第一作者 劉志軍 男，博士生，1988年生

Biot理論與修正的Biot理論比較及討論

劉志軍1,2，夏唐代1,2，黃睿1,2，陳煒昀3

(1. 浙江大學(xué) 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州310058；2.浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，杭州310058； 3. 南京工業(yè)大學(xué) 交通學(xué)院，南京210009)

摘要：對(duì)Biot理論和修正的Biot理論中的波動(dòng)方程進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)，注明了每個(gè)參數(shù)的量綱和準(zhǔn)確含義，并基于修正的Biot理論導(dǎo)出了三種不同形式的波動(dòng)方程；對(duì)兩種理論進(jìn)行比較，得到了Biot彈性系數(shù)表達(dá)式，并分析了兩者的應(yīng)力及其對(duì)應(yīng)關(guān)系；最后，著重對(duì)易被混淆的孔隙流體壓力符號(hào)的正方向和含義，以及基本方程中部分參數(shù)的定義式進(jìn)行了討論，有助于更好地理解、應(yīng)用Biot理論和修正的Biot理論。

關(guān)鍵詞：Biot理論；修正的Biot理論；彈性系數(shù)；應(yīng)力；孔隙流體壓力；參數(shù)

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(U1234204,51378463)

收稿日期：2013-06-26修改稿收到日期：2014-01-28

中圖分類號(hào):TU435文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Comparison and discussion for Biot theory and modified Biot one

LIUZhi-jun1,2,XIATang-dai1,2,HUANGRui1,2,CHENWei-yun3(1. MOE Key Laboratory of Soft Soils and Geoenvironmental Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China;2. Research Center of Costal and Urban Geotechnical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China;3. College of Transportation Science & Engineering, Nanjing University of Technology, Nanjing 210009, China)

Abstract:The wave equations of Biot theory and modified Biot one were derived, and the dimension and correct definition of each parameter in the equations were clearly indicated. Based on the modified Biot theory, three different forms of wave equations were derived as well. Then, by comparing those two theories, the expressions of Biot elastic coefficients were obtained, and the stresses of the two theories and their correspondences were analyzed. Finally, particularly, the positive direction and meaning of pore-fluid pressure sign and the definitions of part parameters in the fundamental equations were discussed to be helpful for understanding and using the two theories.

Key words: biot theory; modified biot theory; elastic coefficients; stress; pore-fluid pressure; parameters

20世紀(jì)50年代，Biot[1-2]首先建立了流體飽和多孔介質(zhì)傳播理論(簡(jiǎn)稱“Biot理論”)，其基本方程已得到廣泛應(yīng)用，為雙相多孔介質(zhì)的土動(dòng)力學(xué)分析奠定了基礎(chǔ)。Biot理論是基于熱力學(xué)原理而推導(dǎo)出的半唯象(semi-phenomenological)理論，其中，A、R、Q 等系數(shù)太復(fù)雜且含義抽象，給實(shí)際求解帶來了困難。后來的學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了一些簡(jiǎn)化和修正，提出了可以考慮固體顆粒和流體壓縮性、且忽略質(zhì)量耦合系數(shù)的雙相孔隙介質(zhì)理論(“修正的Biot理論”)，其基本方程的建立是基于彈性動(dòng)力學(xué)和滲流理論，易于理解，也在一定程度上證實(shí)了Biot理論的正確性。

基于Biot理論或修正的Biot理論，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者從不同的角度對(duì)多孔介質(zhì)中的土動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了研究。但不同文獻(xiàn)中所應(yīng)用的基本方程表達(dá)式各異，部分參數(shù)的定義式有些混亂，尤其是孔隙流體壓力的正方向和內(nèi)涵，及其與平均孔隙流體壓力的差異容易被忽略和混淆，讓人產(chǎn)生誤解。

修正的Biot理論是基于Biot理論而提出來的，也正因?yàn)槿绱?，往往忽略了這兩個(gè)既存在聯(lián)系而基本方程表達(dá)式又不同的理論之間的關(guān)系，目前尚沒有相關(guān)的比較研究。本討論主要為：① 分別對(duì)這兩種理論進(jìn)行詳細(xì)的推導(dǎo)，并基于修正的Biot理論推導(dǎo)出不同形式的波動(dòng)方程；② 比較兩種理論，得到兩者之間的應(yīng)力關(guān)系及Biot理論中彈性系數(shù)的表達(dá)式；③ 對(duì)孔隙流體壓力和其他參數(shù)進(jìn)行討論。

1Biot理論與修正的Biot理論

1.1Biot理論

Biot基于一系列假設(shè)條件，通過熱力學(xué)原理建立了流體飽和多孔介質(zhì)的線性本構(gòu)關(guān)系，并給出了系統(tǒng)動(dòng)能和介質(zhì)耗散函數(shù)的表達(dá)式，運(yùn)用拉格朗日方程，最后建立了考慮慣性項(xiàng)和粘性項(xiàng)相互耦合的系統(tǒng)動(dòng)力方程。其基本方程如下(除特別注明之外，相同符號(hào)代表相同的參量)：

固體骨架和孔隙流體的線性本構(gòu)方程(應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系)分別為：

(1)

s=Qe+Rε， s=-npf

(2)

分別以單位體積飽和多孔介質(zhì)中的固體和孔隙流體作為研究對(duì)象，固體和流體的運(yùn)動(dòng)方程為：

(3)

(4)

式中：b為Biot自定義的一個(gè)與達(dá)西滲透系數(shù)有關(guān)的介質(zhì)耗散參數(shù)，b=n2η/κ=n2ρfg/k[4]；g為重力加速度(m/s2)；η為流體黏滯系數(shù)(Pa·s)；κ為固體骨架動(dòng)力滲透系數(shù)(m2)；k為固體骨架固有滲透系數(shù)(m/s)；ρ11、ρ22、ρ12分別為固體、流體質(zhì)量系數(shù)和固—液質(zhì)量耦合系數(shù)(kg/m3)，其中，(1-n)ρs=ρ11+ρ12，nρf=ρ12+ρ22；ρs、ρf分別為固體和流體真密度(kg/m3)。

將式(1)、式(2)代入式(3)、式(4)，可得到位移矢量形式的波動(dòng)方程：

N2u+grad[(A+N)e+Qε]=

(5)

grad[Qe+Rε]=

(6)

1.2修正的Biot理論

由于Biot理論中的A、R、Q、ρ12等系數(shù)太復(fù)雜且含義抽象，為此，后來的學(xué)者基于Biot理論導(dǎo)出了修正的Biot理論。雖然兩種理論的基本方程表達(dá)式有所不同，但實(shí)質(zhì)上是相通的。不同的是，修正的Biot理論中忽略了取值不易確定的質(zhì)量耦合系數(shù)，即假設(shè)ρ12=0。修正的Biot理論中，位移矢量不同，其基本方程表達(dá)式也有所不同，有以下三種常用的形式：

(1) u-w形式

學(xué)者楊峻基于修正的Biot理論研究了飽和土中三種體波的彌散與衰減特性[5]，考慮了土顆粒和流體的壓縮性，其基本方程如下：

以固體和流體組成的系統(tǒng)單元整體作為研究對(duì)象，其運(yùn)動(dòng)方程為：

(7)

以孔隙流體自身作為研究對(duì)象，流體運(yùn)動(dòng)方程為(假設(shè)孔隙流體為理想的可壓縮流體，其流動(dòng)遵從Darcy定律)：

(8)

滲流連續(xù)方程：

(9)

式中：

(10)

式中：α、M為表征土顆粒和流體壓縮性的Biot系數(shù)；Ks、Kb、Kf分別為固體顆粒、固體骨架和流體的體變模量(Pa)。

柯西問題中初始條件滿足[6]：

(11)

因此，式(9)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求積分，可以得到孔隙流體的本構(gòu)方程(與Santos[7]中的式(1)是一致的)：

-pf=Mwi,i+αMui,i

(12)

考慮土顆粒本身由于孔隙流體壓力作用所引起的壓縮性，基于有效應(yīng)力的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為[8]：

σij=λξkkδij+2μξij-αpfδij

(13)

式中：λ、μ為彈性骨架的Lame常數(shù)(Pa)，后者又稱剪切模量。

聯(lián)立以上各式，可得到u-w位移矢量形式的波動(dòng)方程：

μ2u+(λ+μ+α2M)(·u)+

αM(

(14)

αM(·u)+M(

(15)

(2) u-U形式

系統(tǒng)單元運(yùn)動(dòng)方程，即式(7)可化為：

(16)

孔隙流體運(yùn)動(dòng)方程，即式(8)可化為：

(17)

孔隙流體的本構(gòu)方程，即式(9)可化為：

-pf=(α-n)Me+nMε

(18)

基于有效應(yīng)力的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，即式(13)可化為：

σij=[λ+α(α-n)M]eδij+αnMεδij+2μξij

(19)

聯(lián)立式(16)～式(19)可得u-U位移矢量形式的波動(dòng)方程，也即式(14)～式(15)可化為：

μ2u+[λ+μ+α(α-n)M](·U)+

nαM(

(20)

(α-n)M(·U)+nM(·U)=

(21)

(3) u-U-pf形式

將式(18)代入式(20)、式(21)，可得到u-U-pf形式的波動(dòng)方程：

(22)

(23)

以上三種形式與黃茂松[8]基于混合物理論推導(dǎo)得到的結(jié)果是一致的。在研究中，當(dāng)需側(cè)重流體與固體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)或研究對(duì)象與之相關(guān)時(shí)，可采用u-w形式的波動(dòng)方程，且其式子較為簡(jiǎn)潔，得到了廣泛應(yīng)用；u-U形式的波動(dòng)方程則更突出了雙相介質(zhì)的作用機(jī)理，易于理解，且可直接得到流體的絕對(duì)位移；u-U-pf形式的波動(dòng)方程應(yīng)用較少。

2比較

2.1Biot彈性系數(shù)

Biot和Willis[9]通過外套試驗(yàn)(jacketed test)和非外套試驗(yàn)(unjacketed test)給出了各向同性Biot波動(dòng)方程中彈性系數(shù)與純固體骨架體變模量、顆粒體變模量和流體體變模量之間的關(guān)系。Claude Depollier[10]分析了均勻和非均勻材料的Biot彈性系數(shù)表達(dá)式，李亮等[11]給出了忽略固體顆粒的壓縮性時(shí)Biot彈性系數(shù)的表達(dá)式。通過對(duì)比Biot理論和修正的Biot理論，也可得出A、R、Q等彈性系數(shù)與流體飽和多孔介質(zhì)各體變模量之間的關(guān)系。

由于修正的Biot理論中沒有考慮質(zhì)量耦合系數(shù)，因此，在對(duì)上述兩種不同表達(dá)形式的波動(dòng)理論進(jìn)行對(duì)比時(shí)，均忽略慣性耦合項(xiàng)，即ρ12=0，此時(shí)有：

ρ11=(1-n)ρs，ρ22=nρf

(24)

式(21)兩邊同乘以n，得：

n(α-n)Me+n2M

(25)

結(jié)合式(24)，注意到b=n2η/κ，對(duì)比式(6)與式(25)，得：

Q=n(α-n)M，R=n2M

(26)

(27)

對(duì)比式(5)與式(27)，得：

N=μ，A=λ+(α-n)2M，

Q=n(α-n)M

(28)

對(duì)比式(2)與式(18)，注意到s=-npf，得

Q=n(α-n)M，R=n2M

(29)

綜合式(26)、式(28)、式(29)，有

(30)

修正的Biot理論是基于Biot理論并經(jīng)簡(jiǎn)化、修正后得到的。上述對(duì)比中，采用由果索因的反演分析法，得到了Biot彈性系數(shù)與多孔介質(zhì)體變模量之間的關(guān)系式，同時(shí)也分析了兩種理論中各基本方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在一定程度上驗(yàn)證了Biot理論的正確性，使半唯象(semi-phenomenological)的Biot理論更具體，有助于加深對(duì)其的理解。

2.2兩種理論中的應(yīng)力

Biot理論中，當(dāng)忽略質(zhì)量耦合項(xiàng)并假設(shè)流-固兩相之間不存在相對(duì)位移，即ρ12=0、ui=Ui，則式(3)和式(4)化為：

(31)

(32)

Biot理論中，總應(yīng)力σij應(yīng)為(忽略質(zhì)量耦合項(xiàng))

修正的Biot理論中，式(19)中的σij為總應(yīng)力，比較式(33)與式(19)，有：

A+Q=λ+α(α-n)M，Q+R=αnM

(34)

式(34)與前面得到的結(jié)果式(30)是一致，這也驗(yàn)證了上述分析的正確性。

值得注意的是，也有不少文獻(xiàn)(如Santos、Degrande[15],徐平[16])中直接以σij表示平均固相應(yīng)力或修正廣義有效應(yīng)力，在閱讀或引用時(shí)需加以區(qū)分。

3討論

3.1孔隙水壓力

王立忠等[17-18]曾對(duì)修正的Biot理論中的孔隙流體壓力進(jìn)行了簡(jiǎn)要的相互討論，下面通過一個(gè)流體運(yùn)動(dòng)方程對(duì)孔隙流體壓力的符號(hào)定義和內(nèi)涵進(jìn)行詳細(xì)討論與分析。

陳龍珠等[19-22]對(duì)飽和土中體波和表面波的傳播特性做了大量研究，其中，關(guān)于孔隙水的運(yùn)動(dòng)方程為：

(35)

(36)

對(duì)比式(36)與修正的Biot理論中的式(17)，可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)流體單元的運(yùn)動(dòng)方程并不一致(注意兩者位移矢量的定義不一樣)。陳龍珠認(rèn)為上式的建立是以單位體積飽和土中的孔隙水作為研究對(duì)象的結(jié)果，若按照此觀點(diǎn)，式中的pw應(yīng)該為平均孔隙水壓力(相當(dāng)于s)。不過，即使如此，式(36)與Biot理論中的式(4)也是不一致的(忽略質(zhì)量耦合項(xiàng))。

可從以下兩種不同的角度對(duì)上式進(jìn)行修正。

(1) 將式(35)中的流體表觀密度ρ2改為流體真密度ρw，則有

(37)

此時(shí)，對(duì)比式(37)與修正的Biot理論中的式(17)，盡管兩式對(duì)孔隙水壓力正方向的定義正好相反，但兩式中孔隙水壓力pw和pf的內(nèi)涵是一樣的，均是表示絕對(duì)孔隙水壓力。在后續(xù)的引用中，僅需相應(yīng)地在總應(yīng)力表達(dá)式中對(duì)符號(hào)做出調(diào)整，也即，此時(shí)總應(yīng)力表達(dá)式為σij=λξkkδij+2μξij+αpwδij。

夏唐代關(guān)于總應(yīng)力邊界條件表示為σz+pw=0(原文中定義固相應(yīng)力σij=λξkkδij+2μξij，且假設(shè)土顆粒不可壓縮，即α=1)，就屬于上述情形。Tajuddin[23]中式(16)所定義的平均孔隙水壓力s正方向與其文中的式(2)相反，而在后續(xù)的應(yīng)力邊界條件中卻沒有做出相應(yīng)地調(diào)整。

(38)

上式兩邊同除以n，得：

(39)

以上分析也表明，因正方向和參數(shù)定義式的不同，或不同學(xué)者根據(jù)研究的需要，同一個(gè)方程可以有多種不同的表達(dá)形式，但萬變不離其宗，只需在調(diào)用時(shí)相應(yīng)地做出改變。

因此，在運(yùn)用Biot理論或修正的Biot理論研究多孔介質(zhì)中波的傳播特性，尤其當(dāng)因存在交界面而要使用應(yīng)力邊界條件時(shí)，要注意自身所定義的孔隙流體壓力的正方向及其內(nèi)涵，不能直接引用別人文獻(xiàn)中的相關(guān)式子，否則在數(shù)值計(jì)算中將得不到正確的結(jié)果。

3.2其他參數(shù)

4結(jié)論

旨在探討B(tài)iot理論與修正的Biot理論之間的關(guān)系，對(duì)其中易被混淆之處進(jìn)行了分析，以便更好地理解和應(yīng)用此理論，同時(shí)也希望對(duì)多孔介質(zhì)土動(dòng)力學(xué)研究的入門者會(huì)有所幫助。盡管Biot理論自建立至今已歷經(jīng)半個(gè)多世紀(jì)，如今對(duì)其進(jìn)行比較及討論仍然具有重要意義，因?yàn)殡p相孔隙介質(zhì)Biot理論和修正的Biot理論是三相孔隙介質(zhì)(如單孔隙非飽和多孔介質(zhì))和四相孔隙介質(zhì)(如雙重孔隙非飽和介質(zhì))土動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)，同時(shí)在地震、勘探、交通等領(lǐng)域也有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

參 考 文 獻(xiàn)

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