□武維民 孫雪娜

在數(shù)概念的建立過程中培養(yǎng)數(shù)感

□武維民 孫雪娜

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。本文主要從重視數(shù)概念的建立，重視數(shù)位和位值制的理解，重視對大數(shù)的感受三方面來論述如何在建立數(shù)概念的過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

數(shù)概念 培養(yǎng) 學(xué)生 數(shù)感

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。將數(shù)感表述為感悟，揭示了這一概念的兩重屬性：既有“感”，如感知；又有“悟”，如悟性、領(lǐng)悟?！啊小峭饨绱碳ぷ饔糜谥黧w而產(chǎn)生的，是通過肢體（如感官等）而不是通過大腦思維，它含有原始的、經(jīng)驗性的成分?！颉侵黧w自身的，是通過大腦思維而產(chǎn)生的?！形颉羌韧ㄟ^肢體又通過大腦，因此，既有感知的成分又有思維的成分。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們又該怎樣幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)感呢？

一、重視數(shù)概念的建立

理解數(shù)的意義一般有兩個角度，一是從數(shù)的組成去理解，通過組成理解數(shù)的大小和多少，加強對數(shù)的感知。二是聯(lián)系生活實際來體會，通過在具體現(xiàn)實的情境中，理解數(shù)在生活實際中的意義，使抽象的數(shù)和具體的量有機結(jié)合，進一步理解數(shù)的意義。在實際教學(xué)中我們要把這兩種方式有機地結(jié)合起來，這樣更有利于學(xué)生體會數(shù)的意義，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

（一）在情境中理解

學(xué)生對數(shù)并不陌生，在入學(xué)之前，學(xué)生已對具體的數(shù)有了比較豐富的感知，他們會讀、會寫，會說一些具體的數(shù)。我們在教學(xué)中就要關(guān)注從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)的過程，例如從具體的2匹馬、2棵樹、2頭牛、2個人，抽象為2這個數(shù)。這時用一個數(shù)字也是一個特殊的符號來表示數(shù)量，已經(jīng)把具體的單位和這個數(shù)量的具體含義去掉，抽象為數(shù)“2”。反過來，2可以表示任何具有2這樣數(shù)量特征的事物，例如2支鉛筆、2個人、2只小動物……隨著教學(xué)的深入，還要引導(dǎo)學(xué)生認識到數(shù)的豐富含義，比如計數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)和計算的數(shù)等。

（二）在操作中感知

自然數(shù)的認識的教學(xué)重點在于使學(xué)生從數(shù)量抽象到數(shù)，抽象離不開直觀的支撐和操作，例如計數(shù)器、小棒、圖形等，讓學(xué)生親自數(shù)一數(shù)、擺一擺、圈一圈、畫一畫，學(xué)生數(shù)的過程也是一一對應(yīng)的過程，同時感受具體的數(shù)量。

【案例名稱】認識百以內(nèi)的數(shù)

【案例背景】這里介紹吉林市第一實驗小學(xué)陳曉梅老師教學(xué)“認識百以內(nèi)的數(shù)”的過程。教科書設(shè)計了“數(shù)鉛筆”的活動，讓學(xué)生經(jīng)歷從實際情境中抽象出數(shù)的過程。陳老師為學(xué)生擺放了數(shù)目不同的學(xué)具，云豆、小正方體、小棒、鉛筆等，讓學(xué)生經(jīng)歷了4次數(shù)的過程。

【案例描述】

“數(shù)一數(shù)”活動1：初數(shù)百以內(nèi)數(shù)。

學(xué)生都把學(xué)具輕輕地倒在桌面上，小心翼翼地數(shù)起來：

“45，46，47，48……91，92，93，94，95，我有95根小棒?！?/p>

“……98，99，100。我的正好是100個云豆粒兒！”

“我只有88支鉛筆?！?/p>

“我的小正方體是103個，哇，比100還多呢！”

……

筆者不停地巡視，與學(xué)生交流，發(fā)現(xiàn)他們幾乎都是“一個一個地數(shù)”。

“數(shù)一數(shù)”活動2：再數(shù)百以內(nèi)數(shù)。

“同學(xué)們，看到你們數(shù)數(shù)、匯報結(jié)果時認真高興的樣子我特別快樂?？墒?，你們數(shù)過后的豆子、小棒、小正方體、鉛筆都一堆一堆地放到一起，你們自己知道多少，但別人不知道。能不能想個好辦法，讓別人一看就知道呢？”

“我們小組想出了好辦法，你看，只要把云豆10個一堆，10個一堆，就知道有多少了?！?/p>

“我們把小棒10根一捆，10根一捆。有幾捆就是幾十，比如我的小棒能捆9捆，剩5根，合在一起就是95根小棒?！?/p>

“我們小組把小正方體10個擺一排，10個擺一排，10個10個數(shù)，正好是100個?！保ń處熛鄼C板書：10個十是100）……

數(shù)一數(shù)活動3：三數(shù)百以內(nèi)數(shù)。

“同學(xué)們，這節(jié)課我們就是認識一百以內(nèi)的數(shù)（板書課題）。剛才誰數(shù)的數(shù)正好是100？”

只有一個人舉起了手（只給學(xué)生準(zhǔn)備了一袋），其他同學(xué)都有點“沮喪”。于是便進一步問道：“只有亮亮的正好是100個，那你怎樣才能得到100個呢？”

“我有95個云豆，只要再給我5個就是100了?！?/p>

“我的是99根小棒，再加1根就是100根。”

“我的鉛筆只有88支，再數(shù)……再數(shù)……反正再接著數(shù)10多支也能數(shù)到100支?！?/p>

還有學(xué)生說：“我的是105個云豆，再去掉5個就是100個了?！?/p>

“我的是103個小正方體，去掉3個就得到100個?！薄?/p>

“數(shù)一數(shù)”活動4：四數(shù)百以內(nèi)數(shù)。

①數(shù)出35個學(xué)具，讓別人很容易看出，并說說35這個數(shù)的組成。

②從35數(shù)到44，說44的組成。

③從89、32、76各數(shù)的后面連續(xù)數(shù)出5個數(shù)。

④10個10個數(shù)到100。

⑤5個5個數(shù)到100。

⑥從學(xué)具中快速數(shù)出90個（挑戰(zhàn)學(xué)生的智慧）。

⑦感受100有多少（結(jié)合具體的學(xué)具和情境）。

本節(jié)課安排了4次數(shù)一數(shù)活動，每個活動都富有目的、具有挑戰(zhàn)，學(xué)生的數(shù)感正是在挑戰(zhàn)性的活動中逐漸得以發(fā)展。挑戰(zhàn)之一：初數(shù)百以內(nèi)各數(shù)，了解學(xué)生已有的數(shù)數(shù)經(jīng)驗。挑戰(zhàn)之二：再數(shù)百以內(nèi)各數(shù)，感受十進制的意義和數(shù)數(shù)策略的多樣化。挑戰(zhàn)之三：三數(shù)百以內(nèi)數(shù)，感受百以內(nèi)數(shù)之間的聯(lián)系。挑戰(zhàn)之四：四數(shù)百以內(nèi)數(shù)，發(fā)展學(xué)生數(shù)數(shù)的經(jīng)驗。采用“正數(shù)、倒數(shù)、跳數(shù)、接數(shù)”等多種方式，不僅體會了數(shù)位、基數(shù)、數(shù)序的意義，也發(fā)展了學(xué)生數(shù)數(shù)的經(jīng)驗。這一切都源自教師的有價值的教學(xué)行為。一是充分地了解并尊重了學(xué)生的基礎(chǔ)和經(jīng)驗；二是充分鼓勵學(xué)生操作，并在操作中展示自己的思維；三是提供給學(xué)生充分思考和表達的空間；四是及時提出具有挑戰(zhàn)性的問題，促進學(xué)生不斷思考；五是及時鼓勵，并示范高水平的思維活動。不斷的挑戰(zhàn)，不斷的突破，這正是數(shù)學(xué)課所要追求的價值，使所有學(xué)生都變得聰明伶俐，充滿智慧！

（三）利用模型理解

在數(shù)的認識過程中，我們要注意運用多種模型幫助學(xué)生理解數(shù)的意義、建立數(shù)的概念，比如計數(shù)器、數(shù)位桶、方格圖、數(shù)位順序表等，這樣逐漸建立起抽象的數(shù)和現(xiàn)實中的數(shù)量之間的關(guān)系，并且能夠知道數(shù)的大小和現(xiàn)實中的多少之間的關(guān)系，這也是數(shù)感很重要的本質(zhì)問題。

例如，利用多種模型幫助學(xué)生理解、建立分數(shù)的概念。

分數(shù)的面積模型：用面積的“部分—整體”表示分數(shù)

兒童最早是通過“部分—整體”來認識分數(shù)，因此在教材中分數(shù)概念的引入是通過“平均分”某個“正方形”或者“圓”取其中的1份或幾份（涂上“陰影”）認識分數(shù)的，這些直觀模型即為分數(shù)的“面積模型”。

分數(shù)的集合模型：用集合的“子集—全集”來表示分數(shù)

這是“部分—整體”的另外一種形式，與分數(shù)的面積模型聯(lián)系密切，但學(xué)生在理解上難度更大，關(guān)鍵是“單位1”不再真正是“1個整體”了，而是把幾個物體看作“1個整體”，作為一個“單位”，所取的“1份”也不是“1個”，可能是“幾個”作為“1份”，例如把4個桃子看作“單位1”，平均分成2份，每份占整體的2個。分數(shù)的集合模型需要學(xué)生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多個”看作“整體1”。

分數(shù)的“數(shù)線模型”：數(shù)線上的點表示分數(shù)

除此之外，分數(shù)墻是一個很好的學(xué)習(xí)分數(shù)的直觀模型，有助于學(xué)生理解分數(shù)單位、分數(shù)單位的個數(shù)、等值分數(shù)（數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系）、分數(shù)之間簡單的加減法、倒數(shù)等。

二、重視位值制的理解

為了表示更大的數(shù)，位值制概念的建立十分重要。要讓學(xué)生理解不同位置上的數(shù)字表示不同大小的數(shù)，沒有位值制的規(guī)定就沒有辦法表示更大的數(shù)。認識個、十、百、千、萬等不同的數(shù)位，理解不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同大小的數(shù)，是理解整數(shù)概念所必須了解的。學(xué)生必須清楚地了解，同樣一個數(shù)字“3”，在個位上表示3個一；在十位上表示30，即3個十；在百位上表示300，即3個百。第一學(xué)段完成整數(shù)萬級的認識，第二學(xué)段認識萬以上的數(shù)，進而整理十進制計數(shù)法。我國采用四位分級的方法，萬以內(nèi)數(shù)的個位、十位、百位、千位為個級，學(xué)生理解各級上的每個數(shù)字的意義，這是理解多位數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字意義的前提條件。

（一）重視10的概念的建立

要讓學(xué)生理解數(shù)位和位值制，一定要走好關(guān)鍵的第一步：10的認識，要重視10的概念的建立。在教學(xué)10的認識時，要讓學(xué)生親自感受到由9再加1變成10的過程，可以通過數(shù)、擺、捆、撥、說等方法，讓學(xué)生充分感受10個1是一個十，1個十是10個一，建立10的概念，在11～20各數(shù)的認識中仍然要關(guān)注10的概念的建立，體會滿十進一的過程。

（二）重視數(shù)計數(shù)單位

為幫助學(xué)生了解十進制計數(shù)法和位置制。要重視數(shù)計數(shù)單位，逐步建立新的計數(shù)單位，讓學(xué)生10個10個數(shù)，100個100個數(shù)，1000個1000個數(shù)……在數(shù)的過程中進一步明確10個一是1個十，10個十是一百，10個百是一千，10個千是一萬……從而引出了新的計數(shù)單位，在一個單位、一個單位數(shù)的活動中，學(xué)生充分體會滿10個單位就產(chǎn)生一個新的計數(shù)單位。感受了兩個相鄰計數(shù)單位間的進率是十。

（三）重視數(shù)位順序表的使用

從認識20以內(nèi)的數(shù)起就讓學(xué)生了解個位和十位，認識百以內(nèi)數(shù)時補充認識百位，在認識萬以內(nèi)數(shù)的時候認識了千位和萬位，在認識大數(shù)時，學(xué)生將認識萬級和億級的數(shù)以及比億更大的數(shù)。在每一階段教學(xué)時，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生完善數(shù)位順序表，這樣有助于學(xué)生了解十進制計數(shù)法，理解數(shù)的意義并掌握讀數(shù)寫數(shù)的方法。

三、重視對大數(shù)的感受

在第一、二學(xué)段都提出感受大數(shù)意義和對大數(shù)進行估計的要求。第一學(xué)段是要求在生活情境中感受大數(shù)的意義，第二學(xué)段創(chuàng)設(shè)情境的范圍有所擴大，要求在現(xiàn)實情境中感受大數(shù)的意義。其本質(zhì)是相同的，都是希望通過具體的情境對大數(shù)加以感受，增強學(xué)生的數(shù)感。感受大數(shù)與情境的具體內(nèi)容有關(guān)，1200張紙大約有多厚？你的1200步大約有多長？1200名學(xué)生站成做廣播操的隊形需要多大的場地？這些具體的情境學(xué)生可以通過實際操作和觀察來感受。有時還要加入想象的成分。1200名學(xué)生需要多大場地，學(xué)生就需要了解自己的學(xué)校有多少人，占多大地方，再想象1200人會占多大地方。這個抽象過程在小學(xué)一年級開始認識數(shù)時就強調(diào)，直到認識較大的數(shù)。學(xué)生逐漸認識數(shù)的抽象表示，從而逐步建立數(shù)的概念。

【案例名稱】千以內(nèi)的數(shù)的認識

【案例背景】北京的王欣老師在講授“千以內(nèi)的數(shù)的認識”時，設(shè)計了豐富多彩的活動幫助學(xué)生建立數(shù)的概念，臨下課的最后1分鐘,教師要給學(xué)生“頒獎”時,依然不放過培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的機會。

【案例描述】師：（拿出一張貼滿學(xué)生喜歡的小貼畫的紙）猜一猜一共有多少小貼畫呢？（生：500張、1000張、10000張……）

師：（又拿出一張貼滿小貼畫的紙，放在了剛才那張大紙的旁邊，輕聲地說）這是100張。

生（齊聲）：說400張。

師：剛才你說出的數(shù)差距那么大，怎么現(xiàn)在一下都說是400了呢？

生：您拿出的小紙上有100個，我看了看大紙差不多有小紙的4倍，所以我估計應(yīng)該是400個。

生：第一次沒有標(biāo)準(zhǔn)，第二次有標(biāo)準(zhǔn)了。

小小細節(jié)反映了教師的可貴之處，即估計需要以一個標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)。教師不僅要授人以“魚”,更要授人以“漁”。王欣老師在具體、有效的學(xué)習(xí)情境中，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感,將學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)落到了實處。

總之，在建立數(shù)概念中培養(yǎng)數(shù)感要注意以下幾點。

一是在數(shù)的認識中體現(xiàn)數(shù)感。教師要設(shè)計多種活動培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。把數(shù)和在現(xiàn)實生活中的表現(xiàn)形式建立一個關(guān)系，建立抽象的數(shù)和現(xiàn)實中的數(shù)量之間的關(guān)系，并且知道這個數(shù)的大小和現(xiàn)實中的多少之間的關(guān)系，這個是數(shù)感很重要的本質(zhì)問題。在新課標(biāo)中或者在教材中，把估計也作為了培養(yǎng)數(shù)感的一個非常重要的內(nèi)容，這也是十分重要的，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的一個重要途徑。

二是整體把握內(nèi)容之間的聯(lián)系。數(shù)概念的建立是個循序漸進的過程，在小學(xué)教學(xué)中要關(guān)注知識的前掛后連，一、二兩個學(xué)段相關(guān)內(nèi)容的整體把握和遞進與銜接，這樣才能使學(xué)生建立的數(shù)的概念趨于完整和清晰。

三是鼓勵學(xué)生進行數(shù)學(xué)交流，關(guān)注數(shù)的應(yīng)用。關(guān)于數(shù)的認識，包括對數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)和數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)的應(yīng)用等的認識，其中數(shù)的應(yīng)用不僅僅是一條主線，而且滲透在整個學(xué)習(xí)中。教學(xué)中要提供機會鼓勵學(xué)生運用數(shù)來表示日常生活中的一些事物，并進行交流。

（北京小學(xué)長陽分校 102400）