第一作者 傅奕臻 男，博士生, 1988年生

通信作者 呂中榮 男，副教授, 1975年生

郵箱：lvzhr@mail.sysu.edu.cn

基于時域響應(yīng)靈敏度分析的板結(jié)構(gòu)損傷識別

傅奕臻，魏子天，呂中榮，劉濟科

(中山大學(xué) 力學(xué)系，廣州510006)

摘要：提出了一種基于響應(yīng)靈敏度分析的有限元模型修正法，對平板結(jié)構(gòu)的局部損傷進行識別。在正問題研究中,將結(jié)構(gòu)的局部損傷模擬為板結(jié)構(gòu)單元楊氏模量的減少，建立了板結(jié)構(gòu)的有限元動力學(xué)方程，利用直接積分法獲得了結(jié)構(gòu)強迫振動響應(yīng)。在損傷識別反問題中，基于響應(yīng)靈敏度分析，直接利用結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)進行有限元模型修正和損傷識別。算例表明，本文方法能有效識別板類結(jié)構(gòu)的局部損傷，具有需要測點數(shù)目少，損傷識別精度高，對模擬的測量噪聲不大敏感的優(yōu)點。

關(guān)鍵詞：損傷識別；板；響應(yīng)靈敏度；模型修正

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11172333, 11272361);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助(13lgzd06);高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金(20130171110039);廣東省科技計劃項目(2012A030200011);博士后基金(2013M531893)資助

收稿日期：2013-09-23修改稿收到日期：2014-01-27

中圖分類號:O32文獻標(biāo)志碼： A

Damage identification of a plate based on response sensitivity analysis in time domain

FUYe-zhen,WIEZi-tian,LüZhong-rong,JIUJi-ke(Department of Applied Mechanics, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510006, China)

Abstract:A response sensitivity-based approach was presented to identify local damages in an isotropic plate structure using the finite element model updating. The local damage was considered as a reduction of elemental Young’s modulus of the plate, the FE dynamic equations of the plate were built. The forced vibration responses of the plate under external excitations were obtained with Newmark direct integration. For its damage identification, a response sensitivity-based finite element model updating approach was used to identify local damages of the plate in time domain. Numerical examples showed that the proposed method is effective to identify local damages of plates; good identified results can be obtained with short time histories of a few measurement points, and it is insensitive to the simulated measurement noise.

Key words: damage identification; plate; response sensitivity; model updating

板作為一種重要的結(jié)構(gòu)構(gòu)件類型，在工程中廣泛地應(yīng)用于航空航天、汽車、機械和土木工程等領(lǐng)域。開發(fā)一種早期的損傷檢測方法對保持板整體結(jié)構(gòu)的完整性和安全性是非常重要的。人們在板類結(jié)構(gòu)的損傷識別方面進行了大量的研究。Cawley 等[1]研究了一種利用頻率改變來檢測板類結(jié)構(gòu)損傷的算法。Cornwell 等[2]將最初應(yīng)用于一維結(jié)構(gòu)的模態(tài)能量法推廣到板類結(jié)構(gòu)的損傷檢測之中。Li 等[3]提出了一種應(yīng)變模態(tài)法對板類結(jié)構(gòu)的損傷進行識別。Yam 等[4]通過對板類結(jié)構(gòu)進行靜態(tài)和動態(tài)響應(yīng)靈敏度分析來識別損傷。Wu 等[5]根據(jù)均布載荷板的表面曲率變化情況來識別損傷。Yoon 等[6]將最初用于一維結(jié)構(gòu)損傷檢測的 gapped-smoothing 法進一步推廣應(yīng)用于二維板類結(jié)構(gòu)中。Bayissa等[7]提出了一種新的基于彎矩響應(yīng)功率譜密度的損傷敏感參數(shù)，應(yīng)用于兩維板類結(jié)構(gòu)的損傷識別中。Qiao 等[8]研究了一種新的靜態(tài)/動態(tài)響應(yīng)組合技術(shù)來提高復(fù)合材料層合板的損傷檢測。該技術(shù)表明在保持靜載荷作用下，損傷處的動態(tài)響應(yīng)其異?？赡軙用黠@且容易檢測。Fan等[9]提出了一種二維(2D)連續(xù)小波變換的損傷檢測算法。該方法利用 Dergauss2D小波檢測平板式結(jié)構(gòu)的損傷，提出了2-D小波系數(shù)等值面的概念,這種等值面能生成損傷的具體位置和近似形狀或面積。Kazem等[10]提出了一種兩步程序法來確定薄板結(jié)構(gòu)的各種損傷及受損程度。徐峰等[11]利用損傷因子進行了板架結(jié)構(gòu)的損傷識別。最近，Zhang等[12]利用頻率偏移面曲率法(frequency shift surface curvature)進行板結(jié)構(gòu)損傷識別。

提出一種基于響應(yīng)靈敏度分析的有限元模型修正法，通過測量的結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)來識別各向同性中厚板的局部損傷。首先使用Reissner-Mindlin板單元建立板結(jié)構(gòu)的有限元模型，考慮其橫向剪切變形。然后利用板單元的楊氏模量減少來模擬結(jié)構(gòu)的局部損傷，并采用罰函數(shù)法和Tikhonov正則化方法進行求解。以懸臂板為例，說明所提方法的正確性和有效性。算例表明，利用測量的若干結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)能夠有效地識別板類結(jié)構(gòu)的單一損傷和多個損傷。同時研究了噪聲的大小，研究表明測量噪聲對損傷識別的結(jié)果有影響。

1理論方法

1.1板的受迫振動

外激勵下各向同性板的運動方程用有限元法表示如下：

(1)

1.2剛度參數(shù)的動態(tài)響應(yīng)靈敏度

一般來說，當(dāng)局部損傷發(fā)生在結(jié)構(gòu)的某單元處，它會導(dǎo)致單元剛度特性的降低(如楊氏模量)。對式(1)的兩端同時對楊氏模量求導(dǎo)，可以得到：

(2)

(3)

1.3模型修正問題的目標(biāo)函數(shù)

在反問題中，采用一種基于靈敏度的動態(tài)響應(yīng)有限元模型修正法[13]來識別系統(tǒng)的局部損傷。模型修正的目標(biāo)函數(shù)就是使測量和計算的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的殘差最小，見式(4)：

(4)

1.4損傷參數(shù)識別

利用罰函數(shù)法[14]，識別方程可寫為：

(5)

其中

(6)

St=ti=

方程(5)可以通過阻尼最小二乘法(DLS)[15]求解，表達式為:

(8)

其中，λ是非負阻尼正則化參數(shù)。式(8)的解等同于如下函數(shù)求解其最小值問題

Tikhonov正則化方法[16]用來求解最優(yōu)正則化參數(shù)，其使用L-曲線[17]作為優(yōu)化函數(shù)。當(dāng)λ≈0的時候，ΔEj就接近由最小二乘法計算的結(jié)果。L-曲線法的計算方法可以查找文獻[18]。第j次迭代的修正楊氏模量矢量Ej+1表達式如下：

Ej+1=Ej+ΔEj

(10)

當(dāng)滿足如下條件時，可以認(rèn)為迭代結(jié)束，跳出循環(huán)：

(11)

這里容許值Tol =1×10-8。

1.5迭代算法步驟

首先，給定一組單元楊氏模量初始值E0，E0每一項可為完好板的各項數(shù)值，迭代步驟為：

步驟3：由式(10)計算Ek+1。

步驟4：讓k=k+1,然后重復(fù)“步驟1”至“步驟3”步直到滿足容許條件。

2數(shù)值模擬

2.1懸臂板單損傷識別

在本算例中，懸臂鋼板的尺寸為500 mm×500 mm×50 mm(見圖1)。板的各物理量表示如下：楊氏模量E=210 GPa,密度ρ=7.8×103kg/m3，泊松比υ=0.3。MATLAB軟件包用于建立板單元模型，有限元模型中，板被劃分成25個4節(jié)點Reissner-Mindlin板單元。由有限元法計算得到前6階固有頻率為172.5,406.9,1 091.5,1 348.4,1 506.1和2 522.7 Hz。為了得到板的受迫響應(yīng)，在第36號節(jié)點沿z軸負方向施加某一沖擊荷載，荷載表達式為

圖1　一邊固支鋼板 ((1), (2), …, (36) 為節(jié)點編號;1, 2,…, 25 為單元編號) Fig.1 A cantilever steel plate ((1), (2),…, (36) denote node number of FEM; 1, 2,…, 25 denote element number)

假設(shè)局部損傷位于第1個單元，其楊氏模量降低5%。前6階固有頻率為172.0, 406.0, 1 089.4, 1 348.1, 1 503.2以及2 519.3 Hz。這也表明，局部損傷對固有頻率的改變是非常小的。選取第4號、18號、34號節(jié)點作為加速度測點。模型修正的參數(shù)個數(shù)等于板的單元數(shù)。由于損傷較小，將損傷參數(shù)的下限取為板無損時楊氏模量的60%。權(quán)矩陣取單元陣。14次迭代后，識別數(shù)據(jù)開始收斂，結(jié)果(見圖2)。最優(yōu)化正則參數(shù)λopt=4.15×10-11。這可以看出單損傷精確識別出來了。最大識別誤差出現(xiàn)在第6號板單元, 僅為0.04%。這個算例也表明了所用方法的有效性和準(zhǔn)確性。

圖2　單損傷的識別(不含噪聲) Fig.2 Identification of a single local damage (noise free)

為研究測量噪聲對識別精度的影響，在模擬的測量加速度中加入5%的噪聲，16次迭代后識別結(jié)果收斂，最大誤差為0.99%, 位于第2號板單元。最優(yōu)正則化參數(shù)λopt=2.5×10-11。識別結(jié)果(見圖3), 即使有5%的噪聲，識別結(jié)果仍有較好的精度。

圖3　單損傷的識別(5%噪聲) Fig.3 Identification of a single local damage (5% noise)

2.2兩跨連續(xù)板多損傷識別

兩跨連續(xù)板邊界條件為左右兩邊簡支，尺寸5 000 mm×2 500 mm×60 mm(見圖4)。楊氏模量E=25 GPa，密度ρ=2.8×103kg·m-3，泊松比υ=0.2。有限元建模中，將板劃分50個4節(jié)點Reissner-Mindlin板單元。模型修正中的參數(shù)個數(shù)等于有限元單元數(shù)。板先后受到兩次沖擊荷載，第一次作用在第25號節(jié)點，方向為Z軸負方向，荷載為

第二次作用在第42號節(jié)點，方向為Z軸負方向，荷載為

此板有8處損傷，定位于第1、第10、第16、第18、第23、第34、第41、第50號單元。楊氏模量分別減少15%, 10%, 15%, 8%, 10% , 10%, 6% 和15%。選擇10個測點:第3、第9、第14、第19、第26、第31、第41、第43、第49、第52號節(jié)點做加速度測點。若加入5%的噪聲，21次迭代后識別結(jié)果收斂，最大誤差為3.83%位于、第21號板單元。最優(yōu)正則化參數(shù)λopt=4.40×10-9。識別結(jié)果(見圖5)， 即使有5%的噪聲，識別結(jié)果仍然較準(zhǔn)確。

圖4　兩跨對邊簡支板 ((1), (2), …, (66)為節(jié)點編號，1,2,…,50為單元編號) Fig.4 Sketch of a two-span plate ((1), (2), …, (66) denote node number of the FEM; 1,2,…,50 denote element number) (Dimensions not scaled)

圖5　兩跨板多損傷識別(5%噪聲) Fig.5 Multiple damage identification in a two-span plate (5% noise)

3結(jié)論

采用基于靈敏度的有限元模型修正法對板結(jié)構(gòu)的局部損傷進行識別。通過罰函數(shù)法和Tikhonov正則化對識別方程進行迭代求解得到識別結(jié)果。兩個數(shù)值算例表明所提的方法能有效識別板類結(jié)構(gòu)的局部損傷，具有需要測點數(shù)目少，損傷識別精度高，對模擬的測量噪聲不大敏感的優(yōu)點，具有較好的工程應(yīng)用潛力。

參 考 文 獻

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