張　淼,　于　瀾,　鞠　偉

(1.長(zhǎng)春工程學(xué)院 理學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春　130012; 2.中國(guó)第一汽車股份有限公司 技術(shù)中心,吉林 長(zhǎng)春　130011)

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模態(tài)跳躍現(xiàn)象對(duì)振動(dòng)分析的影響研究

張淼1,于瀾1,鞠偉2

(1.長(zhǎng)春工程學(xué)院 理學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春130012; 2.中國(guó)第一汽車股份有限公司 技術(shù)中心,吉林 長(zhǎng)春130011)

摘要:文章揭示了模態(tài)的跳躍現(xiàn)象對(duì)振動(dòng)分析的影響,并給出了一種新的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法。首先通過特征分析獲得了頻率密集程度不同的3種密頻狀態(tài)系統(tǒng),并給出了接近密頻與接近重頻系統(tǒng)的概念,同時(shí)指出密、重頻系統(tǒng)存在模態(tài)跳躍現(xiàn)象;其次對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)取不同值時(shí)所對(duì)應(yīng)的多個(gè)密、重頻系統(tǒng),利用頻響函數(shù)矩陣計(jì)算結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng);最后通過響應(yīng)曲線的對(duì)比分析,得出有關(guān)模態(tài)跳躍現(xiàn)象對(duì)振動(dòng)分析影響的結(jié)論。

關(guān)鍵詞:振動(dòng)分析;密集頻率;模態(tài)跳躍;動(dòng)力響應(yīng);結(jié)構(gòu)優(yōu)化

在實(shí)際工程中,很多結(jié)構(gòu)由于自身原因或外界因素的影響,當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生微小的變化時(shí),就可能引起結(jié)構(gòu)的部分模態(tài)信息出現(xiàn)急劇變化,即產(chǎn)生模態(tài)跳躍現(xiàn)象,這種現(xiàn)象最早是美國(guó)國(guó)家航天局(NASA)的專家在彈性薄板構(gòu)件的瞬態(tài)屈曲試驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)的,隨后一些學(xué)者做了后續(xù)的研究[1-2]。近年來(lái),這種現(xiàn)象在力學(xué)、土木工程和航空航天等領(lǐng)域逐漸得到關(guān)注,而研究對(duì)象也由柔性板等簡(jiǎn)單構(gòu)件逐漸向更復(fù)雜結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變[3-4],同時(shí)在密、重頻系統(tǒng)的研究過程中[5-6],很多研究人員發(fā)現(xiàn)頻率密集極可能會(huì)引起模態(tài)跳躍現(xiàn)象的發(fā)生[7-8],但這種現(xiàn)象會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生何種影響，目前相關(guān)研究較少。

為了使用模態(tài)分析法來(lái)求解結(jié)構(gòu)的精確響應(yīng),必須獲得其固有頻率及模態(tài)信息,這樣解耦的模態(tài)方程才可以很容易地進(jìn)行積分。模態(tài)分析法非常適用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題的求解,例如在地震載荷的作用下,只需要利用結(jié)構(gòu)的幾個(gè)低階模態(tài),就可以近似得到具有較好精度的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果,況且由于高階模態(tài)通常對(duì)系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)影響有限,同時(shí)有限元法得到的高階模態(tài)又與實(shí)際相差很大,因此,從這個(gè)意義上講,求解高階模態(tài)的意義不大,但低階模態(tài)是必需的。從上述分析可以看出模態(tài)是計(jì)算響應(yīng)的基礎(chǔ),模態(tài)跳躍現(xiàn)象會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)產(chǎn)生影響。

隨著靜力條件下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)理論的日益成熟及工程設(shè)計(jì)要求的逐步提高,結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)受到越來(lái)越多的關(guān)注,結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化包括結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性優(yōu)化和動(dòng)態(tài)響應(yīng)優(yōu)化2類,相比而言,由于結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的控制屬于多目標(biāo)、多約束優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型,因而更為復(fù)雜、難度更大[9-10]。本文結(jié)合一個(gè)二自由度阻尼系統(tǒng)的算例,分析模態(tài)的跳躍現(xiàn)象對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響,并提出一種新的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法。即首先分析固有頻率隨設(shè)計(jì)參數(shù)變化而產(chǎn)生變化的規(guī)律,然后研究當(dāng)固有頻率為密集或重復(fù)狀態(tài)時(shí),相應(yīng)系統(tǒng)的模態(tài)隨之發(fā)生跳躍變化的規(guī)律,最后利用穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來(lái)對(duì)比和分析這些系統(tǒng)的振動(dòng)特性,從而揭示模態(tài)發(fā)生跳躍時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的變化規(guī)律。這樣就可以實(shí)現(xiàn)通過討論結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)與設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系,來(lái)確定在某種動(dòng)力響應(yīng)要求下的設(shè)計(jì)參數(shù)的最優(yōu)值,從而獲得最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。

1模態(tài)跳躍現(xiàn)象及其原因

N自由度的線性離散振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程為:

(1)

其中,M、C、K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。其相應(yīng)的強(qiáng)迫振動(dòng)方程為:

(2)

(3)

設(shè)每個(gè)實(shí)模態(tài)的規(guī)范化常數(shù)為ai,即

(4)

(K-λiM)φi=0

(5)

實(shí)際上特征方程(5)式是關(guān)于矩陣M和K的廣義特征問題。λi稱為固有頻率,與之對(duì)應(yīng)的規(guī)范化后的無(wú)阻尼模態(tài)φi又可稱為振型或?qū)嵞B(tài)。

當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化時(shí),研究系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)隨之發(fā)生變化的規(guī)律,既可以使用特征靈敏度作為參考指標(biāo),也可以通過直接研究特征曲線來(lái)完成,數(shù)據(jù)處理技術(shù)在這2種方法的應(yīng)用過程中的有效性及可靠性參見文獻(xiàn)[11-12]。本文將使用該方法來(lái)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的固有頻率分析及實(shí)模態(tài)分析。

1.1　固有頻率分析

考慮一個(gè)二自由度的阻尼系統(tǒng),如圖1所示。

圖1　二自由度阻尼振動(dòng)系統(tǒng)

其中,質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣分別為:

(5)式為其無(wú)阻尼特征方程,λi(i=1,2)為此系統(tǒng)的特征值,φi(i=1,2)為此系統(tǒng)的特征向量。解得其特征值為:

(6)

其中,p=m1m2;h=-(k1+k2)m2-(k3+k2)m1;c=k1k2+k1k3+k3k2。

令m1=m2=1,k3=1,而取設(shè)計(jì)參數(shù)為k1,其變化區(qū)間取為0.6～1.4,分別在k2=0.05,k2=0.005和k2=0.000 5 這3種情況下,利用(6)式得到λ1和λ2關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k1的關(guān)系圖,并獲得了3個(gè)頻率密集程度不同的密頻狀態(tài)系統(tǒng),如圖2所示。

由圖2可知,對(duì)于k2取不同值的3種情況下,系統(tǒng)均在k1=1處發(fā)生2個(gè)特征值λ1與λ2接近的現(xiàn)象,此時(shí)相應(yīng)的系統(tǒng)稱為密頻系統(tǒng),而其余情況下的對(duì)應(yīng)系統(tǒng)視為接近密頻系統(tǒng)(或單頻系統(tǒng))。由圖2c可知,第3種密頻狀態(tài)中,當(dāng)k2=0.000 5時(shí),系統(tǒng)在k1=1處出現(xiàn)了重頻現(xiàn)象,即2個(gè)特征值相等,此時(shí)相應(yīng)的系統(tǒng)稱為重頻系統(tǒng),其余情況下所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)視為接近重頻系統(tǒng) (或單頻系統(tǒng))。

圖2　特征值關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k1的關(guān)系曲線

由圖2可知,k2取值越小,在k1=1處所生成的系統(tǒng)密頻程度越高,甚至出現(xiàn)了重頻現(xiàn)象。

1.2　實(shí)模態(tài)分析

相應(yīng)地,按(4)式規(guī)范化后的特征向量為:

i=1,2

(7)

與固有頻率分析的過程類似,令m1=m2=1,k3=1,而取設(shè)計(jì)參數(shù)為k1,其變化區(qū)間取為0.6～1.4,分別研究在k2=0.05,k2=0.005和k2=0.000 5時(shí)由(7)式得到的φ1和φ2與設(shè)計(jì)參數(shù)k1的關(guān)系后發(fā)現(xiàn),當(dāng)k2從0.05向0.000 5變化時(shí),φ1和φ2均在k1=1處兩側(cè)發(fā)生了急轉(zhuǎn)和跳躍,且其變化程度越來(lái)越劇烈,其中最為劇烈的情形如圖3所示。這說明φ1與φ2的不穩(wěn)定性均發(fā)生在密頻點(diǎn)k1=1處兩側(cè),系統(tǒng)的密頻程度越高,系統(tǒng)模態(tài)的跳躍性越強(qiáng),換言之,密頻的發(fā)生與模態(tài)跳躍現(xiàn)象呈現(xiàn)出高度的相關(guān)性。

圖3　k2=0.000 5時(shí),φ1、φ2與k1的關(guān)系

為了進(jìn)一步說明這種現(xiàn)象,繪制出φ1和φ2的第1維分量關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k1的一階導(dǎo)數(shù)圖(或稱為一階靈敏度圖),如圖4所示。事實(shí)上,它們的第2維分量關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k1的一階導(dǎo)數(shù)也大體相同,只是符號(hào)相反。

由圖4可知,φ1與φ2在k1∈[0.6,0.9]∪[1.1,1.4]時(shí)的變化率幾乎為0,說明此時(shí)模態(tài)隨設(shè)計(jì)參數(shù)的變化不大,較為穩(wěn)定,但在k1∈[0.9,1.1]時(shí),特別是在k1=1附近,φ1與φ2變化率發(fā)生了較大的波動(dòng),并且k2的值越小,變化率的變化幅度越大,這顯示出模態(tài)在這個(gè)范圍內(nèi)發(fā)生了一定程度的跳躍,說明密、重頻對(duì)靈敏度分析的影響較大,模態(tài)的跳躍現(xiàn)象確實(shí)是存在的,而用靈敏度來(lái)展示模態(tài)的跳躍性較為直觀有效。

圖4　k2取不同值時(shí),φ11與φ21關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)k1的一階靈敏度

2模態(tài)跳躍對(duì)動(dòng)響應(yīng)分析的影響

根據(jù)上述分析可知,由于設(shè)計(jì)參數(shù)變化所產(chǎn)生的密頻系統(tǒng),其密頻程度越高,模態(tài)的跳躍性就越強(qiáng),下面研究和比較模態(tài)的跳躍性對(duì)這些系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)分析的影響。

2.1　第1種密頻狀態(tài)下的系統(tǒng)響應(yīng)

對(duì)于設(shè)計(jì)參數(shù)k2=0.05,k1分別取0.6、0.8、1.2、1.4時(shí)所形成的幾種接近密頻的系統(tǒng),同樣使用上述方法便可獲得與圖5相同的簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線。但是為了便于比較,只是給出時(shí)間在0～2.5 s內(nèi)的響應(yīng)曲線,如圖6所示,其他部分的曲線與圖5a的情況類似都是呈周期性變化的,下文與此情況類似的部分不再贅述。

由圖4可知,當(dāng)k2=0.05時(shí),只有設(shè)計(jì)參數(shù)k1在密頻點(diǎn)處時(shí),相應(yīng)的密頻系統(tǒng)的實(shí)模態(tài)靈敏度最大,即模態(tài)的跳躍性最強(qiáng),但由圖5、圖6對(duì)比可知,密頻系統(tǒng)的響應(yīng)幅度較其他接近密頻系統(tǒng)的響應(yīng)而言卻最小,這說明密頻系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定。

圖5　k1=1，k2=0.05時(shí)的密頻系統(tǒng)響應(yīng)曲線

圖6　k2=0.05,k1 取不同值時(shí)接近密頻的系統(tǒng)響應(yīng)曲線

2.2　第2種密頻狀態(tài)下的系統(tǒng)響應(yīng)

圖7　k1=1,k2=0.005時(shí)的密頻系統(tǒng)響應(yīng)曲線

圖8　k2=0.005,k1 取不同值時(shí)接近密頻的系統(tǒng)響應(yīng)曲線

由圖4可知,當(dāng)k2=0.005時(shí),只有設(shè)計(jì)參數(shù)k1在密頻點(diǎn)處時(shí),相應(yīng)的密頻系統(tǒng)的實(shí)模態(tài)靈敏度最大,即模態(tài)的跳躍性最強(qiáng),但通過圖7、圖8的對(duì)比,并結(jié)合固有頻率圖2b可知,密頻系統(tǒng)的響應(yīng)幅度最小,這也說明密頻系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定。

2.3　第3種密頻狀態(tài)下的系統(tǒng)響應(yīng)

由于圖2c中呈現(xiàn)出了重頻狀態(tài),其響應(yīng)問題最值得關(guān)注。采用與2.1及2.2中同樣的處理方法得到重頻狀態(tài)及接近重頻狀態(tài)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)曲線,如圖9、圖10所示。

圖9　k1=1,k2=0.000 5時(shí)的重頻系統(tǒng)響應(yīng)曲線

圖10　k2=0.000 5,k1 取不同值時(shí)接近重頻的系統(tǒng)響應(yīng)曲線

由實(shí)模態(tài)分析圖4可知,當(dāng)k2=0.000 5,只有當(dāng)設(shè)計(jì)參數(shù)k1在重頻點(diǎn)處,相應(yīng)的重頻系統(tǒng)的模態(tài)跳躍性最強(qiáng),再通過圖9和圖10對(duì)比,并結(jié)合固有頻率圖2c分析可知,此時(shí)的重頻系統(tǒng)的響應(yīng)幅度卻最小,說明重頻系統(tǒng)最穩(wěn)定。

圖6、圖8、圖10分別對(duì)應(yīng)于圖2a、圖2b、 圖2c中設(shè)計(jì)參數(shù)分別取不同值時(shí)多個(gè)接近密頻的系統(tǒng)響應(yīng)曲線,通過橫向比較可知,振動(dòng)狀態(tài)區(qū)別不是很大。而圖5、圖7、圖9所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)分別對(duì)應(yīng)于圖2a、圖2b、 圖2c中設(shè)計(jì)參數(shù)k1取最密頻點(diǎn)時(shí),而k2分別取為0.05、0.005及0.000 5所形成的3個(gè)系統(tǒng),其密頻程度隨k2減少而增強(qiáng),再由圖4可知,其模態(tài)的跳躍程度也隨之增強(qiáng),因此同時(shí)比較這3個(gè)系統(tǒng)響應(yīng)顯得尤其必要。從圖5、圖7、圖9中難以發(fā)現(xiàn)細(xì)微差別,因此采用響應(yīng)數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行說明,見表1、表2所列。

表1　k1=1時(shí)系統(tǒng)的第1自由度的響應(yīng)值x1(t)

表2　k1=1時(shí)系統(tǒng)的第2自由度的響應(yīng)值x2(t)

由表1、表2可知,在各時(shí)間點(diǎn)處,頻率越密集的系統(tǒng),其2個(gè)自由度的響應(yīng)幅度越小,而重頻系統(tǒng)的響應(yīng)幅度最小,這說明重頻系統(tǒng)更為穩(wěn)定。

從以上研究中可以得出結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要的結(jié)果,即一個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)k2取所需的值0.05、0.005、0.000 5時(shí),另一個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)k1只有取1時(shí),系統(tǒng)的響應(yīng)幅度最小,這就是以動(dòng)力響應(yīng)為優(yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。

將上述的研究過程推廣到一般情況,便得到了一種新的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。即在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的初始階段,對(duì)于某個(gè)重要的設(shè)計(jì)參數(shù),可以在與其相關(guān)度較大的某個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)取某些特殊值的前提下,在其可行域內(nèi)計(jì)算結(jié)構(gòu)的固有頻率及實(shí)模態(tài)的靈敏度,進(jìn)而分析它們隨設(shè)計(jì)參數(shù)變化而變化的特點(diǎn)。然后通過計(jì)算相應(yīng)結(jié)構(gòu)的響應(yīng),分析其穩(wěn)定性。最后確定滿足某種動(dòng)力響應(yīng)要求的該設(shè)計(jì)參數(shù)的最優(yōu)值，從而獲得最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。

3結(jié)論

本文針對(duì)由設(shè)計(jì)參數(shù)變化所產(chǎn)生的密頻及重頻、接近密頻及接近重頻等多個(gè)系統(tǒng),施加相同的簡(jiǎn)諧激勵(lì)后,對(duì)其產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分析,可得到如下結(jié)論:密頻或重頻現(xiàn)象的發(fā)生，對(duì)靈敏度分

析所帶來(lái)的影響是巨大的，但對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析的影響并不大；密頻程度越高時(shí)，模態(tài)的跳躍性越強(qiáng)，而系統(tǒng)響應(yīng)的幅度卻越小；重頻系統(tǒng)是所有振動(dòng)系統(tǒng)中最穩(wěn)定的。

同時(shí),本文給出了一種基于動(dòng)力響應(yīng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的新的優(yōu)化方案。

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(責(zé)任編輯張镅)

Research on the effect of modal jumping phenomenon on vibration analysis

ZHANG Miao1,YU Lan1,JU Wei2

(1.School of Science, Changchun Institute of Technology, Changchun 130012, China; 2.R&D Center, China FAW Group Corporation, Changchun 130011, China)

Abstract:The effect of modal jumping phenomenon on vibration analysis was discussed, and a new method of structural optimization design was proposed. Firstly, three kinds of closed-frequency systems with different closed extents were obtained by eigenproblem analysis, and the concepts of quasi-closed-frequency system and quasi-multiple-frequency system were defined. It was stated that the modal jumping phenomena exist exactly in closed-frequency and multiple-frequency systems. Secondly, in terms of several closed-frequency and multiple-frequency systems corresponding to different values of design parameters, the dynamic responses of them under simple harmonic excitation were computed based on frequency response matrix. Finally, some conclusions about the effect of modal jumping phenomenon on vibration analysis were drawn through contrasting different response curves obtained.

Key words:vibration analysis; closed frequency; modal jumping; dynamic response; structural optimization

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2015.11.024 10.3969/j.issn.1003-5060.2015.11.018

作者簡(jiǎn)介：曾偉(1980-),女,四川德陽(yáng)人,合肥工業(yè)大學(xué)副教授. 汪蓮(1959-),安徽宣城人,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(71201044)；安徽省級(jí)優(yōu)秀青年人才基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(2013SQRW003ZD)和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(J2014HGXJ0069；2015HGZX0021) 安徽省交通科技進(jìn)步計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014-35)

收稿日期：2014-11-13；修回日期：2015-01-05 2014-11-13；修回日期：2014-12-24

中圖分類號(hào):O321

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-5060(2015)11-1524-07