☉湖南省衡陽市第一中學(xué) 李成效

高考數(shù)列創(chuàng)新問題的求解

☉湖南省衡陽市第一中學(xué) 李成效

高考為高校選拔具有創(chuàng)新意識的優(yōu)秀生源提供了便利，而創(chuàng)新試題具有良好的選拔功能.因此近幾年來各省市的高考壓軸題在對創(chuàng)新意識的考查方面表現(xiàn)得尤為活躍，涌現(xiàn)出了一些構(gòu)思新穎、意境深遠(yuǎn)的命題，從不同的角度考查考生的思維水平、創(chuàng)新意識、學(xué)習(xí)潛能以及對所提供的信息從邏輯關(guān)系上進(jìn)行整理和分析的能力，希望考生能用已學(xué)過的知識和方法，通過分析與綜合，找出已知和未知的聯(lián)系，嘗試解決新的問題.數(shù)列創(chuàng)新問題的考查是高考命題的重要形式，此類問題能有效考查考生應(yīng)用所學(xué)知識解決新問題的能力，因此備受命題人的關(guān)注.那么具體采用什么樣策略，才能順利解答此類問題呢？下面引例說明.

一、問題展示

題目設(shè)數(shù)列｛an｝滿足：①a1＝1；②所有項an∈N*；③1＝a1＜a2＜…＜an＜an+1＜….

設(shè)集合Am＝｛n|an≤m，m∈N*｝，將集合Am中的元素的最大值記為bm，即bm是數(shù)列｛an｝中滿足不等式an≤m的所有項的項數(shù)的最大值.我們稱數(shù)列｛bn｝為數(shù)列｛an｝的伴隨數(shù)列.

（Ⅰ）若數(shù)列｛an｝的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，請寫出數(shù)列｛an｝；

（Ⅱ）設(shè)an＝3n-1，求數(shù)列｛an｝的伴隨數(shù)列｛bn｝的前30項的和；

（Ⅲ）若數(shù)列｛an｝的前n項和Sn＝n2+c（其中c為常數(shù)），求數(shù)列｛an｝的伴隨數(shù)列｛bm｝的前m項的和Tm.

我們學(xué)習(xí)中經(jīng)常會遇到所謂的“難題”.“難”，難在哪？筆者通過研究發(fā)現(xiàn)：“難”并不在本質(zhì)，而是在“形式”，“形式新穎”是難題的主要標(biāo)志.當(dāng)遇到“難題”或新穎的試題而一籌莫展、無從下手時，不妨先把問題簡化一下，以突出其關(guān)鍵信息，特別是“把一個比較復(fù)雜的問題，“退”成最簡單、最原始的問題來求解，把這個最簡單、最原始的問題想通了、想透了，然后再進(jìn)行歸納、總結(jié)，從而實現(xiàn)質(zhì)的飛躍，這是解答好創(chuàng)新問題的一個訣竅.

二、問題分析

本題是一道新定義的題目，第（Ⅰ）問較為基礎(chǔ)，只要我們準(zhǔn)確把握新定義的內(nèi)涵并靈活應(yīng)用即可輕松解答.當(dāng)然這里的應(yīng)用既包括正用，也包括逆用和變形用.第（Ⅱ）問以特殊的等比數(shù)列為背景，考查了我們對新定義的深入理解.第（Ⅲ）問將所給的數(shù)列隱藏于關(guān)系式Sn＝n2+c中，但利用我們所學(xué)知識不難得出其等差數(shù)列的背景.本題考查了數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查了考生的運算能力、推理能力以及分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.總之為了解答好此題，必須通過理解定義，弄清定義的本質(zhì)，方可以不變應(yīng)萬變.

三、問題解答

（一）弄清新定義的內(nèi)涵

新概念型題目是培養(yǎng)教生探究和推理能力的良好素材，解決這類問題的關(guān)鍵在于從一般的情況進(jìn)行探究，使教生充分認(rèn)識試題的本質(zhì)，建構(gòu)知識，進(jìn)一步培養(yǎng)教生的探究、推理能力.創(chuàng)新問題往往新在形式，弄清新定義問題的本質(zhì)，是解決此類問題的關(guān)鍵.如何來準(zhǔn)確認(rèn)識新定義的本質(zhì)呢？我們可以從簡單的情況入手.

例1數(shù)列｛an｝：1，3，5，求數(shù)列｛an｝的伴隨數(shù)列.

解：當(dāng)m＝1時，滿足an≤1的最大項為a1，所以項數(shù)最大值為n＝1，即b1＝1.

當(dāng)m=2時，滿足an≤2的最大項為a1，所以項數(shù)最大值為n=1，即b2=1.

當(dāng)m=3時，滿足an≤3的最大項為a2，所以項數(shù)最大值為n=2，即b3=2.

當(dāng)m=4時，滿足an≤4的最大項為a2，所以項數(shù)最大值為n=2，即b4=2.

當(dāng)m=5時，滿足an≤5的最大項為a3，所以項數(shù)最大值為n=3，即b5=3.

所以數(shù)列｛an｝的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3.

（二）逆向探究新定義的本質(zhì)

學(xué)習(xí)一個定義、定理或性質(zhì)的目的是應(yīng)用其解題，應(yīng)用的過程并不僅局限于正向應(yīng)用，還包括逆向應(yīng)用和變形應(yīng)用，進(jìn)而實現(xiàn)對所學(xué)知識的活學(xué)活用.第（Ⅰ）問給出伴隨數(shù)列，反求｛an｝，加深了我們對新定義的正確認(rèn)識.

解：由條件知，a1=1.

因為b1=b2=b3=1，即滿足條件an≤1，an≤2，an≤3的最大項均為a1，所以a2>3.又因為b4=2，所以a2≤4，而an∈N*，所以a2=4.

同理可得a3=7.

所以伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3.所以數(shù)列｛an｝為1，4，7.

（三）由一般到特殊，實現(xiàn)新定義的拓展

適用于一般情況的結(jié)論，對特殊情況一定成立.等差、等比數(shù)列，是我們所學(xué)的兩個最基本、最重要的數(shù)列，其有各自獨立的通項公式、求和公式及相應(yīng)的性質(zhì).第（Ⅱ）問給出數(shù)列｛an｝的通項公式an=3n-1，即｛an｝為等比數(shù)列，將問題推廣到特殊數(shù)列形式.

解：由an=3n-1≤m，得n≤1+log3m（m∈N*）.

當(dāng)1≤m≤2，m∈N*時，b1=b2=1，

當(dāng)3≤m≤8，m∈N*時，b3=b4=…=b8=2，

當(dāng)9≤m≤26，m∈N*時，b9=b10=…=b26=3，

當(dāng)27≤m≤30，m∈N*時，b27=b28=b29=b30=4.

故b1+b2+…+b30=1×2+2×6+3×18+4×4=84.

點評：等比數(shù)列有固定的通項公式，因此對相關(guān)項的討論可用其通項公式來完成.定義要求an≤m，即an= 3n-1≤m，從而得出n≤1+log3m（m∈N*），使得n與m之的關(guān)系具體化，進(jìn)而將伴隨數(shù)列的求解程序化.

（四）由等比到等差，體現(xiàn)新定義的遷移

類比就是由兩個對象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們在其他性質(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式，也就是遷移后的新問題與原問題實質(zhì)是一樣的，或部分地改變原對象的實質(zhì)，對所得結(jié)論進(jìn)行必要的修正.在創(chuàng)新題的解題過程中，通過類比與遷移，化新為舊、化繁為簡、化難為易，從而解決問題.對一個新的問題，關(guān)鍵是把不易解決的陌生問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的類型或易于解決的問題.

第（Ⅲ）問將所給數(shù)列隱藏于條件Sn=n2+c中，利用an=Sn-Sn-1即可得出該數(shù)列為等差數(shù)列，從而將問題由等比過渡到等差的形式，體現(xiàn)了新定義的遷移功能.

解：因為a1=S1=1+c=1，所以c=0.

當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-1，所以an=2n-1（n∈N*）.

由an=2n-1≤m，得n≤（m∈N*）.

因為使得an≤m成立的n的最大值為bm，所以

b1=b2=1，b3=b4=2，…，b2t-1=b2t=t（t∈N*）.

故應(yīng)對項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行分類討論：

當(dāng)m=2t-1（t∈N*）時：

所以Tm=

點評：有了前面對等比數(shù)列的伴隨數(shù)列的求解，那么對等差數(shù)列伴隨數(shù)列的求解就顯得順暢自然了.同樣利用新定義得出an=2n-1≤m，即n≤（m∈N*），這是問題順利求解的關(guān)鍵.另外本問的易錯點是忽略對項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)的討論.

四、變式解答

例2對于數(shù)列｛an｝，定義數(shù)列｛bn｝如下：對于正整數(shù)m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值，如｛an｝是單調(diào)遞增數(shù)列，a3=4，則b4=3；若數(shù)列｛an｝的通項公式為an=2n-1，n∈N*，則數(shù)列｛bn｝的通項公式為_________.

本題也是一道新定義的題目，要想解決它必須通過理解定義，轉(zhuǎn)化條件，化難為易，不斷地向我們的最近發(fā)展區(qū)靠攏.

解析：理解新定義：｛an｝是單調(diào)遞增數(shù)列，即a1＜a2＜a3＝4＜a4＜…，那么滿足an≥4的所有n中的最小值只能是3，所以b4＝3.

所以答案是bm＝

通過上述各問題的解答過程，不難發(fā)現(xiàn)，所用的知識方法都是我們熟悉的內(nèi)容.充分體現(xiàn)了高考考查同學(xué)們利用所學(xué)知識解決陌生問題的能力.

近年高考壓軸題大多體現(xiàn)在以數(shù)列為背景附加“新定義、新運算”的創(chuàng)新題目，目的在于考查考生對數(shù)學(xué)定義的閱讀理解和數(shù)學(xué)運算的能力，嚴(yán)密的邏輯思維和推理論證能力，綜合運用所學(xué)知識和方法解決問題的能力.這類問題往往淡化解題技巧、突出對考生數(shù)學(xué)思維能力的考查，要求考生能從問題中準(zhǔn)確提取有效信息，理解新的數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，進(jìn)行創(chuàng)造性的分析與推理.有效地考查了考生學(xué)習(xí)潛力和數(shù)學(xué)理性思維以及綜合運用數(shù)學(xué)思想方法創(chuàng)造性地解決問題的能力.Z