霍　冰， 劉習(xí)軍， 張素俠， 劉　鵬

(1.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系，天津　300072； 2. 天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津　300072)

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覆冰導(dǎo)線非線性舞動(dòng)系統(tǒng)的奇異性和混沌分析

霍冰1,2， 劉習(xí)軍1,2， 張素俠1,2， 劉鵬1,2

(1.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系，天津300072； 2. 天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300072)

覆冰導(dǎo)線舞動(dòng)是輸電線路覆冰后形成非圓截面，導(dǎo)致氣動(dòng)力發(fā)生改變，引起的一種低頻大幅自激振動(dòng)現(xiàn)象。導(dǎo)線舞動(dòng)嚴(yán)重時(shí)會(huì)造成桿塔傾倒，供電系統(tǒng)癱瘓，給人民群眾的生命財(cái)產(chǎn)造成重大威脅。導(dǎo)線舞動(dòng)的影響因素繁多又相互關(guān)聯(lián)耦合，且導(dǎo)線對(duì)于參數(shù)的改變十分敏感。因此，長(zhǎng)期以來舞動(dòng)問題得到了國際上的廣泛關(guān)注[1]。

覆冰導(dǎo)線舞動(dòng)機(jī)理的發(fā)展主要經(jīng)歷了Den Hartog垂直舞動(dòng)機(jī)理[2]，Nigol扭轉(zhuǎn)激發(fā)舞動(dòng)機(jī)理[3-4]，以及Yu等[5]提出的偏心慣性耦合失穩(wěn)機(jī)理。隨著非線性動(dòng)力學(xué)的日益發(fā)展，20世紀(jì)90年代以來，越來越多的學(xué)者通過非線性理論研究舞動(dòng)問題。Luongo和Benedettini，Lee，Perkins以及Nayfeh[6-9]就懸索的穩(wěn)定性和多模態(tài)間內(nèi)共振引起的豐富動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行了大量的研究。李黎，趙麗等[10-11]采用有限元方法研究覆冰導(dǎo)線中存在的非線性問題。近年來有學(xué)者發(fā)現(xiàn)在舞動(dòng)系統(tǒng)中還存在多解、滯后和跳躍等不穩(wěn)定現(xiàn)象[12-14]。覆冰導(dǎo)線的分岔與混沌等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象也備受關(guān)注[15-16]，然而對(duì)于覆冰導(dǎo)線系統(tǒng)中的奇異性現(xiàn)象還鮮有涉及。

奇異性理論作為一種研究微小擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的手段越來越廣泛的應(yīng)用于工程實(shí)際當(dāng)中[17-18]。然而以往的奇異性分析中，分岔參數(shù)與開折參數(shù)通常相互耦合，很難還原為原始的工程參數(shù)，因而對(duì)于所求得轉(zhuǎn)遷集不同區(qū)間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，難以實(shí)現(xiàn)數(shù)值模擬的驗(yàn)證，所得到的轉(zhuǎn)遷集與分岔曲線難與工程實(shí)際參數(shù)相結(jié)合，具有一定的局限性。

本文針對(duì)三自由度覆冰導(dǎo)線舞動(dòng)的非線性控制方程，利用奇異性理論研究其局部分岔行為。首先借助平均法得到系統(tǒng)的分岔方程，建立分岔參數(shù)、開折參數(shù)與工程參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將分岔參數(shù)與開折參數(shù)解耦，得到以工程參數(shù)界定的轉(zhuǎn)遷集和以面內(nèi)阻尼系數(shù)代表分岔參數(shù)的拓?fù)淝€，并輔助以數(shù)值驗(yàn)證，所得結(jié)果更加直觀實(shí)用，為實(shí)際工程提供理論支撐。

1理論模型

將導(dǎo)線等效為長(zhǎng)為l的柔性桿，只能承受拉力，而不能承受壓力和彎矩，導(dǎo)線表面附著薄冰且沿輸電導(dǎo)線均勻分布，其空間模型如圖1(a)所示，Г0代表覆冰輸電導(dǎo)線在自重作用下的初始構(gòu)型，Г為t>0時(shí)輸電導(dǎo)線在氣動(dòng)載荷作用下的構(gòu)型。取圖中微元dx進(jìn)行研究，其運(yùn)動(dòng)示意圖如圖1(b)所示，AB和A″B″分別表示變形前后的微元部分。v、w和θ分別表示t時(shí)刻時(shí)輸電導(dǎo)線面內(nèi)、面外和扭轉(zhuǎn)方向的位移。

圖1　輸電導(dǎo)線模型Fig.1 The model of transmission line

由圖1(b)可知系統(tǒng)的原弧長(zhǎng)與變形后弧長(zhǎng)的表達(dá)式分別為

(1)

(2)

其中:y0是t=0時(shí)的懸鏈線方程，記為[19]

(3)

式中:T0和l分別為輸電導(dǎo)線的初始拉力和檔距，m為其單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，g為重力加速度。

系統(tǒng)的勢(shì)能可表示為

(4)

覆冰導(dǎo)線動(dòng)能表達(dá)式為

(5)

圖2　覆冰導(dǎo)線氣動(dòng)受力分析圖Fig. 2 Aerodynamic forces acting on the non-circular section

外力做功為

(6)

其中:Fy,Fz和M分別為作用在覆冰導(dǎo)線上面內(nèi)和面外的氣動(dòng)力以及扭矩，表示為如下形式[5]

(7)

(8)

其中:ryi,rzi和rMi(i=1,2,3)為擬合系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)測(cè)得[20]，α為風(fēng)攻角[21]：

(9)

利用Hamilton原理

(10)

將式(4)～(6)及其變量代入式(10)可得覆冰導(dǎo)線系統(tǒng)的偏微分運(yùn)動(dòng)方程

(11a)

(11b)

(11c)

2Galerkin法和平均法求解

(12a)

(12c)

(13a)

(13b)

(13c)

(13d)

式中:Gv和Gw為由位移引起的幾何非線性項(xiàng)，Av和Aw表示由速度引起的氣動(dòng)載荷非線性項(xiàng)。

根據(jù)平均法設(shè)式(13)的近似解析解為如下形式

(14)

b1,4A1+b1,5A2+b1,6

(15a)

b2,4A1+b2,5A2+b2,6

(15b)

b3,5A22+b3,6A1+b3,7A2+b3,8

(15c)

b4,5A22+b4,6A1+b4,7A2+b4,8

(15d)

其中:bi,j(i=1,…,4;j=1,…,8)為計(jì)算系數(shù)，詳見附錄。

圖3　覆冰導(dǎo)線舞動(dòng)時(shí)程曲線圖Fig.3 Time history of galloping for iced transmission line

3分岔理論分析

A14+A1λ+α1+α2A1+α3A12+α4A13=0

(16)

式中:λ=δζv為分岔參數(shù)，與面內(nèi)阻尼系數(shù)成正比，αi(i=1,…,4)為開折參數(shù)，包含了除ζv之外的其他參數(shù)。αi和計(jì)算系數(shù)δ的具體表達(dá)式見附錄。

借助奇異性理論[24]，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)遷集為

(17)

由于αi為系統(tǒng)工程參數(shù)的函數(shù)，根據(jù)上式可直接在工程參數(shù)坐標(biāo)中繪制轉(zhuǎn)遷集曲線或曲面，繪制過程中可預(yù)留關(guān)心的參數(shù)作為工程開折參數(shù)，本文中選取風(fēng)速U、空氣密度ρ和面外阻尼系數(shù)ζw作為工程開折參數(shù)，其余參數(shù)選取為[20]：T0=30 000 N，l=110.5 m，m=2.378 9 kg/m，D=0.028 6 m，A=423.24 mm2，E=4.78×1010N/m2。如圖4所示，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)遷集將空間U-ρ-ζw分成了四個(gè)子空間，逆時(shí)針方向依次將曲面和子空間定義為SF-Ⅰ、SP-Ⅰ、SF-Ⅱ、SP-Ⅱ、SF-Ⅲ、SP-Ⅲ、SF-Ⅳ和SP-Ⅳ八個(gè)不同的區(qū)域，其中SF-Ⅰ和SF-Ⅳ為分岔點(diǎn)集，SF-Ⅱ和SF-Ⅲ為滯后點(diǎn)集。

圖4　系統(tǒng)在空間U-ρ-ζw中的轉(zhuǎn)遷集Fig.4 Transition sets in coordinates U-ρ-ζw

每個(gè)曲面和子空間所對(duì)應(yīng)的分岔曲線如圖5所示。考慮到工程應(yīng)用，只考查第一象限中的曲線分布。取ζw=0.04[11]為例，所有區(qū)域中的分岔曲線皆隨著面內(nèi)阻尼的增大而減小，只有在SP-Ⅲ和SF-Ⅳ中，發(fā)現(xiàn)了多解的存在。圖5(f)中出現(xiàn)了兩個(gè)鞍結(jié)分岔點(diǎn)，圖5(g)中出現(xiàn)了一個(gè)叉形分岔點(diǎn)和一個(gè)鞍結(jié)分岔點(diǎn)，以上兩種情形都會(huì)引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，是工程中需要盡量避免的。工程中通常以增大阻尼達(dá)到減振目的，而在此種情況下，增大阻尼再不能滿足工程的需求，當(dāng)阻尼減小到某一區(qū)域內(nèi)，非但幅值沒有減小，還會(huì)引起幅值在兩個(gè)相差懸殊的吸引域中進(jìn)行跳變，對(duì)系統(tǒng)造成危害。因此在參數(shù)優(yōu)化時(shí)應(yīng)盡量縮小SP-Ⅲ范圍。結(jié)合圖4得到，風(fēng)速和空氣密度的增加都會(huì)增大SP-Ⅲ區(qū)域，而面外阻尼系數(shù)的增大首先會(huì)擴(kuò)大SP-Ⅲ區(qū)域，當(dāng)面外阻尼系數(shù)增大到一定程度時(shí)，SP-Ⅲ逐漸消失，因其所在區(qū)域已經(jīng)超出了工程參數(shù)范圍。

圖5　不同區(qū)域的分岔曲線(ζw=0.04)Fig.5 Bifurcated curves in their corresponding regions

4數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證理論分析的有效性，將對(duì)式(12)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算以輔助支撐理論分析的結(jié)論。針對(duì)系統(tǒng)在不同區(qū)域所表現(xiàn)出的穩(wěn)定和跳躍現(xiàn)象，將分別在穩(wěn)定區(qū)域SP-Ⅱ和跳變區(qū)域SP-Ⅲ中選取參數(shù)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。圖6即為系統(tǒng)在區(qū)域SP-Ⅱ中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，從分岔響應(yīng)圖6(a)可以看出，隨著面內(nèi)阻尼系數(shù)的增大，舞動(dòng)幅值迅速減小并在阻尼增大至0.07時(shí)，基本抑制了系統(tǒng)的舞動(dòng)現(xiàn)象。此時(shí)系統(tǒng)的時(shí)間歷程曲線(圖6(b))為穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，相圖(圖6(c))呈現(xiàn)出一個(gè)封閉的圓環(huán)，龐加萊截面圖(圖6(d))為一個(gè)單獨(dú)的點(diǎn)，可得系統(tǒng)在區(qū)域SP-Ⅱ中的運(yùn)動(dòng)屬于單周期運(yùn)動(dòng)，這與理論計(jì)算結(jié)果(圖5(d))一致。圖7為系統(tǒng)在跳躍區(qū)域SP-Ⅲ中的數(shù)值模擬結(jié)果，從分岔響應(yīng)圖7(a)可以看到，一開始系統(tǒng)基本呈單值狀態(tài)，隨著面內(nèi)阻尼系數(shù)的增大，舞動(dòng)非但沒有得到控制，反而出現(xiàn)了兩個(gè)明顯的吸引域，使得幅值在其間來回跳躍。相圖7(c)和龐加萊截面圖7(d)為面內(nèi)阻尼系數(shù)取0.15時(shí)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)，此時(shí)系統(tǒng)呈混沌特性，有兩個(gè)明顯的吸引域，與理論分析結(jié)果(圖5(f))中出現(xiàn)的跳躍現(xiàn)象基本吻合。

圖6　區(qū)域SP-Ⅱ中的數(shù)值模擬 (U=14，ρ=1)Fig.6 Numerical simulation with parameter selected in SP-Ⅱ (U=14，ρ=1)

圖7　區(qū)域SP-Ⅲ中的數(shù)值模擬 (U=10，ρ=1.5)Fig.7 Numerical simulation with parameter selected in SP-Ⅱ (U=10，ρ=1.5)

5結(jié)論

本文針對(duì)覆冰導(dǎo)線模型，考慮其幾何非線性和氣動(dòng)載荷非線性因素，基于Hamilton原理建立了覆冰導(dǎo)線面內(nèi)、面外及扭轉(zhuǎn)三自由度耦合的動(dòng)力學(xué)模型，并借助Galerkin法和平均法得到系統(tǒng)的分岔方程，進(jìn)而考察了系統(tǒng)的奇異性并加以數(shù)值驗(yàn)證。

奇異性分析過程中，建立了分岔參數(shù)和開折參數(shù)與工程參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且將分岔參數(shù)與開折參數(shù)所包含的工程參數(shù)解耦，使得轉(zhuǎn)遷集和分岔曲線都可以直接反應(yīng)工程參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響并實(shí)現(xiàn)數(shù)值驗(yàn)證，更加直觀實(shí)用。

研究結(jié)果表明，工程參數(shù)界定下的轉(zhuǎn)遷集將系統(tǒng)分為了8個(gè)不同的區(qū)域，每個(gè)區(qū)域都存在著不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，然而只有在區(qū)域SP-Ⅲ和SF-Ⅳ中發(fā)現(xiàn)了促使系統(tǒng)發(fā)生跳躍現(xiàn)象的鞍結(jié)分岔點(diǎn)，此種現(xiàn)象對(duì)實(shí)際工程存在著很大的危害，應(yīng)盡量減小或消除SP-Ⅲ區(qū)域，而后的數(shù)值模擬也驗(yàn)證了理論分析的結(jié)果，并發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中存在混沌現(xiàn)象。

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附錄

第一作者 霍冰 女，博士生，1987年12月生

摘要：考慮幾何非線性和氣動(dòng)載荷非線性，基于Hamilton原理建立了面內(nèi)、面外和扭轉(zhuǎn)三自由度耦合的連續(xù)動(dòng)力學(xué)模型。借助Galerkin法對(duì)連續(xù)體模型進(jìn)行空間離散得到系統(tǒng)的常微分方程。利用平均法解析求得系統(tǒng)的平均方程和分岔方程，建立了分岔參數(shù)、開折參數(shù)與工程參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并對(duì)分岔參數(shù)和開折參數(shù)進(jìn)行解耦。根據(jù)奇異性理論得到關(guān)于工程參數(shù)的轉(zhuǎn)遷集空間和各區(qū)域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在鞍結(jié)分岔點(diǎn)和跳躍現(xiàn)象。就理論解所得不同區(qū)域內(nèi)典型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)周期解與混沌解的存在，驗(yàn)證了理論解的正確性，同時(shí)為工程參數(shù)優(yōu)化提供一定的理論支撐。

關(guān)鍵詞：非線性振動(dòng)；覆冰導(dǎo)線；舞動(dòng)；奇異性理論；混沌

Singularity and chaos of nonlinear galloping for an iced transmission line

HUOBing1,2,LIUXi-jun1,2,ZHANGSu-xia1,2,LIUPeng1,2(1. Dept. Of Mechanics, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China; 2. Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control, Tianjin 300072, China)

Abstract:A continuous dynamic model for an iced transmission line was proposed for describing the coupling of its in-plane, out-of-plane and torsional vibrations. It was built on the basis of Hamilton principle considering geometric and aerodynamic nonlinearities. Galerkin method was applied to spatially discrete the partial differential governing equations and acquire the oddinary differential equations of the line system. With the average method, the average equations and the bifurcation equation of the line system were deduced. The relationship between bifurcation parameters, unfolding parameters and physical ones was established, bifurcation parameters and unfolding ones were decoupled. Transition sets of the physical parameters and their topological structures in different regions were derived by employing the singularity theory. It was found that there exist saddle nodes and jumping phenomenon in the line system. Numerical simulations were implemented in stable and jumping regions, respectively. The bifurcation diagrams obtained with numerical simulations were consistent with those acquired with the theoretical analysis, the periodic and chaotic solutions were observed. The results provided a theoretical support for the optimization of the system’s physical parameters.

Key words:nonlinear vibration; iced conductor; galloping; singularity theory; chaos

中圖分類號(hào):TM726；O322

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.13.007

通信作者劉習(xí)軍 男，教授，1956年1月生

收稿日期：2014-10-17修改稿收到日期：2015-01-13

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51009107,51479136);天津市自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(13JCZDJC27100,09JCZDJC26800)