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加速度定義的缺陷及在教學(xué)中導(dǎo)致的問題

2016-01-12 07:55:13田均光
物理通報(bào) 2015年10期
關(guān)鍵詞:連接點(diǎn)半圓切線

加速度定義的缺陷及在教學(xué)中導(dǎo)致的問題

田均光

(任丘市第四中學(xué)河北 滄州062550)

摘 要:本文通過實(shí)例分析了加速度定義的缺陷,并給出了解決的方法.

關(guān)鍵詞:加速度缺陷暫態(tài)過程壓力

收稿日期:(2015-04-20)

加速度是力學(xué)中最基本也是最重要的概念,它的定義實(shí)際上是數(shù)學(xué)中極限概念的物理化.極限在數(shù)學(xué)中有兩種形式:函數(shù)在該點(diǎn)有極限(左右導(dǎo)數(shù)均存在且相等);函數(shù)在該點(diǎn)無極限.其中無極限又分為:左右導(dǎo)數(shù)均不存在;只存在左導(dǎo)數(shù)或右導(dǎo)數(shù);左右導(dǎo)數(shù)均存在且不相等.加速度的定義選取的實(shí)際上只是函數(shù)在該點(diǎn)有極限這么一種情況.表面上看,這樣的定義并沒有問題,因?yàn)樵趯?shí)際的加速運(yùn)動(dòng)中,物體在每一點(diǎn)的加速度都存在且是唯一的.這樣的理解在一般運(yùn)動(dòng)中是沒有問題的,但在組合運(yùn)動(dòng)中(如物體先做勻速運(yùn)動(dòng)接著再做變速運(yùn)動(dòng))問題便出現(xiàn)了.請(qǐng)看下面的例子.

一水平軌道和一半徑為R的半圓軌道平滑連接,一質(zhì)量為m的小球在該軌道上運(yùn)動(dòng),不計(jì)摩擦.問題一:當(dāng)小球由水平軌道進(jìn)入半圓軌道經(jīng)過連接點(diǎn)時(shí),小球的加速度和對(duì)連接點(diǎn)的壓力各是多少?問題二:當(dāng)小球由半圓軌道返回進(jìn)入水平軌道經(jīng)過連接點(diǎn)時(shí),小球的加速度和對(duì)連接點(diǎn)的壓力各是多少?

這里的問題并不難,問題出在連接點(diǎn)的公共身份上,它既在水平軌道上,又在半圓軌道上.按水平軌道上的運(yùn)動(dòng)解答與按半圓軌道上的運(yùn)動(dòng)解答,兩者的結(jié)果完全不同,導(dǎo)致答案無法確定.這是一個(gè)典型的左右導(dǎo)數(shù)均存在且不相等的問題,在加速度的定義中并沒有給出解決此類問題的方法,直接由加速度的定義來解決該問題并不具有天然的正確性.這正是人們所沒有注意到的加速度定義的缺陷.其實(shí),數(shù)學(xué)中已有處理此類問題的例子,就是人為地確定取值,如級(jí)數(shù)中的狄里赫萊(Dirichlet)問題.只是在物理中,人們不承認(rèn)加速度定義有缺陷,且實(shí)際問題總是連續(xù)有導(dǎo)數(shù)的,才導(dǎo)致該問題至今沒有解決,比如文獻(xiàn)[1]和[2]中對(duì)該問題的處理.下面,我們就給出解決這一問題的正確方法.

對(duì)軌道的壓力為

F=mg

對(duì)軌道的壓力為

在上面的分析中我們看到,解決問題的關(guān)鍵是把連接點(diǎn)確定為暫態(tài)過程變化的起點(diǎn),有了這個(gè)認(rèn)識(shí),其余的問題就非常清楚了.而暫態(tài)過程,相當(dāng)于一條曲率半徑由R∞~R(0~R)或R~R∞(R~0)連續(xù)變化的軌道.

最后我們解釋一點(diǎn),速度和加速度兩者的定義在形式上是完全相同的,在該例中,為什么速度的定義沒有出現(xiàn)問題,而加速度定義卻出現(xiàn)了問題呢?這是因?yàn)閮绍壍涝谶B接點(diǎn)是有公共切線的,它反映在位移圖像上的對(duì)映點(diǎn)亦有公共的切線,所以速度的定義不會(huì)出現(xiàn)問題.軌道不是速度的圖像,若是在速度圖像上,兩曲線在連接點(diǎn)有公共切線,則加速度的定義也不會(huì)出現(xiàn)問題.我們想,速度的定義也有類似的缺陷.若兩軌道不是平滑的連接,則位移的圖像在連接點(diǎn)的對(duì)應(yīng)處就可能沒有公共的切線,這時(shí)用速度的定義去求速度,就會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)不同的值.比如在非彈性碰撞中,就可能出現(xiàn)位移的圖像是一條折線,在連接點(diǎn)就沒有公共的切線.

參 考 文 獻(xiàn)

1杜志建.2015高考《考試大綱》調(diào)研卷物理.延吉:延邊出版社,2015

2劉強(qiáng).輕巧奪冠同步講解(人教版) 《高中物理·必修2》.北京:北京出版集團(tuán),北京教育出版社,2013.33

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