孟偉

偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)過(guò)：“無(wú)窮是一個(gè)永遠(yuǎn)的謎?！钡拇_，沒(méi)有誰(shuí)能算出1+2+3+…+ （+∞）的答案，就算它的總和并非無(wú)窮大，它的無(wú)窮多個(gè)步驟也是難以完成的。

無(wú)窮有許多與日常直觀經(jīng)驗(yàn)相悖的地方。在數(shù)學(xué)上一直有一個(gè)問(wèn)題：眾所周知，烏龜跑得非常慢，而阿喀琉斯是希臘神話中的善跑者。用無(wú)窮的知識(shí)解釋，只要烏龜先跑出一段距離，無(wú)論多么的短，阿喀琉斯是永遠(yuǎn)追不上的。因?yàn)槿绻⒖α鹚瓜胱飞蠟觚數(shù)脑?，就必須到達(dá)烏龜剛開始跑的位置，但當(dāng)他跑到烏龜開始跑的位置時(shí)，烏龜又跑出了一段距離。烏龜雖然跑得慢，但它一直在跑。所以，阿喀琉斯一遍遍的面臨著這樣的問(wèn)題。雖然阿喀琉斯跑得快，但他和烏龜之間總有一段距離要跑，他只能一步步地逼近烏龜，卻不能趕超它。

顯然，這與我們的實(shí)際情況相悖，但是沒(méi)有人能指出他的問(wèn)題所在。

用我們一般的認(rèn)知來(lái)想一下，烏龜首先跑出三步，大約20 m。而阿喀琉斯跑出一步，大約70 cm。這時(shí)，阿喀琉斯已經(jīng)超過(guò)了烏龜，并且會(huì)一直跑在烏龜前面。

這是我們一般的認(rèn)知，雖然可以幫助理解，但是缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茢?。這時(shí)我們可以轉(zhuǎn)變一下思維，不以烏龜所在的那一點(diǎn)為研究點(diǎn)，而研究烏龜前方的一點(diǎn)C，只要阿喀琉斯可以和烏龜同時(shí)到達(dá)C點(diǎn)，那么C點(diǎn)之后，阿喀琉斯會(huì)一直跑在烏龜前面。

如圖所示，我們不妨設(shè)阿喀琉斯和烏龜之間的距離為S1（S1>0），烏龜和C點(diǎn)的距離為S2（S2>0），阿喀琉斯的速度為v1，烏龜?shù)乃俣葹関2，且v1>v2。要想阿喀琉斯和烏龜同時(shí)到達(dá)C點(diǎn)，需滿足=，也就是說(shuō)，因?yàn)関1>v2，所以>1。要想>1的話，需滿足S1+S2>S2，即S1>0。所以說(shuō)，只要阿喀琉斯在烏龜后一段距離，總會(huì)有一個(gè)時(shí)間能和烏龜同時(shí)到達(dá)C點(diǎn)，而C點(diǎn)之后，阿喀琉斯會(huì)一直跑在烏龜前面。

編輯 謝尾合