀，叢　明，廖忠情，孫宗余，李宏坤

(1. 大連新宇理工科技開(kāi)發(fā)中心有限公司，遼寧 大連　116024;2. 大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連　116023;3. 一汽解放汽車有限公司無(wú)錫柴油機(jī)廠，江蘇 無(wú)錫　214026)

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機(jī)床熱誤差建模技術(shù)研究及試驗(yàn)驗(yàn)證*

李泳耀1，2，叢明1，2，廖忠情1，2，孫宗余3，李宏坤1，2

(1. 大連新宇理工科技開(kāi)發(fā)中心有限公司，遼寧 大連116024;2. 大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連116023;3. 一汽解放汽車有限公司無(wú)錫柴油機(jī)廠，江蘇 無(wú)錫214026)

摘要：針對(duì)機(jī)床熱誤差補(bǔ)償技術(shù)中預(yù)測(cè)模型建立的問(wèn)題，綜合多元線性回歸及Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)點(diǎn)，提出一種機(jī)床熱誤差建模新方法。由不同樣本數(shù)據(jù)建立若干多元線性回歸模型，依據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)理論篩選出預(yù)測(cè)精度及魯棒性高的回歸模型，預(yù)處理后將其結(jié)果輸入到Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行非線性擬合建模，在不斷調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值及對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，最終建立熱誤差補(bǔ)償模型。在臥式加工中心上進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，主軸Z向最大熱誤差從17.895μm減小到1.654μm。

關(guān)鍵詞：熱誤差模型；多元線性回歸；統(tǒng)計(jì)學(xué)；Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

0引言

機(jī)床熱誤差是由其零部件間因溫升變化而導(dǎo)致不同程度的熱變形引起的，最終會(huì)反映到刀具和工件上，引起其相對(duì)位置的偏移，降低機(jī)床的加工精度[1]。大量研究表明，熱誤差占機(jī)床總誤差的比例往往在40%~80%，越是精密的機(jī)床，所占比例越大[2-3]。熱誤差補(bǔ)償技術(shù)是一種有效提高機(jī)床加工精度的方法[4]，而實(shí)現(xiàn)熱誤差補(bǔ)償?shù)那疤崾沁M(jìn)行機(jī)床溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化及熱誤差建模。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)熱誤差建模技術(shù)進(jìn)行了大量研究，提出了許多理論和方法，如多元線性回歸法[5]，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[6-7]，時(shí)間序列分析法[8]，最小二乘支持向量機(jī)法[9]，灰色理論法[10]等。由于機(jī)床熱誤差是一個(gè)典型的非線性系統(tǒng)，這些單一的建模方法雖然取得了成功，但其補(bǔ)償精度及魯棒性均有待進(jìn)一步提高。結(jié)合每種理論的優(yōu)點(diǎn)，也有學(xué)者提出了多種理論相結(jié)合的方法，如灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[11-12]，時(shí)序分析及灰色理論法[13]，人體免疫神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[14]等，這些方法綜合了每種理論的優(yōu)點(diǎn)，將兩種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行有效的組合，充分利用其預(yù)測(cè)信息，提高了模型的預(yù)測(cè)能力。

就單一模型而言，多元線性回歸模型簡(jiǎn)單，容易計(jì)算，但缺乏自主學(xué)習(xí)能力及誤差反饋調(diào)節(jié)機(jī)制，模型預(yù)測(cè)的精確性及魯棒性得不到保證。Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)屬前饋式網(wǎng)絡(luò)模型，是一種廣泛使用且較為復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7]，不僅包括輸入、輸出節(jié)點(diǎn)，還有一層或多層隱層，可以獲得很高的預(yù)測(cè)精度，但模型收斂速度慢，模型訓(xùn)練時(shí)間長(zhǎng)，容易出現(xiàn)局部極值，不適于工作條件變化較大的場(chǎng)合。綜合兩者的優(yōu)缺點(diǎn)，本文采用多元線性回歸及Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)床熱誤差建模，基本思想是：首先采用多元線性回歸對(duì)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)預(yù)處理，然后由Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行綜合計(jì)算及誤差反饋，以提高模型預(yù)測(cè)精度及魯棒性。

1模型的理論分析及建立

1.1多元線性回歸

多元線性回歸建模方法采用統(tǒng)計(jì)學(xué)理論建立多輸入、單輸出關(guān)系的模型。就本文熱誤差建模而言，溫度變量為多輸入，機(jī)床某一方向上的熱誤差為單輸出。以Z向?yàn)槔瑹嵴`差模型一般形式可表示為：

ΔZ=β0+β1ΔT1+β2ΔT2+…+βpΔTp

(1)

式中，ΔZ為Z向熱誤差變化量，ΔTi(i=1,2,…,p)為各測(cè)點(diǎn)溫度變化量，βi(i=0,1,…,p)為回歸系數(shù)，ε為隨機(jī)誤差。

假設(shè)通過(guò)試驗(yàn)獲取N組觀測(cè)數(shù)據(jù)：(Ti1,Ti2,…,Tip;Zi)，則模型可表示為：

ΔZ=ΔTβ+ε

(2)

式中，

采用最小二乘法計(jì)算出回歸系數(shù)βi的理論估計(jì)值。設(shè)bi(i=0,1,…,p)為參數(shù)βi的最小二乘估計(jì)，則bi應(yīng)使得ΔZi的殘差平方和最小，即使得：

(3)

達(dá)到最小。

要使Q(b0，b1，…，bp)達(dá)到最小，則需滿足：

(4)

模型建立后，采用統(tǒng)計(jì)學(xué)理論對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行評(píng)價(jià)，如對(duì)回歸系數(shù)、回歸模型等進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，通過(guò)檢驗(yàn)的模型方可用于熱誤差預(yù)測(cè)。

1.2Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有非線性映射的特點(diǎn)，以及良好的數(shù)據(jù)并行處理、數(shù)據(jù)容錯(cuò)、存儲(chǔ)等能力，并能實(shí)時(shí)反饋并校正輸出誤差[11]。其建立的一般步驟為：

(1)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備

本文采用的是多輸入、單輸出的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。輸出層的傳遞函數(shù)為線性函數(shù)，輸入層、隱藏層的傳遞函數(shù)為Sigmoid函數(shù)，表達(dá)式為：

(5)

其值域?yàn)閇0, 1]。輸入變量的取值范圍亦要求為[0, 1]，否則不同數(shù)量級(jí)的輸入變量值將直接影響到網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的確定及最終的預(yù)測(cè)結(jié)果。通常采用極差法對(duì)輸入變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即：

(6)

其中，xmax和xmin分別為輸入變量的最大值和最小值。

(2)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的確定

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度(預(yù)測(cè)精度)與模型收斂速度反相關(guān)，應(yīng)在兩者間做出權(quán)衡。而決定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度的是隱藏層層數(shù)及其隱節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。在保證預(yù)測(cè)精度的前提下，通常選擇一個(gè)隱層的網(wǎng)絡(luò)最合算。隱節(jié)點(diǎn)的選取沒(méi)有確定的準(zhǔn)則，通常隱節(jié)點(diǎn)越多模型越易收斂，但可能會(huì)產(chǎn)生模型過(guò)擬合問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)模型實(shí)際訓(xùn)練情況進(jìn)行選取。

(3)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的確定

(7)

網(wǎng)絡(luò)權(quán)值調(diào)整的目標(biāo)是使預(yù)測(cè)誤差Ej(t)最小，采用梯度下降法可以實(shí)現(xiàn)。則第個(gè)i節(jié)點(diǎn)對(duì)輸出節(jié)點(diǎn)的權(quán)值調(diào)整量為：

(8)

其中，負(fù)號(hào)表示負(fù)梯度方向，η為學(xué)習(xí)率。

那么，t+1時(shí)刻節(jié)點(diǎn)的權(quán)值調(diào)整為：

Wij(t+1)=α·Wij(t)+ΔWij

(9)

其中，α通常為常數(shù)。

一般是初始隨機(jī)給定一網(wǎng)絡(luò)權(quán)值(通常來(lái)自均值為0，取值范圍[-0.5，0.5]間的正態(tài)分布)，根據(jù)上述原理反復(fù)調(diào)整權(quán)值，直至誤差達(dá)到一個(gè)較理想值為止。這樣，網(wǎng)絡(luò)權(quán)值便被確定下來(lái)。

1.3預(yù)測(cè)模型的建立

對(duì)于同一組建模數(shù)列，采用不同樣本數(shù)據(jù)建立的模型不盡相同，且模型預(yù)測(cè)精度亦存在差別。為獲得最佳預(yù)測(cè)效果，建立多元線性回歸-Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)熱誤差預(yù)測(cè)模型，如圖1所示。首先采用多元線性回歸模型對(duì)關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)及熱誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行第1次預(yù)處理，根據(jù)樣本劃分不同，建立多個(gè)回歸模型；其次對(duì)回歸模型2次預(yù)處理，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)理論篩選出若干預(yù)測(cè)效果較好的模型；然后將其預(yù)測(cè)結(jié)果輸入到Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行非線性擬合建模，在這個(gè)過(guò)程中需要不斷對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，不斷調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值；最終建立熱誤差預(yù)測(cè)模型。

圖1　預(yù)測(cè)模型結(jié)構(gòu)圖

就預(yù)測(cè)模型中的Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模塊來(lái)講，輸入層為第2次預(yù)處理后的多元線性回歸模型的預(yù)測(cè)值，輸出層則為最終的熱誤差預(yù)測(cè)值，很好的解決了Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不適于工作條件變化較大場(chǎng)合的問(wèn)題，亦有利于發(fā)揮其非線性映射及誤差反向傳播學(xué)習(xí)的特點(diǎn)。

2試驗(yàn)驗(yàn)證及結(jié)果分析

2.1試驗(yàn)分析

試驗(yàn)在某臥式加工中心上進(jìn)行，采用電渦流位移傳感器測(cè)量主軸Z向熱誤差(圖2)，在經(jīng)過(guò)溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化后的四個(gè)關(guān)鍵位置上布置溫度傳感器，分別為：X向電機(jī)表面ΔT4，主軸中外環(huán)面ΔT6，環(huán)境溫度ΔT10，X向遠(yuǎn)機(jī)端軸承座表面ΔT12，如圖3所示。試驗(yàn)采用空切削方式及階梯轉(zhuǎn)速，盡量模擬實(shí)際加工過(guò)程，共進(jìn)行3小時(shí)的數(shù)據(jù)采集，如圖4、圖5所示。

圖2　Z向位移傳感器布置圖

圖4　關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)

圖5　Z向熱誤差

2.2模型的建立

根據(jù)關(guān)鍵溫度測(cè)點(diǎn)及Z向熱誤差數(shù)據(jù)，首先建立多元線性回歸模型。隨機(jī)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行劃分(70%用于訓(xùn)練，30%用于測(cè)試)，共進(jìn)行十次劃分。根據(jù)每次用于建模數(shù)據(jù)的不同，共建立十組回歸模型，并對(duì)模型進(jìn)行基于統(tǒng)計(jì)學(xué)原理的分析，如表1所示。

表1　多元線性回歸模型分析

續(xù)表

注：此處的殘差均取了絕對(duì)值，下同。

下面根據(jù)一定規(guī)則，篩選出預(yù)測(cè)精度及魯棒性均較高的五個(gè)模型。

(1)對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性水平為0.01的t檢驗(yàn)，可知模型8、9檢驗(yàn)沒(méi)通過(guò)，排除。

(2)R為復(fù)相關(guān)系數(shù)，取值范圍[0,1]，表征自變量和因變量間線性回歸關(guān)系的密切程度，其值越大回歸關(guān)系越密切。調(diào)整的R2反映模型的擬合效果，其值越大說(shuō)明擬合效果越好。剩余標(biāo)準(zhǔn)差(殘差的標(biāo)準(zhǔn)差)表征了模型預(yù)測(cè)結(jié)果的精確度，其值越小預(yù)測(cè)效果越好。模型摘要如圖6所示。根據(jù)以上規(guī)則，排除模型2。

圖6　模型摘要

(3)殘差表征了模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的差別程度，最大殘差則在一定程度上反映了模型的魯棒性。如圖7所示，模型4和5的前后訓(xùn)練和測(cè)試的預(yù)測(cè)值的最大殘差差別較大，且模型5的魯棒性更差些，這里先排除掉模型5。

(4)平均殘差反映了模型的整體預(yù)測(cè)精度，如圖8所示。模型4的訓(xùn)練和測(cè)試預(yù)測(cè)值的平均殘差差別較大，且測(cè)試預(yù)測(cè)值的平均殘差要遠(yuǎn)高于其他模型，排除模型4。

圖7　模型最大殘差

圖8　模型平均殘差

通過(guò)以上分析，篩選出5個(gè)精度和魯棒性均較高的回歸模型：1、3、6、7、10。

2.3結(jié)果驗(yàn)證

Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型采用5-8-1的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即輸入層有5個(gè)節(jié)點(diǎn)，隱藏層有8個(gè)節(jié)點(diǎn)，輸出層有1個(gè)節(jié)點(diǎn)，設(shè)置學(xué)習(xí)速率。以篩選出的五個(gè)模型的預(yù)測(cè)值作為輸入，建立Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型(記為模型A)，如圖9所示。

若不采用本文方法，直接建立多元線性回歸模型(記為模型B)或Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(記為模型C)，其誤差預(yù)測(cè)如圖10、圖11所示。

圖9　模型A的預(yù)測(cè)圖

圖10　模型B的預(yù)測(cè)圖

圖11　模型C的預(yù)測(cè)圖

對(duì)比3種方法的熱誤差模型預(yù)測(cè)精度，結(jié)果如表2所示。

由表2可知，采用本文方法建立的模型，其最大殘差僅為1.654μm，平均殘差亦只有0.557μm，預(yù)測(cè)效果優(yōu)于其他兩種方法， 且殘差基本分布于零軸附近，波動(dòng)幅值均小于其他兩種模型。

表2　熱誤差模型預(yù)測(cè)結(jié)果比較

3結(jié)論

(1)采用本文方法對(duì)臥式加工中心進(jìn)行熱誤差建模及試驗(yàn)驗(yàn)證，主軸Z向最大熱誤差從17.895μm減小到1.654μm，平均殘差僅為0.557μm，大幅提高了模型的預(yù)測(cè)精度。

(2)綜合多元線性回歸及Bp神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)點(diǎn)建立了新的熱誤差預(yù)測(cè)模型。相對(duì)于其他模型，該模型具有預(yù)測(cè)精度高、魯棒性好、對(duì)原始數(shù)據(jù)要求低等優(yōu)點(diǎn)，適用于加工條件變化較大場(chǎng)合的機(jī)床熱誤差補(bǔ)償。

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(編輯李秀敏)

An Modeling Method for Machine Tool Thermal Error and Experimental Verification

LI Yong-yao1,2,CONG Ming1,2, LIAO Zhong-qing1,2, SUN Zong-yu3, LI Hong-kun1,2

(1.Dalian Xinyu Science Technology Development Center CO.，LTD,Dalian Liaoning 116024，China；2. School of Mechanical Engineering,Dalian University of Technology，Dalian Liaoning 116023，China)

Abstract：A new method is proposed to build the thermal error compensation model considering the advantages of multiple linear regression and Bp neural network. Some multiple linear regression models are established by using different sample data. According to the statistics principle, some high accurate and robust models are selected. The predicted results are input into Bp neural network for nonlinear fitting modeling. The final thermal error compensation model is built on the basis of adjusting the network weights and training the neural network constantly. The method is validated on a horizontal machining center. The result shows that Z-axis thermal error is reduced from 17.895μm to 1.654μm.

Key words：thermal error model; multiple linear regression; statistics principle; Bp neural network

中圖分類號(hào)：TH161；TG65

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

作者簡(jiǎn)介：李泳耀(1991—)，男，河南商丘人，大連理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)床精度穩(wěn)定性分析，(E-mail)liyongyao1991@163.com。

*基金項(xiàng)目：大連市科技計(jì)劃項(xiàng)目“汽車發(fā)動(dòng)機(jī)和柔性自動(dòng)線可靠性技術(shù)研究”(2013A11GX012)；國(guó)家“高檔數(shù)控機(jī)床與基礎(chǔ)制造裝備”科技重大專項(xiàng)課題(2013ZX04012071)

收稿日期：2015-06-12

文章編號(hào)：1001-2265(2016)01-0063-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.01.018