□樓國紅

質(zhì)疑，讓思維走向更深處
——一道思考題“借題發(fā)揮”的教學(xué)

□樓國紅

本文由學(xué)生對一道提升題“想當(dāng)然”的解法開始，引發(fā)思考，提出質(zhì)疑，進行反思，再由學(xué)生自己通過實踐操作“借題發(fā)揮”，發(fā)掘出了幾個有價值的“新題”繼續(xù)探究。我們的思考：學(xué)生之所以“想當(dāng)然”是不是因為教師平時“想當(dāng)然”了？教師該怎樣引領(lǐng)學(xué)生用事實說話？引領(lǐng)學(xué)生自己主動地學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)呢？

重疊的面積 思維 實踐

【案例敘述】

北師大版（第四版）五年級上冊的教材中安排了兩個單元的“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，分別是第三單元的“圖形的面積”和第五單元的“組合圖形的面積”。在“組合圖形的面積”這一節(jié)課中，教材最后有一道標(biāo)了“？”的拓展提升習(xí)題。

課堂上筆者讓學(xué)生結(jié)合實物投影儀講解自己的解題方法。學(xué)生A高高舉起了手，上臺講解：“4×4=16平方厘米，我們先把兩條被蓋住的邊用虛線補畫出來，發(fā)現(xiàn)中間是一個邊長4厘米的正方形，所以用4×4就求出了重疊部分的面積了?！痹诠P者的追問下他流暢地說明了邊長4厘米的由來。

之后又有一名平時表現(xiàn)不錯的男生B高舉著手，說有不同解法:“8×8÷4=16平方厘米，因為用虛線把被蓋住的邊一補上之后，我們一眼就看出了邊長是8厘米的正方形被平均分成了4個小正方形，只要用一個大正方形的面積除以4就可以了?！逼渌瑢W(xué)也頻頻點頭。筆者追問：“你怎么知道大正方形被平均分成了4份呢？”學(xué)生思索片刻之后才用數(shù)據(jù)進行了說明。

不可否認(rèn)，這兩個學(xué)生對數(shù)學(xué)圖形的直覺都是不錯的，但筆者也發(fā)現(xiàn)他們更多地關(guān)注了圖形的本身而忽略了題目中的數(shù)據(jù)。離開數(shù)據(jù)或者離開了書本提供的標(biāo)準(zhǔn)圖形，學(xué)生還能出現(xiàn)這樣的圖形直觀嗎？離開數(shù)據(jù)直覺還能走多遠？這樣的直覺對學(xué)生今后學(xué)習(xí)幾何有益嗎？……筆者腦中產(chǎn)生了好多疑問。

筆者稍稍沉默，說：“如果老師去掉剛才同學(xué)們不太關(guān)注的數(shù)據(jù)4，你們還能解決嗎？”學(xué)生思考嘗試之后搖頭?！罢f說你是怎么想的？”學(xué)生中有人舉手了：“可能露在外面的邊是3厘米、2厘米、1厘米，也有可能一邊露出的長，一邊露出的短……”

為了讓更多的學(xué)生參與到學(xué)習(xí)中來，筆者說：“請同學(xué)們仔細想一想，兩個一樣的正方形疊在一起，重疊的部分就一定是正方形嗎？可能會是哪些圖形呢？”有學(xué)生開始望著天花板思考，也有學(xué)生在草稿本上開始畫圖，還有學(xué)生開始折、剪正方形紙，更有機靈的學(xué)生借助手中已有的正方形的便利貼就開始操作了。

約莫3分鐘之后，筆者要求：“小組交流一下你的發(fā)現(xiàn)，注意用事實說話。當(dāng)然別忘了：認(rèn)真傾聽也是一種學(xué)習(xí)方法。比一比，哪個小組發(fā)現(xiàn)的情況多？”學(xué)生立刻活躍了起來，有畫圖解說的，有兩種正方形紙片不斷移動演示的，有注目凝視的，有動筆演算的。學(xué)生合作交流得不亦樂乎。筆者一邊巡視著，一邊觀察著，筆者想說這樣的學(xué)習(xí)是更貼近學(xué)生的，因為學(xué)生自己動手操作了，他們在畫、擺、聽、看中不斷地建立兩個正方形部分重合的多種圖形表象，而且學(xué)生正在用自己的語言解說著自己的發(fā)現(xiàn)，相互學(xué)習(xí)，取長補短。

集體的力量是巨大的，5分鐘后開始反饋，各小組上臺展示匯報。學(xué)生表現(xiàn)積極，形式多樣，筆者把他們的圖形都貼在黑板上或展示在實物投影上，部分作品展示如下：

在大量的直觀圖形面前，我們總結(jié)：兩個一樣的正方形疊在一起，重疊的部分不一定是正方形，可能是三角形、四邊形、五邊形，還可能是八邊形等。對于如此好的學(xué)生自創(chuàng)的課堂生成資源，筆者繼續(xù)追問：“你能求出上面這些圖形重疊部分的面積嗎？”學(xué)生經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)：必須知道原來正方形的邊長和露在外面的邊的長度。于是筆者規(guī)定每個正方形的邊長還是8厘米，并結(jié)合實際給露在外面的邊定了長度，請學(xué)生選擇兩幅圖計算重疊部分的面積。獨立嘗試后反饋交流，學(xué)生的解答如下：

其實，此時學(xué)生的思維還是混亂的、零散的，怎樣讓學(xué)生的思考更有序？怎樣培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S呢？筆者再次啟發(fā)學(xué)生：重疊部分是正方形的情況，你能按面積從小到大擺出來嗎？重疊部分是長方形的呢？(要求邊長是整厘米數(shù))學(xué)生迅速地擺出了重疊部分邊長分別是1、2、3、4、5、6、7、8厘米的7種正方形，并快速地報出了面積。

接著又羅列出來重疊部分是長方形的：寬是1厘米，長從1厘米到8厘米的8種；寬是2厘米，長從2厘米到8厘米的7種，……共8+7+6+5+4+3+2+1=36種。

學(xué)生的大腦被激活了，思維也被理順了，成功的喜悅自然地寫在了臉上。最后筆者進行了學(xué)習(xí)小結(jié)：同學(xué)們，這節(jié)課你學(xué)得開心嗎？你最大的收獲是什么？學(xué)生一臉的喜悅與興奮，紛紛說著自己的收獲。有說學(xué)會解題的，有說學(xué)會方法的，剛才自告奮勇的男生A說：“我知道了在解題時我們不能只看圖形，要根據(jù)題目的條件思考問題，不能憑感覺，缺少必要的數(shù)據(jù)題目就不能解決了?！边€有同學(xué)說：“我們解決圖形問題時，如果有疑難也可以動手?jǐn)[一擺、試一試，尋找規(guī)律?！蹦猩鶥說：“我今天學(xué)得很開心，因為我解決了自己創(chuàng)造的難題，以后我遇到問題要多想想，動手做一做，就會有發(fā)現(xiàn)?！惫P者最后總結(jié)道：我們剛才通過對一道“想當(dāng)然”題的質(zhì)疑，發(fā)掘出了這么多有價值的“新題”，結(jié)合實物觀察、思考，都順利解決了，真的很了不起！希望在今后的學(xué)習(xí)中同學(xué)們也能多問、多思、多操作，相信你一定會在學(xué)習(xí)中收獲成功與喜悅。

【教后思考】

一道題的教學(xué)讓筆者思考了很多：學(xué)生之所以會出問題，是不是我們的課堂教學(xué)出問題了？學(xué)生之所以“想當(dāng)然”是不是我們教師平時“想當(dāng)然”了？教師該怎樣引領(lǐng)學(xué)生用事實說話？引領(lǐng)學(xué)生自己主動地學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)呢？

在生活中，人們憑主觀臆想與直覺經(jīng)驗“想當(dāng)然”地去解決問題的現(xiàn)象比比皆是。反思我們教師的日常教學(xué)，我們會發(fā)現(xiàn)很多時候是我們自己對學(xué)情分析不深，對教材把握不準(zhǔn)，沒有根據(jù)教材的特點進行合理的教學(xué)設(shè)計，常常省略了學(xué)生的操作過程，忽視了學(xué)生的策略意識的形成過程，盲目地追求思維的發(fā)展。課堂中，我們的學(xué)生也會受直覺的影響，經(jīng)常不根據(jù)題目所提供的信息和已知條件進行分析與合理的推理，出現(xiàn)“想當(dāng)然”的思維，看著“像什么”就“是什么”，從而忽視了數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。讓經(jīng)驗束縛了思維，限定了思維的方向以及思維的廣度與深度。學(xué)生沒有親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)過程，基本活動經(jīng)驗怎么積累，學(xué)生沒有親自靜心的思考，數(shù)學(xué)思想怎么形成，久而久之，學(xué)生的實踐能力差了，思維能力弱了，創(chuàng)新能力也就更沒有了。

正如波利亞指出：學(xué)習(xí)任何東西，最有效的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。在本節(jié)課中，筆者以人的發(fā)展為本，從學(xué)生的“直覺處”質(zhì)疑，引領(lǐng)學(xué)生進行思考，在小組合作中進行操作探究，討論解疑，最后交流展示、反思糾錯，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展過程，再從自己經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動過程中獲得體驗，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)科所蘊含的思想，積累了活動經(jīng)驗，提升了學(xué)生的空間觀念。再配上合理的評價與積分獎勵，整節(jié)課進行得有序而有效，學(xué)生的學(xué)習(xí)探究氣氛濃郁，思維活躍，同時也領(lǐng)略了探究成功的喜悅。是的，在學(xué)習(xí)上沒有什么比自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律更開心。

（浙江省衢州市龍游陽光小學(xué) 324400）