☉江蘇省昆山市第一中學(xué) 周維軍

小議模式識(shí)別在解題教學(xué)中的實(shí)踐和思考

☉江蘇省昆山市第一中學(xué) 周維軍

眾所周知，模式識(shí)別理論的最初發(fā)展階段中，所涉及的含義是指陌生情境中的問題，可以通過大腦思辨、分析、歸納和總結(jié)，通過轉(zhuǎn)化，進(jìn)而在自身頭腦中找到原始的、固有的模型，最終將問題成功解決的一種理論.從模式識(shí)別理論最初的發(fā)展來看，它涉及的僅僅是一種類似問題的套用，也就是說，相當(dāng)于我們現(xiàn)在所說的解題模仿.

近年來，隨著解題教學(xué)的不斷發(fā)展和模式識(shí)別理論的不斷更新，模式識(shí)別理論也不再僅是簡(jiǎn)單的解題模仿.陜西師大羅增儒教授提出：“模式識(shí)別有三個(gè)層次：第一層次是簡(jiǎn)單的解題模仿，即我們講解的問題可以讓學(xué)生模仿著去解決；第二層次是從不同的數(shù)學(xué)問題中，找尋共性、發(fā)現(xiàn)最根本的模型，相比低層次的模式識(shí)別而言，第二層次的模式識(shí)別將數(shù)學(xué)整合性的知識(shí)融入到解題教學(xué)中；第三層次是模式識(shí)別的最高境界，一般來說涉及形式化的數(shù)學(xué)過程和結(jié)論，就是通過表象看到了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也就是說最終的問題解決都轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)最根本的東西——數(shù)學(xué)概念.”本文將從案例的角度，從教學(xué)實(shí)踐的角度，結(jié)合模式識(shí)別理論，談一談在教學(xué)設(shè)計(jì)中如何將模式識(shí)別理論和教學(xué)實(shí)踐有機(jī)地整合在一起，不足之處敬請(qǐng)讀者指正.

一、低層次的識(shí)別

大家知道，人類對(duì)于陌生事物的處理手段往往是依賴于經(jīng)驗(yàn)的積累.比如，李時(shí)珍撰寫的本草綱目，其中涉及了上萬種的中草藥，對(duì)于如此多的中草藥，他都是通過類似的模仿手段去判別該草藥有沒有用？能不能治病？有沒有毒等問題.中學(xué)數(shù)學(xué)解題也是如此，學(xué)生能不能解決這一問題，他首先思考的是有沒有見過這樣的問題？如果解決過類似的問題，他的腦海中第一時(shí)間就能跳出這樣的問題模型，這種模仿就是模式識(shí)別的第一層次.我們相信，任何一個(gè)高中生從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)開始，他都有這么一種基本的能力：模仿、思考、嘗試、解決、歸納、鞏固模型.隨著可用的模型越來越多，那么學(xué)生對(duì)基本問題的解決也越來越熟練，進(jìn)而可以達(dá)到一個(gè)較為完善的問題解決框架.

案例1（2015年江蘇卷11改編）數(shù)列｛an｝滿足a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N*），求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

分析：利用累加得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）

模式識(shí)別：數(shù)列an+1-an=f（n）模型是遞推數(shù)列中的重要模型，進(jìn)一步研究一般化模型：an+1=pan+f（n）.

識(shí)別一：當(dāng)f（n）=q（常數(shù)）時(shí)，即an+1=pan+q模型.

問題1：數(shù)列｛an｝滿足a1=1，且an+1=2an+1，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng).

分析：利用待定系數(shù)法an+1+x=2（an+x），易得x=1，因此，所以｛a+1｝是等比數(shù)列.n

識(shí)別二：當(dāng)f（n）=kn+b（一次函數(shù)）時(shí)，即an+1=pan+kn+ b模型.

問題2：已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2），求通項(xiàng)an.

分析：令an+λn+u=2［an-1+λ（n-1）+u］，得an=2an-1+λn-2λ+u ，由待定系數(shù)得所以an+n= 2［an-1+（n-1）］（n≥2），即｛an+n｝是以a1+1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得an=2n-n.此處同樣是利用等比模型識(shí)別構(gòu)造，可見問題解決方法的一般性.

識(shí)別三：當(dāng)f（n）=an2+bn+c（二次函數(shù)）時(shí)，即an+1=pan+ an2+bn+c模型.

問題3：數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+n2，求通項(xiàng)an.

分析：由an+1=2an+n2及上述構(gòu)造，令an+1+λ（n+1）2+ u（n+1）+v=2（an+λn2+un+v），整理得an+1=2an+λn2+（u-2λ）n+ v-u-λ，由待定系數(shù)得

識(shí)別四：當(dāng)f（n）=qn（指數(shù)函數(shù)）時(shí)，即an+1=pan+qn模型.

問題4：數(shù)列｛an｝滿足a1=2，an+1=ban+2n，求通項(xiàng)an.

分析：需要分類：（1）當(dāng)b=2時(shí)，知an+1=2an+2n，令an+1+ λ（n+1）2n+1=2（an+λn2n），易得λ=-，所以｛an-n·2n-1｝是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，可得an=（n+1）2n-1；（2）當(dāng)b≠2時(shí)，同理，得an+1+λ2n+1=b（an+λ2n），λ=-，易得an=本題還有不同的處理方式，大家可以課后再做思考.

說明：很明顯，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知而言，模仿是第一手段.將數(shù)學(xué)知識(shí)存儲(chǔ)于頭腦中，并在遇到類似問題時(shí)合理將其運(yùn)用，這就達(dá)到了模式識(shí)別最基本的運(yùn)用層次.對(duì)本題利用等比構(gòu)造這單一知識(shí)點(diǎn)而言，模式識(shí)別有著極其高效的作用，可以通過結(jié)合變式教學(xué)的手段，使解題教學(xué)變得有效與高效.

二、中層次的識(shí)別

如果只能學(xué)會(huì)低層次的模式識(shí)別，那么模仿的手段和能力雖然得到了提升，但始終無法進(jìn)入更高層次的問題本質(zhì)的審視.比如說，在學(xué)習(xí)向量章節(jié)內(nèi)容時(shí)，一個(gè)學(xué)生可以將向量章節(jié)中的基礎(chǔ)題、基本技能熟練掌握和運(yùn)用自如，所有的向量問題都已經(jīng)在其頭腦中有雛形，但是在解決空間幾何和解析幾何時(shí)，有時(shí)向量的工具性作用呈現(xiàn)出巨大的威力，此時(shí)教師在教學(xué)中若不加以引導(dǎo)，那么學(xué)生的模仿和識(shí)別僅限于低層次的，其沒有辦法將模式識(shí)別、模仿等手段運(yùn)用到知識(shí)整合性的角度，大大降低了模式識(shí)別理論運(yùn)用的有效性，因此在解題教學(xué)更為重要的環(huán)節(jié)中，要注重模式識(shí)別理論對(duì)于不同問題、不同背景、不同載體的運(yùn)用和實(shí)踐.

案例2對(duì)于向量我們知道有這樣的性質(zhì)：|a+b|2+ |a-b|2=2（|a|2+|b|2）.在△ABC中，若M是BD的中點(diǎn)，則有.同時(shí)把三角形模式用文字概括為：三角形兩邊的平方和=2×（中線的平方+第三邊一半的平方）.利用這樣的模型，可以解決知識(shí)中的整合性識(shí)別.

識(shí)別一：設(shè)F1、F2是雙曲線=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PF1|∶|PO|∶|PF2|=5∶3∶3，則雙曲線的離心率為__________.

分析：根據(jù)三角形模式可得（5a）2+（3a）2=2［（3a）2+ c2］，即8a2=c2，所以e=2.

識(shí)別二：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（x-a）2+（y-a+2）2=1，點(diǎn)（0，2），若圓C上存在點(diǎn)M，滿足MA2+MO2= 10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.

分析：根據(jù)邊長(zhǎng)的三角形模式得MA2+MO2=2（MB2+ OB2），所以（MB2+1）=5，所以MB=2，所以點(diǎn)M在以B為圓心，以1為半徑的圓B上，又點(diǎn)M在圓C上，所以兩圓有交點(diǎn)，所以|CB|∈［r1-r2，r1+r2］，所以|CB|∈［1，3］，所以1≤a2+（a-3）2≤9，解得0≤a≤3.

說明：我們發(fā)現(xiàn)，存儲(chǔ)于頭腦中的各種模型模式，都是孤立的、單一的，如何將其整合在一起，識(shí)別在各種不同知識(shí)之間，是進(jìn)一步提高模式識(shí)別運(yùn)用于解題教學(xué)的關(guān)鍵.

三、高層次的識(shí)別

如果能將前兩者合理的掌握，那么學(xué)生對(duì)于問題的解決，數(shù)學(xué)解題能力的提高都有一定的作用.可以這么說，大部分的問題都能通過前兩者的模式識(shí)別加以區(qū)分，并合理解決.但是我們也知道，數(shù)學(xué)最終是形式化的，隨著數(shù)學(xué)能力的加強(qiáng)，以后接觸的更多的數(shù)學(xué)知識(shí)都是抽象的，僅僅通過模仿和整合還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，這就涉及模式識(shí)別理論最高層次的運(yùn)用.

案例3存在函數(shù)f（x）滿足，對(duì)任意x∈R都能滿足下列等式的是______________.

（1）f（sin2x）=sinx；（2）f（sin2x）=x2+x；（3）f（x2+1）=|x+ 1|；（4）f（x2+2x）=|x+1|.

分析：本題是模式識(shí)別最高層次的體現(xiàn).考查函數(shù)概念，是如何識(shí)別這些問題的原型呢？從最基本的函數(shù)概念出發(fā)：對(duì)任意的自變量，經(jīng)過對(duì)應(yīng)法則f都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)即可.對(duì)于（1）試取x=0及x=，發(fā)現(xiàn)（f0）分別等于0和1，這與函數(shù)概念最基本的特征相違背，顯然（1）是不成立的；對(duì)于（2）和（3），同理可得均不正確，因此只有（4）是正確的.

說明：模式識(shí)別最高層次的運(yùn)用，其實(shí)可以認(rèn)為它脫離了數(shù)學(xué)問題的表象，脫離了數(shù)學(xué)問題表象、情境的問題研究，其本質(zhì)是對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知.我們知道，數(shù)學(xué)中的核心概念形式化程度都非常高.比如函數(shù)概念，中學(xué)數(shù)學(xué)中各種各樣的問題最終都可以歸結(jié)為函數(shù)問題，從模式識(shí)別理論來講，所有的問題都是在研究函數(shù)概念及其性質(zhì)，找到了問題的共性.教學(xué)中將這樣的教學(xué)思想滲透到學(xué)生的腦海中，久而久之可以提高數(shù)學(xué)核心概念的理解，也可以發(fā)展學(xué)生對(duì)于解題的認(rèn)識(shí).

從模式識(shí)別的不同層次，我們發(fā)現(xiàn)了其在解題教學(xué)中具備的不同能力訓(xùn)練的要求，從初級(jí)模仿到中級(jí)整合到高級(jí)脫離問題形式的識(shí)別，勢(shì)必提高學(xué)生對(duì)于知識(shí)所使用模式的學(xué)習(xí)和理解，從模式識(shí)別中去提高對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解能力和運(yùn)用能力是值得教學(xué)關(guān)注的，從這一點(diǎn)來說模式識(shí)別也將長(zhǎng)期存在于中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，并還將被教學(xué)繼續(xù)發(fā)展.

另一方面，模式識(shí)別理論也受到大學(xué)其他專家褒貶不一的評(píng)價(jià)，很多專家教授對(duì)模式識(shí)別提出了非常猛烈的抨擊，認(rèn)為其思想僵化、指導(dǎo)學(xué)生套用模型、將學(xué)生的思維固化、教出的學(xué)生死板，沒有創(chuàng)新能力，筆者認(rèn)為他們沒有用與時(shí)俱進(jìn)、發(fā)展的眼光來看待模式識(shí)別理論.通過本文，我們對(duì)模式識(shí)別有了全新的認(rèn)識(shí)，至少從現(xiàn)階段中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐來看，模式識(shí)別必將長(zhǎng)期存在，并在原有模仿的基礎(chǔ)上有了進(jìn)一步的傳承和發(fā)展，將全新的模式教學(xué)理論和教學(xué)實(shí)踐相結(jié)合，我們對(duì)于解題教學(xué)的認(rèn)識(shí)有了從模仿到整合，到追求數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的全新認(rèn)知.久而久之，既能提高教師專業(yè)化的水準(zhǔn)，也能提高學(xué)生的解題能力，那么數(shù)學(xué)教與學(xué)將會(huì)起到更為巨大的作用.

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2002.

2.沈恒.從高考解題談模式識(shí)別［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2011（8）.

3.鄒黎華.例談數(shù)學(xué)解題中的模式識(shí)別［J］.福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（3）.F