基于運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的多普勒效應(yīng)公式推導(dǎo)*

黃海銘楊俊濤

(湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院理學(xué)院湖北 十堰442002)

*湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院“本科教學(xué)質(zhì)量工程”研究項(xiàng)目，課題編號(hào)：JX201440，JX201441

摘 要：通過(guò)最基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，對(duì)機(jī)械波沿波源和觀察者連線方向直線傳播的多普勒效應(yīng)公式進(jìn)行了推導(dǎo)，所得結(jié)果與其他推導(dǎo)方法得到的結(jié)論一致，本推導(dǎo)方法所涉及的理論知識(shí)較為簡(jiǎn)單，顯得淺顯易懂.

關(guān)鍵詞：多普勒效應(yīng)波信號(hào)速度頻率

作者簡(jiǎn)介：黃海銘(1978-)，男，副教授，主要從事磁性材料研究及物理教學(xué).

收稿日期：(2014-12-25)

多普勒效應(yīng)是指由于觀察者(接收器)或波源，或二者同時(shí)相對(duì)于媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)，而使觀察者接收到的波的頻率與波源發(fā)出的頻率不同的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象在生活中可以被廣泛地觀察到.然而，目前使用的物理教材和參考資料中，對(duì)多普勒效應(yīng)結(jié)論公式的推導(dǎo)主要是從波數(shù)、相位的角度得到，作為初學(xué)者而言，要理解其推導(dǎo)過(guò)程，還有一定難度.本文將從最基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律出發(fā)，建立一種更容易理解的多普勒效應(yīng)結(jié)論公式的推導(dǎo)方法.

1推導(dǎo)過(guò)程

為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本文主要討論機(jī)械波沿著波源和觀察者連線直線傳播的情況.如圖1(a)所示，設(shè)在t=0時(shí)刻，波源和觀察者之間相距x，從t=0時(shí)刻開(kāi)始波源和觀察者之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng).波源所發(fā)出的波信號(hào)在靜止媒質(zhì)中的傳播速度大小為u，波源和觀察者相對(duì)靜止媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)的速度大小分別為vs和vo，波源發(fā)出波信號(hào)的周期和頻率分別為T(mén)和f.下面以波源和觀察者沿同向運(yùn)動(dòng)為例作推導(dǎo).

如圖1(b)所示，假設(shè)在t=tn時(shí)刻，波源發(fā)出第n個(gè)波信號(hào)，在0～tn時(shí)間內(nèi)，波源運(yùn)動(dòng)的距離為vstn，觀察者運(yùn)動(dòng)的距離為votn.從tn時(shí)刻波源發(fā)出第n個(gè)波信號(hào)開(kāi)始到觀察者接收到第n個(gè)波信號(hào)的時(shí)間間隔為

(1)

圖1　波源和觀察者在一條直線上運(yùn)動(dòng)

同樣如圖1(c)所示，假設(shè)在t=tn+1時(shí)刻，波源發(fā)出第n+1個(gè)波信號(hào)，在0～tn+1時(shí)間內(nèi)，波源運(yùn)動(dòng)的距離為vstn+1，觀察者運(yùn)動(dòng)的距離為votn+1.從tn+1時(shí)刻波源發(fā)出第n+1個(gè)波信號(hào)開(kāi)始到觀察者接收到第n+1個(gè)波信號(hào)的時(shí)間間隔為

(2)

以t=0時(shí)刻為參考，觀察者接收到第n+1個(gè)波信號(hào)和第n個(gè)波信號(hào)的時(shí)間間隔T′為

T′=(tn+1+Δt2)-(tn+Δt1)

(3)

因?yàn)閠n+1-tn=T，將式(1)和式(2)代入式(3)并整理得到

(4)

于是觀察者接收到波信號(hào)的頻率f′為

(5)

以上是以波源和觀察者同向運(yùn)動(dòng)為例得到的多普勒效應(yīng)公式，如果定義vow=u-vo為波信號(hào)相對(duì)于觀察者的速度大小，vsw=u-vs為波信號(hào)相對(duì)于波源的速度大小，式(5)的結(jié)論對(duì)在波源和觀察者連線情形下直線傳播的其他多普勒效應(yīng)也適用.

2結(jié)果討論

在實(shí)際中，有可能出現(xiàn)波源或觀察者靜止時(shí)的多普勒效應(yīng)，下面結(jié)合式(5)對(duì)這種情形作以下討論：

(1)波源靜止，觀察者向著波源方向運(yùn)動(dòng)，此時(shí)有

vs=0vow=u+vovsw=u

(2)波源靜止，觀察者遠(yuǎn)離波源方向運(yùn)動(dòng),此時(shí)有

vs=0vow=u-vovsw=u

(3)觀察者靜止，波源向著觀察者方向運(yùn)動(dòng),此時(shí)有

vo=0vow=uvsw=u-vs

(4)觀察者靜止，波源遠(yuǎn)離觀察者方向運(yùn)動(dòng),此時(shí)有

vo=0vow=uvsw=u+vs

3結(jié)束語(yǔ)

本文采用較為簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)波信號(hào)沿著波源和觀察者連線直線傳播時(shí)的多普勒效應(yīng)公式進(jìn)行了推導(dǎo)，結(jié)論與其他方法得到的結(jié)論一致.但整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程并不包含對(duì)初學(xué)者而言難以理解的波數(shù)、相位等概念，使得其推導(dǎo)過(guò)程更易于為讀者所理解和掌握.

參 考 文 獻(xiàn)

1張秀梅. 多普勒效應(yīng)公式的一種新的推導(dǎo)方法. 錦州醫(yī)學(xué)院學(xué)報(bào), 2001 (2): 70～71

2黃偉, 陸天明. 巧推經(jīng)典和相對(duì)論多普勒效應(yīng)公式. 物理通報(bào), 2010 (7): 95

3周美建. 淺談多普勒效應(yīng). 物理教學(xué), 2010 (12):16～18