楊　波

(阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng)　236041)

關(guān)于全概率公式及其實(shí)際應(yīng)用

楊波

(阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng)236041)

摘要：通過對(duì)全概率公式的分析得出此公式主要用于由原因求結(jié)果的概率。同時(shí)借助具體的事例說明了如何恰當(dāng)?shù)膭澐滞陚涫录M，把全概率公式應(yīng)用于產(chǎn)品檢驗(yàn)、傳染病的診斷和經(jīng)濟(jì)決策上。

關(guān)鍵詞：全概率公式；完備事件組;復(fù)雜事件；簡(jiǎn)單事件

作者簡(jiǎn)介：楊波,碩士，講師，阜陽(yáng)師范學(xué)院。

基金項(xiàng)目：國(guó)家級(jí)特色專業(yè)“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)”建設(shè)項(xiàng)目(NO.TS11496)資助。

文章編號(hào)：1672-6758(2015)11-0052-3

中圖分類號(hào)：O211.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：The paper argues that the total probability formula is mainly used in the probability analysis of the result and reason. How to properly divide the complete event group is illustrated in the paper with some examples, and the total probability formula can be applied to the product inspection, the diagnosis of infectious diseases and economic decision-making .

一引言

在實(shí)際生活中我們經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)于概率計(jì)算的各種問題，而實(shí)際問題的解決是很復(fù)雜的，全概率公式多用于計(jì)算復(fù)雜事件的概率，將問題化繁為簡(jiǎn)。使用全概率公式解決問題可以借助引入各種小前提，將事件分解為兩個(gè)或是若干個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件的并集，并且在每個(gè)小部分中可以比較容易地求得所需要的概率，再用加法公式求出復(fù)雜事件的概率，所以全概率公式多用于化簡(jiǎn)復(fù)雜的概率計(jì)算問題。

本文探討了全概率公式的意義以及在產(chǎn)品檢驗(yàn),傳染病的診斷和經(jīng)濟(jì)決策上的應(yīng)用，同時(shí)給出了運(yùn)用全概率公式解決實(shí)際問題時(shí)的分析方法，體現(xiàn)出全概率公式的具體作用 。

二全概率公式

定義 1如果n個(gè)事件A1，A2，…，An滿足以下兩個(gè)條件：

(1)A1，A2，…，An兩兩互不相容；

(2)A1∪A2∪…∪An=Ω；

那么，我們稱這個(gè)n個(gè)事件A1，A2，…，An構(gòu)成樣本空間Ω的一個(gè)劃分，也稱構(gòu)成一個(gè)完備事件組。

定理 1設(shè)n個(gè)事件A1，A2，…，An構(gòu)成樣本空間Ω的一個(gè)劃分，B是一個(gè)事件。當(dāng)P(B)>0,P(Ai)>0, i=1,2,…,n,則

這個(gè)公式稱為全概率公式。

使用全概率公式的基本思想就是將一個(gè)復(fù)雜事件的概率化簡(jiǎn)為求幾個(gè)獨(dú)立簡(jiǎn)單事件的概率和?；?jiǎn)的關(guān)鍵是如何將一個(gè)事件A合理的劃分為一個(gè)互不相容的事件組A1，A2，…，An,使得B出現(xiàn)的同時(shí)有且只有一個(gè)Ai(i=1,2,…,n)同時(shí)出現(xiàn)，如下圖所示.然后再利用條件概率公式和加法公式便可得全概率公式。

圖1

這里BAi就是“簡(jiǎn)單事件”,再利用乘法公式，可求得它們發(fā)生的概率為

P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)，

式中P(Ai)是導(dǎo)致事件B發(fā)生的若干個(gè)不同原因的概率，往往是題中給出的或者是能求出的。P(B|Ai)所表示的是在若干個(gè)原因事件Ai發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，它可以從題目的已知條件直接得出或間接導(dǎo)出.因此在應(yīng)用此公式的時(shí)候，首先要明白如何劃分完備事件組，再應(yīng)用此公式。

三全概率公式在實(shí)際生活中的應(yīng)用

運(yùn)用全概率公式，我們可以利用問題產(chǎn)生的原因來求得此問題結(jié)果的概率，即由因求果。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，應(yīng)先充分分析某一結(jié)果產(chǎn)生的原因，將這些原因構(gòu)成一個(gè)完備事件組，再求在每一種原因下問題發(fā)生的概率，最后將這些概率求和，即得到該問題結(jié)果的概率。下面，我們分別討論全概率公式在產(chǎn)品檢驗(yàn)，傳染病診斷和經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用。在應(yīng)用時(shí)，重在弄清楚事件相互影響的次序，恰當(dāng)?shù)貏澐滞陚涫录M。

1.在產(chǎn)品檢驗(yàn)上的應(yīng)用。

在實(shí)際生產(chǎn)過程中，一批產(chǎn)品被生產(chǎn)出來，檢驗(yàn)人員會(huì)在出廠前進(jìn)行一次抽樣檢查，檢查合格后才會(huì)發(fā)貨。而賣家收到貨之后，還會(huì)再進(jìn)行簡(jiǎn)單的驗(yàn)貨。所以要保證賣家的驗(yàn)貨合格，廠家就要對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果分析，進(jìn)行一定的概率計(jì)算，這里就可以使用到全概率公式。

例1某工廠生產(chǎn)一種兒童玩具，工廠檢驗(yàn)員在發(fā)貨前進(jìn)行檢驗(yàn)。假設(shè)該批玩具一共有1000個(gè)，正品率為0.999，檢驗(yàn)員隨機(jī)抽了一件，則賣家收到貨后再隨機(jī)抽到的是次品的概率？

解設(shè)A={檢驗(yàn)員抽到的的是次品}，B={賣家抽到的是次品}

因?yàn)闄z驗(yàn)員抽到的結(jié)果直接影響到賣家的結(jié)果，則

又由題意知，

于是由全概率公式得

由這個(gè)計(jì)算結(jié)果我們可以看到，檢驗(yàn)員抽到次品的概率和賣家抽到次品的概率是一樣的，就如一些彩票，無(wú)論先買后買，獲獎(jiǎng)的概率都是一樣的，也正是因?yàn)檫@樣，檢驗(yàn)員的檢查結(jié)果可以客觀的反映這批產(chǎn)品的質(zhì)量，所以出廠前的檢驗(yàn)是必要的。

2.在傳染病診斷中的應(yīng)用。

對(duì)傳染病的控制，最重要的步驟之一是傳染病的確定，診斷出是哪一種傳染病，是治療的前提。要對(duì)患者進(jìn)行診斷，化驗(yàn)可能很繁瑣，但是運(yùn)用全概率公式,可達(dá)到簡(jiǎn)化化驗(yàn)過程，縮短治療時(shí)間，較快治愈病患的作用。對(duì)于傳染病的診斷，我們可以將傳染病的致病菌的全體看成樣本空間，然后將這個(gè)致病菌的全體進(jìn)行劃分。下面我們以流感為例，說明全概率公式在其中的應(yīng)用。對(duì)于此類問題，具體的過程可以如下。

設(shè)A={某地發(fā)現(xiàn)一種流感}，該流感是由B1,B2,…,Bn種致病菌的中的一種引起的。由于結(jié)果A產(chǎn)生的原因是這n種致病菌，于是可將這n種致病菌組成樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組.假設(shè)P(Bi)>0，則可以得到該流感由其中一種致病菌Bi引起的概率為

由乘法公式

P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)，

及全概率公式

這個(gè)式子實(shí)際上就是著名的貝葉斯公式，該公式為病人的確診提供參考。

例 2某地區(qū)爆發(fā)了一種禽流感，為了控制疫情，科學(xué)家對(duì)患病的禽類進(jìn)行檢驗(yàn)分析后，初步確認(rèn)這種禽流感可能是1號(hào)，2號(hào)，3號(hào)這三種致病菌中的一種引起的。已知禽類感染1號(hào)致病菌的可能性為45%，感染后的發(fā)病的概率為0.90;感染2號(hào)致病菌的可能性為40%,感染后發(fā)病的概率為0.80；感染3號(hào)致病菌的可能性為15%，感染后發(fā)病的概率為0.75。問這種流感是2號(hào)致病菌引起的概率是多少？

解 設(shè)A={某地爆發(fā)一種禽流感}, Bi={這種禽流感是由i號(hào)致病菌引起的}(i=1,2,3). 由題目知

P(B1)=0.45P(B2)=0.4,P(B3)=0.15.

P(A|B1)=0.9P(A|B2)=0.8,P(A|B3)=0.75

由條件概率公式

而P(B2A)=P(B2)P(A|B2),又根據(jù)全概率公式知

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|P3),

所以可知這種禽流感是2號(hào)致病菌引起的概率為0.38。

3. 在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用。

在經(jīng)濟(jì)決策前，要初步擬定幾個(gè)備選方案，然后對(duì)各個(gè)方案進(jìn)行評(píng)估，最終確定最優(yōu)的方案，以達(dá)到最大化的經(jīng)濟(jì)收益，這是管理決策者要做的事情，全概率公式可以應(yīng)用于對(duì)各種方案的評(píng)價(jià)，幫助做出最后的選擇。對(duì)于此類問題，各種經(jīng)濟(jì)決策方案就是對(duì)總體的一個(gè)劃分，然后再計(jì)算在每種決策的前提下，獲利的可能性。

例3有一家牛奶廠，有三個(gè)奶源地，分別是黑龍江，新疆，西藏。由調(diào)查結(jié)果知這三個(gè)奶源地的合格率分別為0.96，0.94，0.95。三個(gè)奶源地的供奶量占該廠產(chǎn)量的40%，30%，30%。該廠將運(yùn)過來的牛奶集中加工，再出售。一位投資商打算投資該廠，他隨機(jī)抽取了一件牛奶，如果合格率達(dá)到95%就投資，問他最終會(huì)不會(huì)投資？

分析 這題實(shí)際是計(jì)算抽取一件牛奶的合格率，由于抽出合格品的原因是它來自三個(gè)奶源地，所以可以將三個(gè)奶源地構(gòu)成一個(gè)完備事件組，然后由全概率公式可得合格率，再根據(jù)結(jié)果判斷要不要進(jìn)行投資。

解 A={取到的是合格品},B1={抽出的牛奶是黑龍江供的},

B2={抽出的牛奶是新疆供的},B3={抽出的牛奶是西藏供的}.

由條件知

P(A|B1)=0.96,P(A|B2)=0.94，P(A|B3)=0.95.

據(jù)全概率公式可得

所以由計(jì)算結(jié)果可知，該投資商應(yīng)該多考慮考慮。

四結(jié)論

全概率公式能夠有效地解決一些繁瑣的問題。在遇到一些使用一般方法處理十分麻煩且容易出錯(cuò)的多個(gè)復(fù)雜問題時(shí)，如果可以把其中一個(gè)復(fù)雜事件分割成互不相容的幾個(gè)簡(jiǎn)單事件時(shí)，那就可以使用全概率公式。在應(yīng)用時(shí)，需要將樣本空間進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆指?，使原本?fù)雜的問題轉(zhuǎn)變?yōu)閹讉€(gè)個(gè)簡(jiǎn)單事件，再使用條件概率計(jì)算每個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率，最后運(yùn)用加法公式將所有結(jié)果進(jìn)行相加就能得出結(jié)果，這也就是全概率公式的意義所在。

參考文獻(xiàn)

[1]茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2004：38-50.

[2]杜鎮(zhèn)中.全概率公式及其應(yīng)用[J].遵義師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，7 (5)：76-78.

[3]張麗，閆善文，劉亞東.全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用及推廣[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005(1)：15-17.

[4]顧曉青.全概率公式的應(yīng)用[J].滄州師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2000，16(2)：42-43.

[5]王妍.概率統(tǒng)計(jì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用舉例[J].中國(guó)傳媒大學(xué)學(xué)報(bào)自然學(xué)版，2007,14(1)：15-19.

Applications of the Total Probability Formula

Yang Bo

(School of Mathematics and Statistics, Fuyang Teachers College, Fuyang, Anhui 236041，China)

Key words：total probability formulas; complete event group；complex event; simple event

Class No.:O211.1Document Mark：A

(責(zé)任編輯：蔡雪嵐)