劉海濤

摘要 香港是東西方文化的交匯點，其數(shù)學教育與內(nèi)地有一定的區(qū)別，因此，教材編寫與內(nèi)地相比有一些不同?！渡钆c數(shù)學》教材的編寫具有一定的特色，通過對教材的分析，發(fā)現(xiàn)主要有以下特點：以卡通激活學生求知欲望、以課堂討論引領(lǐng)知識建構(gòu)、以基礎練習鞏固例題教學、以習題分層滿足學生差異、以IT園地助數(shù)學現(xiàn)代化。

關(guān)鍵詞 學生求知欲望 引領(lǐng)知識建構(gòu) 鞏固例題教學 滿足學生差異 助數(shù)學現(xiàn)代化

數(shù)學教育在初等教育中具有核心的地位，各國發(fā)展歷史說明，數(shù)學教育決定一個國家的發(fā)展，因此世界各國對數(shù)學教育高度重視。因為幾乎所有的工作不僅依賴于基本的數(shù)學知識和技能，而且依賴于數(shù)學所培養(yǎng)的邏輯思維能力與認知能力，因而世界各國都特別重視數(shù)學課程，甚至將21世紀的經(jīng)濟之戰(zhàn)視為“一場數(shù)學經(jīng)濟之戰(zhàn)”[1]。數(shù)學教材是數(shù)學課程標準的一次再創(chuàng)造具體化，是教師教學與學生學習的抓手，因此教材的編寫倍受世界各國與地區(qū)的重視，決定數(shù)學教育的成功與失敗。香港《生活與數(shù)學》是依據(jù)香港2001年制定的數(shù)學課程而編寫的數(shù)學教材，由于香港是東西方文化的交匯點，因此教材的編寫與內(nèi)地教材有一定的區(qū)別，本文以尹鋈鴻等編寫，牛津大學出版社出版的《生活與數(shù)學》3B，2005年版四邊形一章為例，對其特點進行探析。

一、以卡通激活學生求知欲望

《生活與數(shù)學》教材一節(jié)課的開始運用卡通圖片的形式提出問題，在四邊形一章第一節(jié)課，首先運用卡通圖片提出問題，運用形式新穎的圖片，把各種特殊四邊形畫成小人物的形象，放到臺上，進行特殊四邊形選拔賽，激發(fā)學生強烈的求知欲望?！扒笾溉嗽跀?shù)學學習活動中面臨問題時產(chǎn)生一種缺乏相應知識的感覺，因而希望探究新知識、擴大知識結(jié)構(gòu)的認知心理傾向?！盵2]當學生閱讀到這里時，會使其產(chǎn)生強烈的求知欲望，激活學生的興趣。愛因斯坦曾說：“興趣是最好的老師?！敝睦韺W家布魯納也認為：“最好的學習動機是學生對所學知識本身的內(nèi)在興趣?！迸d趣是學生學好數(shù)學的內(nèi)在催化劑和驅(qū)動力。

第一，青少年學生對動畫片非常感興趣。由于青少年的年齡特點，加之現(xiàn)代媒體技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)代的青少年學生是動畫片伴隨他們長大的，對動畫中的卡通圖片非常喜歡。

第二，圖片運用各種不同的色彩引起學生的注意。首先，引起學生的注意，會使卡通圖片進入學生的工作記憶而被加工，因此會使學生運用表象表征特殊四邊形圖形的特點。其次，根據(jù)注意的過濾器理論：“神經(jīng)系統(tǒng)對加工信息的注意選擇存在如下機制，神經(jīng)系統(tǒng)在某一特定的時間內(nèi)只能對特定的信息進行加工，而且加工的容量是有限的。也就是說，在神經(jīng)系統(tǒng)的某一個加工階段存在著一個過濾機制，這個過濾機制會對來自不同感覺通道的信息進行選擇性地加工，使一部分信息能夠通過這個過濾器，并得到進一步的加工；而其他的信息就被阻斷在過濾器之外，得不到進一步的加工。”[3]因此圖片信息容易被加工。最后，現(xiàn)代認知心理學的研究表明：個體對圖片及場景等視覺信息的記憶能力似乎強于言語信息[4]。

第三，展示卡通圖片的同時，充分運用圖形進行分析。在平行四邊形判定一節(jié)中，把邊角相等或?qū)蔷€互相平分運用圖形化的條件表示在平行四邊形中，并以競選方式提出“我是平行四邊形”，并用幽默的語言給學生提出問題，“真煩惱，他們都說的對呢？”下邊是平行四邊形的寶座。把學生置身于裁判員的位置，要想做好這個裁判，就要學習下面的有關(guān)平行四邊形的判定，并使學生帶著問題進行學習。一方面在圖形中標注圖形，是運用幾何直觀解決數(shù)學問題。希爾伯特在其名著《幾何直觀》一書中談到：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果，這就是幾何直觀帶給我們的好處?！盵5]另一方面，現(xiàn)代認知心理學的研究表明，帶著問題學習更有利于對知識的表征，從而提高學習效率。

二、以課堂討論引領(lǐng)知識建構(gòu)

《生活與數(shù)學》教材新知識的學習過程中，每一節(jié)是以課堂討論（或課堂探討）方式呈現(xiàn)的。如平行四邊形性質(zhì)一節(jié)，提出如下問題進行課堂討論：如圖1的四邊形ABCD是一個平行四邊形，（a）在△ABC和△CDA中，找出兩對相等的角。（b）在△ABC和△CDA中，有沒有一對相等的邊？（c）△ABC和△CDA是否全等？試附理由。

圖1

第一，數(shù)學教學的本質(zhì)是學生在教師的引導下，建構(gòu)科學合理的良好數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的過程。首先，良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是學生后續(xù)認知的支撐點。學生當前建構(gòu)的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是后續(xù)同化新知識的固著點，是學生進行認知的基礎，是學生的現(xiàn)有認知水平。學生潛在的認知水平是以現(xiàn)有數(shù)學認知結(jié)構(gòu)為支撐，在同伴或教師的幫助下的數(shù)學認知水平。因此數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是學生最近發(fā)展區(qū)的根基。數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是學生信息加工的支撐點，其支撐的強度直接影響學生信息加工的能力。建構(gòu)一個結(jié)構(gòu)合理、有利于信息提取、清晰度高的準確的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是提高學生數(shù)學認知能力的關(guān)鍵。數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是學生思維跳躍的支撐，決定學生思維跳躍的高度。其次，良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是學生在數(shù)學上得到發(fā)展的基石。數(shù)學教學為學生的終身發(fā)展服務，在數(shù)學學習中，學生要學會用數(shù)學的思維方法去觀察世界、感知世界、理解世界，數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是學生運用數(shù)學思維方式體會認識世界的邏輯起點。最后，良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是學生形成數(shù)學素養(yǎng)的核心。“數(shù)學素養(yǎng)是人們通過數(shù)學教育以及自身的實踐和認識活動，所獲得的數(shù)學基礎知識、基本技能、數(shù)學思想和觀念，以及由此形成的數(shù)學思維品質(zhì)和解決問題能力的總和?！盵6]顯然，數(shù)學素養(yǎng)的形成，依賴于良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的形成。

第二，所討論的問題，在學生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，而且不直接討論問題的本質(zhì)，而是討論兩個三角形中邊角是否相等以及兩個三角形全等的問題，通過對這些問題的討論學生能夠發(fā)現(xiàn)平行四邊形的性質(zhì)。首先，給學生搭建一個“腳手架”有利于學生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的性質(zhì)。學生發(fā)現(xiàn)問題，要在一定的環(huán)境下發(fā)現(xiàn)，科學家發(fā)現(xiàn)定理的事實說明了這一點。如勾股定理的發(fā)明，是畢達哥拉斯在朋友家吃飯時，地板的拼圖啟發(fā)了他的思維，發(fā)現(xiàn)了勾股定理。對學生而言，教材中科學合理的設計問題，為學生發(fā)現(xiàn)問題創(chuàng)設情境，可使學生既建構(gòu)數(shù)學知識，又培養(yǎng)創(chuàng)新能力。其次，問題分三個小問題呈現(xiàn)，可適應不同層次的學生。眾所周知，學生的差異是客觀存在的，也就是不同的學生其內(nèi)化的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是有區(qū)別的，數(shù)學認知的能力是不同的，因此分步呈現(xiàn)問題，可提高不同層次學生的認知能力。最后，用類比方法得到平行四邊形的對角線相等的性質(zhì)，比較科學合理。教材在學生前面得到兩個三角形△ABC和△CDA全等的情況下，指出，如果連接AC、BD，如圖2，同樣可得到△AOD和△COB全等，從而得到AO=DO、BO=DO。類比思想是學生認知的重要思想方法，學生運用原有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)同化新知識。波利亞曾說過：“類比是偉大的引路人”，并在《怎樣解題》中說：“在求解（求證）一個問題時，如果能成功地發(fā)現(xiàn)一個比較簡單的類比題，那么這個類比問題可以引導我們到達原問題的解答”。在學生運用全等三角形的理論研究四邊形的性質(zhì)獲得成功經(jīng)驗的情況下，教材在此用類比法讓學生研究對角線相等，進一步深化了運用全等三角形理論研究四邊形性質(zhì)的經(jīng)驗。

圖2

第三，課堂討論有利于學生發(fā)揮主觀能動性。討論使學生之間的思維火花相互碰撞，心理失去平衡，再通過同化或順應，重新得到平衡，獲得新知識。充分發(fā)揮學生的認知主體作用，有利于學生建構(gòu)平行四邊形性質(zhì)知識，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。

三、以基礎練習鞏固例題教學

《生活與數(shù)學》教材在每個例題后配以一個基礎練習題，不同于課堂練習在一節(jié)內(nèi)容之后，而基礎練習放在一個例題的后面，一一對應?；A練習是例題的簡單變式，基礎練習的變式分為兩類，一類是對例題的圖形及條件數(shù)據(jù)進行簡單變式，運算的方法不變；另一類是對圖形及條件進行變式，結(jié)論不變。香港中文大學孫旭花、黃毅英、林智中在數(shù)學問題的結(jié)構(gòu)性變式的研究中對變式進行了分類：一類是（形式）水平變式，另一類是（結(jié)構(gòu)）垂直變式。水平變式題是指表面特征進行變式，垂直變式題是指結(jié)構(gòu)變化[7]?；A練習的變式屬水平變式。

數(shù)學例題是用來說明數(shù)學概念、定理、公式、性質(zhì)等應用時做例子用的。數(shù)學例題是數(shù)學知識的載體，是提高學生運用概念、定理、公式、性質(zhì)等分析問題、解決問題能力的抓手。教師對例題的分析與講解，是學生解題的榜樣，學生對例題有效理解是學好數(shù)學的關(guān)鍵，也是提高數(shù)學教學質(zhì)量的關(guān)鍵。教材中示范與練習的有機結(jié)合，是充分挖掘教材中例題的示范作用的必要手段，發(fā)揮這些題目在培養(yǎng)學生數(shù)學思維品質(zhì)上和掌握數(shù)學知識上的作用，達到舉一反三、觸類旁通、融會貫通的目的，使學生能夠通過例題的教學，進行簡單的模仿，為后續(xù)學生形成解題技能奠定基礎。同時，對例題條件進行變式，結(jié)論不變，可使學生對此類問題形成問題域，更加有利于學生掌握此類問題的解答，掌握解題規(guī)律，建構(gòu)良好的程序性知識結(jié)構(gòu)。

四、以習題分層滿足學生差異

《生活與數(shù)學》教材課后習題分層編寫，分為兩個層次，分別叫做程度一與程度二。程度一屬基礎型習題，程度二屬提高型習題。

第一，數(shù)學學習離不開有效的練習。我國著名數(shù)學家華羅庚說過：“學數(shù)學不做練習，好比入寶山而空返?！币虼?，練習的形式、習題的組成等，直接影響著數(shù)學學習的有效性。學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是有區(qū)別的，因而學生之間的差異是客觀存在的。首先，香港是國際化程度比較高的大都市，學生來自世界各地，由于每位學生所在的家庭不同，因此所受的家庭教育是不同的。其次，學生所處的社會環(huán)境有區(qū)別，文化背景不同，學生所受教育的經(jīng)歷是有區(qū)別的。最后，學生的智力發(fā)展是有區(qū)別的，表征數(shù)學知識的方式方法也是有區(qū)別的，因此學生形成的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)有差異是絕對的。

第二，數(shù)學教材是學生學習數(shù)學的主要知識載體，數(shù)學教材中的習題是學生獲取數(shù)學知識形成技能的主渠道，又是提高數(shù)學教學質(zhì)量的關(guān)鍵。有效的練習，能夠使不同層次的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。首先，有效的練習是學生鞏固所學知識、運用知識、訓練技能和技巧的必要手段，對學生形成良好數(shù)學認知結(jié)構(gòu)起關(guān)鍵作用。其次，學生之間的差異是客觀存在的，數(shù)學習題也要適應學生個性發(fā)展的需要，進行有層次的練習，才能使人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。最后，分層習題可使不同層次學生得到成功的體驗。成功的體驗對學生來說特別重要，一個學生如果獲得了成功的體驗，是一種自我能力的認識，會激發(fā)學生的學習興趣，會使學生對未來的學習充滿信心。很多數(shù)學家，本來對數(shù)學不感興趣，因為一次偶爾的成功體驗，使他們對數(shù)學產(chǎn)生了濃厚興趣，并由此刻苦學習，最后走向成功。

五、以IT園地助數(shù)學現(xiàn)代化

《生活與數(shù)學》教材在每一章的最后，結(jié)合本章的內(nèi)容，配有IT園地。有的是從不同的角度觀察一個立體圖形，并提供網(wǎng)址，要求回答一定的問題；有的是利用網(wǎng)上的軟件，求一個立體圖形的體積；有的是介紹幾何畫板軟件的使用方法。眾所周知，1957年，前蘇聯(lián)發(fā)射了世界第一顆人造地球衛(wèi)星后，全世界為之震驚，美國不甘于落在蘇聯(lián)的后面，分析本國落后的本質(zhì)原因，最后歸因于教育的落后，認為教育內(nèi)容陳舊，教學方法落后。在《國防教育法》推動下，進行了新課程改革，改革的重點是信息技術(shù)逐漸進入課堂，開啟了教育現(xiàn)代化的征程。顧明遠教授認為：教育現(xiàn)代化是以現(xiàn)代信息社會為基礎，以先進教育觀念為指導，運用先進信息技術(shù)的教育變革過程，是傳統(tǒng)教育向現(xiàn)代教育轉(zhuǎn)變的過程[8]。世界各國都認為，數(shù)學教育是決定一個人終身發(fā)展的教育，是決定一個民族發(fā)展的教育，世界的競爭，本質(zhì)是教育的競爭，數(shù)學教育在教育中處核心地位，因此有理由說，世界的競爭實質(zhì)就是數(shù)學教育的競爭。在這場競爭中，誰走在數(shù)學教育現(xiàn)代化的前邊，誰就能夠掌握競爭的主動權(quán)。數(shù)學是信息技術(shù)發(fā)展的基礎，信息技術(shù)的發(fā)展本質(zhì)是數(shù)學的發(fā)展，反過來，信息技術(shù)又促進數(shù)學教育的發(fā)展。如運用多媒體課件進行教學，網(wǎng)上授課，運用信息技術(shù)翻轉(zhuǎn)課堂、設計微課程等，運用幾何畫板可改變傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖，運用計算機來研究幾何學、證明幾何定理。因此，在教材中增加IT園地，首先，可以提高學生對數(shù)學學習的興趣，增加學習數(shù)學的有效方法。其次，可使學生運用現(xiàn)代化手段，更有效地學習數(shù)學知識，把課堂延伸到網(wǎng)絡世界。最后，運用幾何畫板等，可使學生在幾何畫板的平臺上，研究幾何知識，增添學生研究數(shù)學積極性，同時，幾何畫板可進行符合標準的精確畫圖和測量，為學生進行猜想、驗證、獲得正確的結(jié)論提供強有力的支撐，從而豐富學生的幾何探究經(jīng)驗，提高數(shù)學學習的有效性。

六、對內(nèi)地教材編寫的啟示

第一，教材的編寫要與學生的生活經(jīng)驗緊密結(jié)合。一方面，學生的生活經(jīng)驗經(jīng)內(nèi)化后，成為個體認知結(jié)構(gòu)的組成部分，因而可為學生的數(shù)學學習提供強有力的技撐。另一方面，伴隨著時代的發(fā)展，同齡學生的生活經(jīng)驗要發(fā)生變化，因而學生的生活經(jīng)驗也隨著時代的變化而變化，教材中的例子要隨時代的變化而變化。

第二，教材的編寫要與學生的心理特點緊密結(jié)合。青年學生有學生的心理特點，教材的編寫要與學生的心理特點相結(jié)合，這樣才能激發(fā)學生的學習興趣，有了學習興趣才能激活學生的潛能。

第三，教材的編寫要與信息時代的發(fā)展緊密結(jié)合。首先，信息技術(shù)的發(fā)展，促進人類社會全方位的變革，改變著人類的工作、學習、生活，數(shù)學學習也離不開信息技術(shù)的支撐。其次，信息技術(shù)改變數(shù)學的學習方式。人們可以運用計算機證明定理，運用計算機探究數(shù)學問題。最后，運用計算機可為學生提供豐富的表征方式。運用信息技術(shù)，可使學生觀察到一些生活中無法觀察到的演示動畫，豐富學生的想象能力，提高學生幾何直觀的能力。

參考文獻

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[8] 顧明遠.試論教育現(xiàn)代化的基本特征[J].北京：教育研究，2012（9）.

【責任編輯 郭振玲】