段立偉

摘 ? 要：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往對下行學(xué)習(xí)，即題型、知識點、經(jīng)驗積累比較重視，而對上行學(xué)習(xí)，即理論、思想、方法、概念重視不夠。為了彌補小學(xué)數(shù)學(xué)在上行學(xué)習(xí)上的不足，更好地實現(xiàn)新課標(biāo)所提出的掌握數(shù)學(xué)思想這一目標(biāo)，科學(xué)地建構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)思想系統(tǒng)是必要的。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)思想;系統(tǒng)性;結(jié)構(gòu)化

中圖分類號：G623.5 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2015）02-0053-13

問題的提出

長久以來在小學(xué)數(shù)學(xué)界一直認(rèn)為數(shù)學(xué)有兩條線——數(shù)學(xué)知識是一條明線，數(shù)學(xué)思想與方法是一條暗線。這種認(rèn)識是片面性的、不科學(xué)的。

眾所周知，人的學(xué)習(xí)分兩種，一種是上行的學(xué)習(xí)，如理論、思想、方法、概念的學(xué)習(xí)，是從高處入手，往往具有系統(tǒng)性的特征。一種是下行學(xué)習(xí)，如具體的題型、知識點、經(jīng)驗的積累與感悟。這兩種學(xué)習(xí)相輔相成，缺一不可。

為了改變這一片面認(rèn)識，以事實證明數(shù)學(xué)思想可學(xué)、可講，我們課題組進(jìn)行了深入的研究，現(xiàn)就這一研究的一些核心概念進(jìn)行解釋說明。

一、什么是小學(xué)數(shù)學(xué)思想系統(tǒng)及如何建構(gòu)

所謂系統(tǒng)是由相互聯(lián)系、相互依賴、相互制約和相互作用的若干要素組成的一個具有整體功能和綜合行為的統(tǒng)一體。它具備四性：整體性、層次性、結(jié)構(gòu)性和開放性。小學(xué)數(shù)學(xué)思想系統(tǒng)是建立在小學(xué)數(shù)學(xué)課程基礎(chǔ)上，以小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想做系統(tǒng)要素，以反映各要素之間在數(shù)學(xué)上的邏輯關(guān)系為目的的系統(tǒng)。目前現(xiàn)狀：各種思想從整體看沒有產(chǎn)生對數(shù)學(xué)知識有力支持的效果;各種思想之間的關(guān)系不明確，更談不上優(yōu)化，這使得結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定;各種思想之間因果、主次、遞進(jìn)關(guān)系不明確，這使得層次不清晰;對內(nèi)能行之有效，對外能遷移變通，就現(xiàn)狀看還不理想。從小學(xué)數(shù)學(xué)思想的現(xiàn)狀來看是不具備系統(tǒng)性特征的。

（一）數(shù)學(xué)思想的來源

數(shù)學(xué)思想主要有四個來源： ①來自具體而典型的數(shù)學(xué)知識，如不變求變、假設(shè)、還原、對消; ②來自認(rèn)知規(guī)律，如比較、分解與組合、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化; ③來自思維科學(xué)，如演繹、歸納; ④來自對課程標(biāo)準(zhǔn)的分析與研究，如等分與比較。

（二）數(shù)學(xué)思想的選擇

結(jié)合教學(xué)實踐、學(xué)生具體所學(xué)及學(xué)生的接受力，確定必須要系統(tǒng)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想有十八個： 集合、分解與組合、 比較 、分類討論、等分、湊、刨、對應(yīng)、對消、還原、方程、不變求變、假設(shè)、極限、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、建模、統(tǒng)計與概率; 處于隨機(jī)滲透位置（可講也可不講）的數(shù)學(xué)思想有三個：整體、符號、變求不變;提也不要提的數(shù)學(xué)思想三個：演繹、歸納、函數(shù)。

（三）數(shù)學(xué)思想的地位

從關(guān)系圖中可以看出基本思想是其它三基的出發(fā)點與歸宿，位于最上層。

（四）關(guān)于在哪個學(xué)段教學(xué)的思考

建議在六年級后半年進(jìn)行專項系統(tǒng)學(xué)習(xí)。

（五）處在最核位置的數(shù)學(xué)思想是比較、等分與對應(yīng)三個數(shù)學(xué)思想

“等分”是有序平均分的簡稱。對量進(jìn)行有序等分產(chǎn)生了單位、進(jìn)率，以及在此之上的更為抽象的數(shù)位、位數(shù)、計數(shù)單位。這使得我們可以對一個事物的某一屬性進(jìn)行定量的刻畫！例如，我們對事物的不同屬性（大小、位置、質(zhì)量、硬度、亮度、速度、濕度……）進(jìn)行量上的有序等分（當(dāng)然在小學(xué)只強調(diào)五方面的等分，長度、面積、體積、重量、時間），我們就可以實現(xiàn)對事物多維度的定量刻畫。這也就解釋了，為什么在小學(xué)把數(shù)位、位數(shù)、計數(shù)單位、計量單位、運算、換算做為基本知識與技能的理由是，小學(xué)生必須具有基本的對世界進(jìn)行定量刻畫的能力！而有序等分是思想支撐！

把“比較”理解成同中異、異中同就太淺了，更深的認(rèn)識應(yīng)當(dāng)歸納到對研究對象的類化、透化、通化上。對整個研究對象根據(jù)一定標(biāo)準(zhǔn)，對其進(jìn)行有序劃分和組織（類化）;再對每類內(nèi)部的特點、規(guī)律進(jìn)行歸納概括（透化）;最后對各類進(jìn)行開放思考（通化）。實現(xiàn)了“三化”，也就實現(xiàn)了對研究對象的真正掌握。三化以同、異分析為方法，而同、異是比較出來的，由此可見，“比較”是實現(xiàn)“定性把握”的思想基礎(chǔ)。

（六）數(shù)學(xué)思想是一個相對互補的和諧統(tǒng)一體

“等分”與“比較”一個“定量”，一個“定性”，相對互補對立統(tǒng)一。對應(yīng)思想分為三種基本方式：收斂、發(fā)散、跳躍。收斂式對應(yīng)強調(diào)集中性和批處理，演繹證明、變中不變、異中同、化歸、建構(gòu)模型、極限都屬此范疇;發(fā)散式對應(yīng)強調(diào)想象力和創(chuàng)造性，歸納發(fā)現(xiàn)、不變中變、同中異、分類討論、統(tǒng)計與概率都屬此范疇;跳躍式對應(yīng)強調(diào)跨越式聯(lián)系，如，類比思想、等量代換。

在數(shù)形結(jié)合中，數(shù)與形是相輔相成、對立統(tǒng)一的關(guān)系，同時數(shù)形結(jié)合與對消思想在優(yōu)化題目方面是相對互補、對立統(tǒng)一的關(guān)系，對消是用對等消去實現(xiàn)優(yōu)化，數(shù)形結(jié)合是用數(shù)形轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)優(yōu)化。

方程是四個數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)一。建立一個含有未知數(shù)的等式體現(xiàn)的是建模思想;解方程的過程是將方程等價歸結(jié)為x=a，是化歸思想;方程中的x具有雙重身份，作為已知數(shù)參與運算，作為未知數(shù)被分離，而分離體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是對消與還原。

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解決問題的一般思想方法。包含化歸、類比、等量代換、數(shù)形結(jié)合四個數(shù)學(xué)思想?；瘹w重在歸，具有收斂性、概括性;等量代換（跳躍式對應(yīng)），往往應(yīng)用于具體問題中，如簡算、曹沖稱象、阿基米德定律以及在求不規(guī)則體積時用到的V升=V降=V排;數(shù)學(xué)建模其本質(zhì)思想還是化歸，是將具有相同或類似數(shù)量關(guān)系但又情境不同的問題，轉(zhuǎn)化歸結(jié)為同一模型來批處理的數(shù)學(xué)思想，建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一般思想方法;類比具有跳躍式轉(zhuǎn)化特點，屬合情推理;而數(shù)形結(jié)合是實現(xiàn)各種轉(zhuǎn)化最基本的思想方法。他們都?xì)w屬于轉(zhuǎn)化思想，是轉(zhuǎn)化在不同層面的反映。endprint

（七）數(shù)學(xué)思想系統(tǒng)是一個開放的系統(tǒng)

1.數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法

“沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識?！薄坝辛藬?shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)知識就不再成為孤立、零散的東西，數(shù)學(xué)方法也就不再是死板的教條?！薄案鶕?jù)我們對數(shù)學(xué)思想的理解能夠得出，數(shù)學(xué)思想含于數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法之中，而又高于數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法。它是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識的紐帶，對于具體的數(shù)學(xué)知識具有巨大的凝聚力，起著結(jié)晶的作用?！?/p>

2.數(shù)學(xué)思想與方法

“方法是指人們?yōu)榱诉_(dá)到某種目的而采取的手段、途徑或行為規(guī)則，具有程序性、規(guī)則性、可操作性、模式性等特征。方法因問題而產(chǎn)生，因能解決問題而存在?！薄皵?shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法既有區(qū)別，又有密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想的理論和抽象程度高一些，而數(shù)學(xué)方法的現(xiàn)實性更強一些。人們實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想往往要靠一定的數(shù)學(xué)方法;而人們選擇數(shù)學(xué)方法，又要以一定的數(shù)學(xué)思想為依據(jù)。因此，二者是有密切聯(lián)系的。我們把二者合稱為數(shù)學(xué)思想方法?！毙W(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容簡單，所蘊涵的思想和方法很難截然分開，在一定條件下是可以互相轉(zhuǎn)換。

3.同一個知識點的多思想、主次性

對于同一個知識點，會包含多個數(shù)學(xué)思想，其中總有一個思想在這個知識點起重要的原理作用，其它思想都以它為主，為它所用。比如，方程包含了化歸、建模、還原、對消四個思想，而建模是方程思想的核心。

二、等分與比較思想的具體內(nèi)涵是什么

“等分”、“比較”是處于數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)位置的兩個數(shù)學(xué)思想，“等分”實現(xiàn)了對客觀世界的定量刻畫，“比較”實現(xiàn)了對客觀世界的定性把握。

（一）等分

對數(shù)、量進(jìn)行有序、有級的等分，并規(guī)定單位及相應(yīng)的換算關(guān)系，以實現(xiàn)對數(shù)或量進(jìn)行簡單、精確描述與正確、高效運算的思想。

1.從計量單位上看等分

不同級別的長度單位對長度進(jìn)行了有序、有級的等分，實現(xiàn)了人們對長度的精確描述;不同級別的質(zhì)量單位對質(zhì)量進(jìn)行有序、有級的等分，實現(xiàn)了人們對質(zhì)量大小的精確描述;不同級別的面積單位對面積進(jìn)行有序、有級的等分，實現(xiàn)了人們對面積大小的精確描述;年、月、日、時、分、秒對時間進(jìn)行有序、有級的等分，實現(xiàn)了人們對時間的精確描述。

我們所使用的各種測量器，以不同的形式和用途反映了同樣的思想——等分。

2.從數(shù)與運算上看等分

（1）整數(shù)的計數(shù)單位是以1為最小起點的不對稱十進(jìn)制等分;小數(shù)的計數(shù)單位是以1為中心點的對稱十進(jìn)制等分;分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位是以1為標(biāo)準(zhǔn)的自由等分。

（2）數(shù)位表直觀地體現(xiàn)了“等分”的有序、有級性

（3）等分在運算上的體現(xiàn)

數(shù)位、計數(shù)單位、進(jìn)率是運算的核心概念，它們之間的關(guān)系體現(xiàn)在位與值上，而位與值體現(xiàn)的正是“等分”的序與級，由此可見運算以等分思想為本。

等分是數(shù)學(xué)實現(xiàn)對客觀世界進(jìn)行定量刻畫的必由之路。

（二）比較

在唯物主義辯證法中定義規(guī)律是指事物內(nèi)部各要素之間及事物與事物之間的固有聯(lián)系。反映在數(shù)學(xué)思想上就是以“三化”為核心概念的比較思想。“類化”是要細(xì)化并明確要研究的數(shù)學(xué)事實;“透化”是對各類明確的數(shù)學(xué)事實，分別獨立研究其內(nèi)部各要素之間的規(guī)律;“通化”是對類與類之間關(guān)系，進(jìn)行開放研究。實現(xiàn)了“三化”，也就實現(xiàn)了對研究對象性（質(zhì)、規(guī)律）的把握。三化以同異分析為方法，而同異是比較出來的。

“比較”是數(shù)學(xué)實現(xiàn)對客觀世界進(jìn)行定性把握的必由之路。

例如：

角的分類也是這樣：

類化——角按大小分為銳角、直角、鈍角、平角、周角。

透化——銳角是小于90度大于0度的角;鈍角是大于90度小于180度的角;直角是等于90度的角;平角是等于180度的角;周角是等于360度的角。

通化——比直角小的是銳角;比一個直角大，比兩個直角小的是鈍角;正好是兩個直角的是平角;正好是四個直角的是周角。

小知識點如此，大知識塊也是這樣：

引用吳正憲老師所做的，“比的基本性質(zhì)及應(yīng)用”（關(guān)系圖），實現(xiàn)了“三化”合一。

張奠宙教授在《思想改變課堂》（作者唐彩斌、上海教育出版社34頁）說：“做任何事，都要對處理的對象分類，分別研究，才能深入下去，獲得最佳效果……”。正是比較思想的實踐意義。

集合、比較、等分關(guān)系圖（其它思想是這三個思想的衍生和具體化）

“等分”和“比較”實現(xiàn)了人類對客觀世界的定量刻畫與定性把握。在試用教材的教學(xué)實踐中，這兩個思想，學(xué)生可以接受，并能在一定范圍內(nèi)舉一反三，觸類旁通，這使我們倍感欣慰！因為只有學(xué)生認(rèn)可，研究才有繼續(xù)下去的必要。

三、對應(yīng)與轉(zhuǎn)化是實現(xiàn)對問題透化與通化的基本思想

（一）對應(yīng)思想

對應(yīng)是聯(lián)系的別稱，有三種方式：收斂、發(fā)散、跳躍。對應(yīng)是實現(xiàn)透化、通化問題的核心思想。

收斂式對應(yīng)強調(diào)集中性和批處理，演繹證明、變中不變、異中同、化歸、建構(gòu)模型、極限都屬于收斂式對應(yīng)范疇;發(fā)散式對應(yīng)強調(diào)想象力和創(chuàng)造性，歸納發(fā)現(xiàn)、不變中變、同中異、分類討論、統(tǒng)計與概率都屬于發(fā)散式對應(yīng)范疇;跳躍式對應(yīng)強調(diào)跳躍式聯(lián)系，如類比、等量代換。endprint

1.收斂式對應(yīng)

（1）數(shù)學(xué)中的化歸思想

例如：多邊形面積公式可以收斂歸納到長方形或梯形的面積公式中。

（2）解分?jǐn)?shù)的過程，其實質(zhì)是將問題的解決歸納（收斂）到量率對應(yīng)上

【例1】 海洋化肥廠計劃在第二季度生產(chǎn)一批化肥，已知四月份完成了總數(shù)的 1/3 多 50 噸，五月份完成了總數(shù)的 2/5 少 70 噸，還有 420 噸沒有完成。問二季度原計劃生產(chǎn)多少噸化肥？

分析：為了實現(xiàn)量率對應(yīng)，需要對條件進(jìn)行假設(shè)。假設(shè)四月份正好完成了總數(shù)的 1/3，剩下（420+50）噸。五月份也正好完成總數(shù)的 2/5，剩下（420+50-70）噸，這樣一來，問題就變成了當(dāng)四月份完成總數(shù)的 1/3，五月份完成總數(shù)的 2/5，還剩下（420+50-70）噸，很容易實現(xiàn)，量率對應(yīng)。

【例2】六（一）班女生占總?cè)藬?shù)的9/20，后來又轉(zhuǎn)來6 名女生，這時女生占總?cè)藬?shù)的5/7。求男生有多少人？

分析：女生人數(shù)發(fā)生了變化，但男生人數(shù)沒有變動，所以就以男生人數(shù)做標(biāo)準(zhǔn)，看女生人數(shù)在轉(zhuǎn)來以前與轉(zhuǎn)來以后占男生的分率差是多少，這個率差正好就是轉(zhuǎn)來6名女生所對應(yīng)的分率（15 / 11 - 9 / 11）， 量率對應(yīng)，問題解決。

（延伸）以此想開去，所有應(yīng)用題的解決最終都必須歸納（收斂）到數(shù)量關(guān)系上。

【例3】用每千克8.4元的奶糖2千克，每千克5.6元的水果糖3千克;每千克6.9元的酥糖4千克;混合成什錦糖。這種什錦糖每千克的價格是多少元？

分析：有些同學(xué)列式為：（8.4+5.6+6.9）÷3，把單價=總價÷數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系用成了單價=單價和÷單價數(shù)了，錯在對應(yīng)關(guān)系上，應(yīng)列式：（8.4×2+5.6×3+6.9×4）÷（2+3+4）。

（3）極限思想也屬收斂式對應(yīng)

“極限（Limit）一詞從詞源上講，含義是表示一個不可超越的限度，含有限制的意思。數(shù)學(xué)中的“極限”在一定方面也有這個意思，但不完全是這個意思，更廣地，如有“無窮逼近”之意。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域“極限”是有嚴(yán)格定義的，用以描述量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)?！保ㄒ浴蹲鰹榻逃蝿?wù)的數(shù)學(xué)思想與方法》 顧泠沅/主編 邵光華/著179頁。）極限是一種動收于靜的收斂，體現(xiàn)運動與靜止的辯證關(guān)系。

2.發(fā)散式對應(yīng)

下面是吳正憲老師的關(guān)于“數(shù)的運算”這部分教學(xué)內(nèi)容的“知識樹”：

我們可以感受到發(fā)散式對應(yīng)細(xì)化了要研究的問題。

從上往下看是收斂式對應(yīng)，從下往上看是發(fā)散式對應(yīng)。收斂與發(fā)散相輔相成，是數(shù)學(xué)認(rèn)知世界的基本思想。比如“一題多解”和“算法多樣化”，在“求多”，“求樣兒”時，是發(fā)散式對應(yīng)，而多中選優(yōu)時，則是收斂式對應(yīng)。它們統(tǒng)一在一個完整的學(xué)習(xí)過程中。

3.跳躍式對應(yīng)

跳躍式對應(yīng)強調(diào)多個領(lǐng)域的跳躍式聯(lián)系，如，類比思想、等量代換。

等量代換強調(diào)在代換上做文章，往往只應(yīng)用于具體問題中，如簡算、曹沖稱象、阿基米德定律以及在求不規(guī)則物體體積時用到的V升=V降=V排。

類比更具跳躍性（如下圖，六類問題情境不同，但都是包含除的數(shù)量關(guān)系）。

總之，在小學(xué)一提對應(yīng)思想，大家往往想到的是數(shù)量關(guān)系，甚至局限在“量率對應(yīng)”。這樣想就太窄了。應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生認(rèn)識到對應(yīng)有三種基本方式，感受到對應(yīng)是實現(xiàn)透化、通化問題的核心思想才好。

（二）轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的一般思想方法，包含化歸、類比、等量代換、數(shù)形結(jié)合四種基本形式。

在三國演義中諸葛亮變造箭為借箭，智勝周瑜;曹沖以石代象，巧稱象重，這都是精彩的轉(zhuǎn)化應(yīng)用。在數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化更是無處不在，無處不用的思想。

1.化歸轉(zhuǎn)化

例1.“新生”歸于“舊熟”

例2.“繁難”歸于“簡易”

圓柱的表面積公式可以整合為S=c（h+r）

2.類比轉(zhuǎn)化

類比強調(diào)轉(zhuǎn)化的跳躍性。在吳老師畫的“比的基本性質(zhì)及應(yīng)用”中，充分體現(xiàn)了類比轉(zhuǎn)化的思想。

endprint

（引自《吳正憲的兒童數(shù)學(xué)教育》北京師范大學(xué)出版社）

3.等量代換思想

代換以相等為條件，具有跳躍性，往往應(yīng)用于具體問題中，如簡算、曹沖稱象、阿基米德定律、求不規(guī)則物體體積時用到的V升=V降=V排。但并不絕對，我們也可以用等量代換思想建構(gòu)重要的數(shù)學(xué)模型。

例如，可以用“代換法”，給小學(xué)生創(chuàng)建一個他們可以理解的等差數(shù)列求和公式，在3+5+7+9+11+13+15+17+19+21的式子中，3+21=5+19=7+17=9+15=11+13，于是和可以用乘法代換，用（最大+最?。┏艘詫?shù)就行，對數(shù)可以用個數(shù)除以2代換，個數(shù)看成點數(shù)后，又可以用間隔數(shù)加1代換，間隔數(shù)又可用包含除來代換（21-3）÷（5-3）。這樣經(jīng)過多次代換，就得到一個學(xué)生可以理解的、具有應(yīng)用一般性的等差數(shù)列求和公式：總和=（最大+最?。羀（最大-最?。碌炔?1]÷2。

需要注意的是不能把等量代換簡單地理解成A=B、B=C則A=C。

判斷題：

4100÷800=41÷8=5------1 ? ? ? ? （ × ）

分析：單看41÷8=5------1是對的，但從整體上看未必。4100÷800換算成41÷8，商是不變，但余數(shù)小了。

4.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的基本思想方法

形強于“跳躍式的思考”與“突破性的發(fā)現(xiàn)”，數(shù)強于“精確、嚴(yán)密的推導(dǎo)”與“演算”，數(shù)形結(jié)合的程度越深，越能實現(xiàn)認(rèn)識上的飛躍。

從圖中形一眼就可以看出圓周率在3與4之間，這是數(shù)與形直觀結(jié)合的直觀收獲，“割圓術(shù)”是從直觀中受到的啟發(fā)，使得數(shù)與形之間結(jié)合得更深，最終認(rèn)識到圓周率是一個介于3與4之間的一個無限不循環(huán)小數(shù)。用美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩的話說：“如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化成一個圖形，那么思想就整體地把握住了問題，并且創(chuàng)造性地思索問題的解法?！?，割圓術(shù)正是“形”提供思路，“數(shù)”使之入細(xì)的實例。

總之，“化歸”重在歸，具有收斂性、概括性;等量代換往往應(yīng)用于具體問題中;數(shù)學(xué)建模雖然沒有專述，但其本質(zhì)思想還是轉(zhuǎn)化化歸，是將具有相同或類似數(shù)量關(guān)系但又情境不同的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)于同一模型來批處理的數(shù)學(xué)思想，建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一般方法;類比具有跳躍式轉(zhuǎn)化特點，屬合情推理;數(shù)形結(jié)合是實現(xiàn)各種轉(zhuǎn)化的基本思想方法;他們都?xì)w屬于轉(zhuǎn)化思想，是轉(zhuǎn)化思想在不同層面的反映。

對應(yīng)與轉(zhuǎn)化從不同的思想角度，提供透化與通化問題的思想方法，這兩個數(shù)學(xué)思想是比較思想的子思想。

四、對消、還原與方程

“對消”與“還原”是等量代換的子思想，而等量代換是轉(zhuǎn)化的子思想，模型思想是化歸的子思想，而化歸也是轉(zhuǎn)化的子思想。之所以對消、還原、模型與方程統(tǒng)一在第四版塊，是因為在方程解決問題的過程中，將以上這幾個思想緊密地聯(lián)系在一起！

（一）對消是對等并消去的簡稱

1.生活中的對消

冬天我們增加衣物，是為了對消掉寒冷;夏天我們減少衣物是為了對消掉炎熱;把藥的表面涂一層糖皮，是為了對消掉苦味。在生活中對消是普遍存在的。

2.數(shù)學(xué)中的對消

【例1】五（1）班買了8支鋼筆和24支圓珠筆共付39元，五（2）班買同樣的8支鋼筆和20支圓珠筆共付35元，每支鋼筆和每支圓珠筆各多少元？

分析：如果把鋼筆的價錢對消掉，得到只含有圓珠筆一個問題的等式，則解：

【例2】 2包餅干和3袋水果糖的價錢是12.4元，3包餅干和2袋水果糖的價錢是14.1元。一包餅干和一袋水果糖的價錢各是多少元？

分析：如果能創(chuàng)造出相同的餅干數(shù)并對消掉，得到只含有水果糖一個問題的等式，則解：

（二）還原是退回原來的簡稱

【例3】書店原來有一些故事書，又運進(jìn)來680冊，賣出736冊，還剩184冊。這個書店原有故事書多少冊？

分析：這道題有清晰的時間線索，利用還原思想，從后向前解答。

還剩的本數(shù)？隰賣出736冊 ？隰運進(jìn)680冊 ？隰原有故事書

184冊 ? 賣出的書再讓它買回來 ?運進(jìn)的680冊將它運走 ? 240冊

184+736=920（冊） ? ?920-680=240（冊）

答：這個書店原有240冊故事書。

【例4】冬天來了，白雪給大地做了一件厚厚的棉被。小松鼠為了度過這寒冷的冬天，早就貯藏了很多松果。九月份吃了總數(shù)的1/4 多50個，十月份吃了剩下總數(shù)的1/2少50個，十一月份吃了剩下的4/5少50個，臘月吃了100個，吃完了，春天也來了。請你算一算，小松鼠一共貯藏了多少個松果呢？

分析：從九月到臘月，這道題的時間線索是很清晰的，我們就利用這一清晰的時間線索，從后向前還原總數(shù)。

endprint

有些人說還原是從問題出發(fā)說乘就除，說除就乘，說加就減，說減就加的數(shù)學(xué)思想。還有一些人說是倒推，是逆向思維，是從后向前。這些說法都有道理，但是不是這樣理解更好一點，即它是以問題的解決為目的，逆用關(guān)系來解決問題的數(shù)學(xué)思想。當(dāng)然這樣做的條件是題目中的關(guān)系必須明確，便于還原。

對消與還原在解方程中得到統(tǒng)一

【例5】5x+4=3x+6

5x-3x+4=3x-3x+10（等式兩邊同時對消掉3x）

2x+4=10

2x+4-4=10-4（等式兩邊同時對消掉4，等式的基本性質(zhì)就是消的性質(zhì)）

2x=6

x=6÷2 ? ? ? ? （乘法還原為除法）

x=3

對消是對等并消去的簡稱，還原是退回原來（逆用關(guān)系）的簡稱。它們巧妙地統(tǒng)一在解方程中。（延伸）對消與數(shù)形結(jié)合都有使題目優(yōu)化的作用，但方式不同，對消是用對等消去實現(xiàn)優(yōu)化，數(shù)形結(jié)合是用數(shù)形的轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)優(yōu)化。

（三）方程思想

方程是通過有意識地讓問題與等式搞共存，在恒等變形中解決問題的數(shù)學(xué)思想。建模、化歸、對消、還原這四個數(shù)學(xué)思想智慧地統(tǒng)一在方程思想中。

建立一個含有未知數(shù)的等式，體現(xiàn)的是建模思想;解方程的過程，是將方程轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為x=a，是化歸思想;分離x，應(yīng)用的是還原與對消思想。

【例1】 5x+4=3x+6 （讓未知數(shù)與等式搞共存建立相等模型）

5x-3x+4=3x-3x +10 ?（等式兩邊同時對消掉3x）

2x+4=10

2x+4-4=10-4（等式兩邊同時對消掉4，等式的基本性質(zhì)屬消的性質(zhì)）

2x=6

x=6÷2 ? ? ? ? （乘法還原為除法）

x=3 ? ? （解方程就是將方程轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為x=a的過程）

方程中的x具有雙重身份，作為已知數(shù)參與運算，作為未知數(shù)被分離。

1.方程解決問題與算式解決問題的比較

“由于從等量關(guān)系來看，算術(shù)思想是將已知量的四則運算組合式全部寫在等號的一邊，只不過另一邊沒有寫出x而已，是直接用已知表示未知，所以有人就認(rèn)為，算術(shù)思想是方程思想的極端化，其實不然。方程根本就沒有經(jīng)過任何運算，只是闡述了一個事實本身，一個沒有經(jīng)過任何加工的事實本身。所以說，方程思想與四則算術(shù)思想具有本質(zhì)的不同?！?/p>

2.需要注意二個問題

（1）不一定問什么就設(shè)什么

并不是在任何情況下都是“問什么就設(shè)什么”好，若直接設(shè)要求的問題，不容易找到等式，或找到的等式不好解，那就應(yīng)該考慮一下，暫時放棄問什么就設(shè)什么的想法。

【例2】媽媽去買鴨梨，她帶的錢如果買3千克鴨梨，還剩2.40 元，如果買5千克鴨梨，則差3.60元。請問媽媽一共帶了多少錢？

分析：如果直接設(shè)總錢數(shù)為x，方程是（x-2.40）÷3=（x+3.6）÷5，不好解。反之，如果先設(shè)鴨梨的單價是x元，再求總錢數(shù)，就好算多了。

解：設(shè)鴨梨的單價是x元。

3x+2.4=5x-3.6

2x=6

x=3

3×3+2.4=11.4（元）答：（略）。

（2）選用不同的等式，會帶來不同的解題效率

求優(yōu)、求簡是數(shù)學(xué)的精神，所以對于列的方程來說，我們的原則應(yīng)是可加可減，用加不用減，可乘可除，用乘不用除。

【例3】 崗上果園有梨樹和棗樹共190棵，棗樹的棵數(shù)是梨樹的4倍。梨樹和棗樹各多少棵？

我們可以列出四個方程

A：設(shè)梨樹為x，那么棗樹是（190-x）棵

x=（190-x）×4

B：設(shè)棗樹為x棵，那么梨樹為（190-x）棵

x=190-x=4x

C：設(shè)梨樹為x，那么棗樹為4x

x+4x=190

D：設(shè)棗樹為x棵，那么梨樹為x÷4棵

x+x÷4=190

C是最能體現(xiàn)“避繁就簡”思想的。

方程作為一個思想更為博大，它涵蓋了建模、化歸、還原與對消四個數(shù)學(xué)思想，它使我們對問題的求解進(jìn)入了一個更自由的世界。

五、湊與刨、分解與組合、分類討論

湊與刨、分解與組合、分類討論是實現(xiàn)比較思想中類化問題的基本思想方法。他們從不同的思想角度為我們提供如何將問題類化、細(xì)化、深化的思路。

一是從問題的內(nèi)部想辦法，二是從問題的外部想辦法，湊與刨、分解與組合正是這兩種思想的體現(xiàn)。

（一）湊、刨

1.求多邊形面積

2.簡算

9+99+999+3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64

=（9+1）+（99+1）+（999+1） ?=1-1/64

=10+100+1000 ? ? ? ? ? ? ? ? =63/64

=1110

3. 2點43分時，時針與分針的夾角是（ ?）度endprint

（二）分解與組合

智慧的分解與組合，可以實現(xiàn)少資源，高效率。

1.豎式是計算的優(yōu)化

（延伸）23個聲母與24個韻母的組合，解決了拼音問題;25個筆畫、128個偏旁部首的組合，解決了漢字問題;由0到9這十個數(shù)字按位值法組合，解決了計數(shù)問題。智慧的分解與組合，可以實現(xiàn)少資源，高效率。

（三）分類討論

是指將一個大問題類化為多個小問題，它的思想是：如果能將小問題個個擊破，則大問題將被解決（不再舉例）。

六、假設(shè)極限與統(tǒng)計

之所以把這三個思想放在最后，是因為它們與其它思想聯(lián)系不夠緊密，有自己更多的個性化的東西。比如說假設(shè)思想是一種有特色的建模思想，特色在用創(chuàng)設(shè)情境的方式建立模型，解決問題，它是建模思想的子思想，而建模思想又是化歸思想的子思想，而化歸是轉(zhuǎn)化的子思想;極限是小學(xué)中唯一一個體現(xiàn)動與靜辯證的數(shù)學(xué)思想，例子不多，但意義重大;而統(tǒng)計與概率又是完善學(xué)生世界觀的必要思想和重要途徑。這三個思想十分重要，又個性十足，故而合三為一，歸入第六版塊。

（一）假設(shè)思想

雞兔同籠是典型的假設(shè)思想的應(yīng)用，但如果假設(shè)思想只停留在把雞看成兔上，那就太淺了，把它看成是一種建模方式，才能上升到推廣與應(yīng)用的高度。

【例1】李大爺家有雞、兔共16只，共有38個腳。雞、兔各有多少只？

分析：假設(shè)都是雞，必然會突出兔子的數(shù)量關(guān)系，每只兔子被少算了2只腳，一共少算了6只腳，所以兔的只數(shù)=少算的腳數(shù)÷腳差。反之，假設(shè)是兔子，就可以算出雞的只數(shù)。

【例2】100個和尚100個饃，大和尚一個人吃三個，小和尚三個人吃一個，一共多少個大和尚，多少個小和尚？

分析：假設(shè)都是大和尚，引起饃總數(shù)變化的必是小和尚，利用這個變化，建構(gòu)包含除模型，算出小和尚人數(shù)。

（100×3-100）÷（3-1/3）=75（人）

100-75=25（人） ? 答（略）。

【例3】甲乙兩個消防隊共有 336 人，抽調(diào)甲隊人數(shù)的 5/7 ，乙隊人數(shù)的 3/7 ，共是188 人，問甲乙兩個消防隊原來各有多少人？

分析：假設(shè)兩隊抽調(diào)人數(shù)相同都是 5/7 ，引起抽掉人數(shù)變大的必是乙隊，利用這一變化，建立量率對應(yīng)模型，求出乙隊。

（336×5/7-188）÷（5/7-3/7）=182 （人）

336-182=154 （人） ? 答（略）。

【例4】一項工程，甲乙合干一天的效率是9/40，甲干2天后乙又干了5天一共完成3/4，甲單獨干需要多少天完成？

分析：假設(shè)甲乙都工作5天，甲就少干三天，利用這三天求出甲效，進(jìn)一步求出甲單獨干需要的天數(shù)。

1÷【（9/40×5-3/4）÷（5-2）】=8（天） ?答（略）。

用假設(shè)創(chuàng)造變化，在變化中尋找戰(zhàn)機(jī)，是假設(shè)思想給我們的啟示。從方法層面上看，假設(shè)是一種建模方式。

（二）極限思想

無窮逼近是極限思想的內(nèi)涵。小學(xué)有相關(guān)素材，但不多，有必要做收集、整理、詮釋工作。

極限思想離不開無窮、無限。但如果只是個數(shù)上的無窮，沒有逼近值，那也不是極限。例如，自然數(shù)是無限多的、直線是無限長的，但這些概念不屬極限范疇。

【例1】1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64+………=？

分析這個式子，如果無限地寫下去，那么1就是這個式子的極值。

【例2】1/9=0.111………同理9/9=0.999………，而1=9/9，這就說明0.999…是極值是1，也就是0.999…=1。

【例3】正三邊形、正四邊形、正五邊形……不斷的增加邊數(shù)，圖形就越接近圓，圓就是正多邊形的極值。

（延伸）將無數(shù)個高“極”到半徑，底“極”到周長上一點的全等三角形面積，做求和運算，就是圓的面積。

“極限（Limit）一詞從詞源上講，含義是表示一個不可超越的限度，含有限制的意思。數(shù)學(xué)中的“極限”在一定方面也有這個意思，但不完全是這個意思，更廣地，如有“無窮逼近”之意。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域“極限”是有嚴(yán)格定義的，用以描述量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)。它的建立是數(shù)學(xué)發(fā)展史中的一個重要轉(zhuǎn)折點。此后空間中的各類收斂性，也都是極限思想方法的運用和拓廣”。

極限是一種動收于靜的收斂方式，體現(xiàn)運動與靜止的辯證關(guān)系。極限是啟迪智慧，發(fā)展能力的重要知識，無論當(dāng)下還是以后都有重要意義，必須認(rèn)真學(xué)習(xí)。

（三）統(tǒng)計

統(tǒng)計與概率有著密切的聯(lián)系，都屬合情推理。

統(tǒng)計思想就是：以表或圖的形式，反映一組數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，為判斷、選擇、決策提供統(tǒng)計依據(jù)的思想。

1.從形式上看

所有的統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖從形式上都必須回答三個問題：“誰”統(tǒng)計對象;“什么”統(tǒng)計項目;“多少”統(tǒng)計數(shù)據(jù)。統(tǒng)計表是以表格的形式反映，統(tǒng)計圖是以圖的形式反映。endprint

2.從意義上看

想通過制表或分析表，制圖或分析圖，得到什么方面的信息;收集的數(shù)據(jù)是否可靠;選用圖表的方式是否合適;最終的結(jié)論可信度有多少;這都是統(tǒng)計在意義上的反映。

3.從推理上看

利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)或統(tǒng)計信息進(jìn)行的推理稱為統(tǒng)計推理。大家一般都相信數(shù)據(jù)，認(rèn)為用數(shù)據(jù)說話無可爭辯，但事實上并非如此。統(tǒng)計做為合情推理，推理者可能出于某種目的，故意得出謬論，迷惑公眾，讓學(xué)生認(rèn)識到這一點很必要。

案例1

本市的治安形式急劇惡化，今年的惡性刑事案件較去年增加了100%，聽完后我們會感到這個城市真的不安全了，而事實是去年發(fā)生了一件，而今年也只有二件而已。

案例2

這個城市環(huán)境治理工作搞的很好，96%的企業(yè)廢物排放量達(dá)到了國家標(biāo)準(zhǔn)。而事實是不達(dá)標(biāo)的4%的企業(yè)是污染大戶，直接決定了環(huán)境的好壞。

（四）概率思想

概率也叫幾率或機(jī)會，是一個隨機(jī)事件發(fā)生可能性的度量。一個不可能事件的概率為0，一個必然事件概率為1，而其他事件概率是介于0與1之間的某個值。

1.概率與頻率的關(guān)系

概率的統(tǒng)計定義涉及頻率與概率兩個概念，弄清兩者的關(guān)系是必要的，頻率反應(yīng)的是事件發(fā)生頻繁的程度，從而可以用來近似反映事件發(fā)生的可能性大小，但頻率是隨機(jī)的，這n次試驗中的頻率與另外n次試驗中的頻率一般會不同，所以無法用頻率作為一個事件發(fā)生的可能性的度量（不確定），而概率是一個客觀存在的確定的常數(shù)，與每次試驗無關(guān)，因此，人們用概率來度量事件發(fā)生的可能性。不過，在現(xiàn)實中，概率往往是不知道的。但由于頻率“一般”穩(wěn)定在概率附近，我們通常可以做試驗獲得隨機(jī)事件的頻率，用頻率來估計概率，將頻率作為它的估計值，從而得到概率的近似值……頻率在試驗前是無法確定的（所以概率的統(tǒng)計定義又稱經(jīng)驗后概率）。概率是隨機(jī)事件固有的，在試驗前就確定的（但可能是未知的，注意隨機(jī)性與未知性的不同）……概率反映的是多次試驗中頻率的穩(wěn)定性，而不是事件發(fā)生的確定性。有人往往錯誤地以為，擲一個均勻硬幣，正面出現(xiàn)的概率等于二分之一，就應(yīng)該兩次試驗中出現(xiàn)一次正面。擲一個均勻的骰子，每擲六次，各點都應(yīng)該出現(xiàn)一次，否則就是不均勻。事實上，頻率的穩(wěn)定性反映的是大量試驗中出現(xiàn)的性質(zhì)，其穩(wěn)定性要在試驗次數(shù)很多時才體現(xiàn)出來，對個別的幾次試驗，由于其隨機(jī)性，是無法預(yù)料的。

2.糾正一個錯誤的認(rèn)識

有人認(rèn)為在擲硬幣時，如果連續(xù)多次正面向上，那下一次反面向上的可能性會增大，這是錯誤的觀點。首先說，在一個長過程中都得到正面幾乎不可能，其次，每一次擲硬幣都是獨立于其他各次的，因此，出現(xiàn)反面的概率每一次都是相同的，不論前一次拋擲的結(jié)果是什么。就算是連續(xù)出現(xiàn)多次正面朝上，只要不斷地拋下去，在更漫長的過程中，必將糾正。

統(tǒng)計與概率主要包含的數(shù)學(xué)思想有隨機(jī)思想（或稱概率論思想），是通過對這種偶然性的研究去發(fā)現(xiàn)必然規(guī)律（往往要運用統(tǒng)計法），再反過來利用規(guī)律認(rèn)識隨機(jī)現(xiàn)象;抽樣思想，它要思考的是什么樣的樣本才能最大限度地代表總體;統(tǒng)計推斷思想，是帶有概率性質(zhì)的推理。

總 ? 結(jié)

把數(shù)學(xué)思想教學(xué)從滲透提升至正面學(xué)習(xí)，提升并不是否認(rèn)滲透的正確性，而是對滲透的整理歸納。如果我們能使數(shù)學(xué)思想系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的正面教學(xué)是大有可為的，并且正面教學(xué)意義更大！

參考文獻(xiàn)：

[1]錢守旺.錢守旺的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)主張[M].北京：中國輕工業(yè)出版社，2012.

[2]范文貴.小學(xué)數(shù)學(xué)教育論[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

[3]邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009.endprint