杜世俊(1950-),男,安徽合肥人,博士,中國(guó)科學(xué)院等離子體物理研究所教授, 博士生導(dǎo)師.

CFETR中心螺線管模型線圈磁場(chǎng)及電磁載荷計(jì)算

季峰,杜世俊,劉小剛,王兆亮

(中國(guó)科學(xué)院 等離子體物理研究所,安徽 合肥230031)

摘要:中國(guó)聚變工程實(shí)驗(yàn)堆的中心螺線管模型線圈由Nb3Sn、NbTi混合超導(dǎo)磁體組成,在初始設(shè)計(jì)階段,需要進(jìn)行大量的探索計(jì)算以獲得設(shè)計(jì)方案。文章基于微元疊加法原理,利用Matlab的向量化編程,提出了一種可修改性強(qiáng)、計(jì)算時(shí)間短的磁場(chǎng)計(jì)算方法,并將計(jì)算結(jié)果與有限元法進(jìn)行對(duì)比,證實(shí)了本方法是可行的,并提高了設(shè)計(jì)效率,同時(shí)給出了線圈電磁載荷的分布情況。

關(guān)鍵詞:中國(guó)聚變工程實(shí)驗(yàn)堆;中心螺線管;磁場(chǎng)計(jì)算;微元法;電磁載荷

基金項(xiàng)目：國(guó)家973計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014GB105002)

作者簡(jiǎn)介：季峰(1989-),男,江蘇泰興人,中國(guó)科學(xué)院等離子體物理研究所碩士生;

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2015.06.014

中圖分類號(hào):TM551文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

收稿日期：2014-05-14；修回日期：2015-06-10

MagneticfieldandelectromagneticloadcalculationforCFETRcentralsolenoidmodelcoil

JIFeng,DUShi-jun,LIUXiao-gang,WANGZhao-liang

(InstituteofPlasmaPhysics,ChineseAcademyofSciences,Hefei230031,China)

Abstract:Thecentralsolenoid(CS)modelcoilofChinaFusionEngineeringTestReactor(CFETR)ismadeupofNb3Sn and NbTi hybrid superconducting magnet. At the beginning of design, large amounts of exploratory calculation are essential to get the optimal plan. Based on the infinitesimal method, a new method for calculating the magnetic field is presented using the vectorized programming by Matlab. This program is changeable and can make the calculating speed much faster. The result of this method is compared with the FEM, which proves that this method is feasible and can improve the efficiency of the design. The electromagnetic load distribution is also given.

Keywords:ChinaFusionEngineeringTestReactor(CFETR);centralsolenoid(CS);magneticfieldcalculation;infinitesimalmethod;electromagneticload

中國(guó)聚變工程實(shí)驗(yàn)堆(ChinaFusionEngineeringTestReactor,CFETR)是我國(guó)即將開展的類ITER聚變工程試驗(yàn)堆[1]。裝置運(yùn)行時(shí)等離子體所需的伏秒數(shù)主要由中心螺線管(CentralSolenoid,CS)線圈提供,因此CS線圈的設(shè)計(jì)尤為重要。由于CFETR采用大型低溫超導(dǎo)CS線圈,國(guó)內(nèi)尚不具備相關(guān)制造經(jīng)驗(yàn),因此需要首先設(shè)計(jì)、制造一個(gè)模型線圈以積累經(jīng)驗(yàn)，并對(duì)其性能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。

CFETR的CS模型線圈正常工作時(shí)背景磁場(chǎng)最高達(dá)12T,最大磁場(chǎng)變化率為1.5T/s。常規(guī)的NbTi超導(dǎo)線在4.2K溫度下的臨界磁場(chǎng)約為11T,無(wú)法滿足要求,因此選用在此溫度下臨界磁場(chǎng)為20T的Nb3Sn超導(dǎo)線[2]?？紤]到Nb3Sn線的造價(jià)約為NbTi的5倍,因此在線圈外圍磁場(chǎng)較低處仍然使用NbTi超導(dǎo)線。在此條件下,CS模型線圈采用混合導(dǎo)體模式,內(nèi)外線圈分別由Nb3Sn、NbTi導(dǎo)體繞制而成,2種導(dǎo)體均為導(dǎo)管內(nèi)多級(jí)絞纜導(dǎo)體,即CICC(Cable-In-Conduit Conductor)導(dǎo)體[3]。

本文基于微元法提出了分析雙層超導(dǎo)線圈周圍磁場(chǎng)分布的方法,并與Ansoft有限元仿真結(jié)果進(jìn)行了比較,說(shuō)明了該方法的優(yōu)點(diǎn),并根據(jù)計(jì)算所得磁場(chǎng)給出了電磁載荷的分布。

1CS線圈設(shè)計(jì)要求及模型

CS模型線圈采用的Nb3Sn和NbTi單根導(dǎo)體均為內(nèi)圓外方的CICC導(dǎo)體,其尺寸分別為492×φ32.6和51.92×φ35.3[4-5]。

CS模型線圈的初步設(shè)計(jì)要求是在最大運(yùn)行電流小于50kA的條件下產(chǎn)生最大值12T的磁感應(yīng)強(qiáng)度。Nb3Sn線材需要經(jīng)過(guò)熱處理才能形成超導(dǎo)相,而中科院強(qiáng)磁場(chǎng)中心的熱處理爐的溫度均勻區(qū)外半徑是1 m,這就要求Nb3Sn線圈外半徑小于1 m。NbTi則不需要熱處理,但是其超導(dǎo)臨界磁場(chǎng)較低,在考慮足夠的安全裕度的情況下,要求其背景磁場(chǎng)小于6 T。

經(jīng)過(guò)大量的試探性計(jì)算和分析后,磁體的初步設(shè)計(jì)模型如圖1所示,表1所列為內(nèi)外線圈的主要結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù),內(nèi)外線圈運(yùn)行電流均為49kA。

圖1　 CS模型線圈

線 圈徑向?qū)訑?shù)×軸向匝數(shù)內(nèi)半徑/mm外半徑/mm線圈高度/mmNb3Sn內(nèi)線圈7×28600.0955.01480.0NbTi外線圈10×22989.01526.01225.8

2磁場(chǎng)計(jì)算方法及結(jié)果

2.1　微元法計(jì)算圓環(huán)電流磁場(chǎng)原理

線圈模型軸對(duì)稱,因此可以根據(jù)圓環(huán)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)來(lái)計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度。首先計(jì)算單匝線圈作用下的磁場(chǎng)，如圖2所示。

圖2中，假設(shè)線圈與xoy平面平行,圓心位于z軸上O′點(diǎn),半徑為r0,電流為I。根據(jù)軸對(duì)稱可知空間中任意處磁場(chǎng)與其環(huán)向角無(wú)關(guān),且磁場(chǎng)的環(huán)向分量Bθ為0,因此不妨取xoz平面內(nèi)點(diǎn)P(x,0,z)。以線圈圓心角θ為變量,則線圈上任意源點(diǎn)P′(x0,y0,z0)處的電流元可表示為:

Idl=(Ir0dθ)eθ=

P′點(diǎn)坐標(biāo)亦可用θ的函數(shù)P′(r0cosθ,r0sinθ,z0)來(lái)表示。

圖2　圓環(huán)電流在空間產(chǎn)生磁場(chǎng)計(jì)算示意圖

對(duì)于空間中任意場(chǎng)點(diǎn)P(x,0,z),源點(diǎn)與其之間的方向矢量為r=(x-x0)ex-y0ey+(z-z0)ez,根據(jù)畢奧-沙伐定律[6],源點(diǎn)在場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為:

(1)

將(1)式展開可得:

(2)

其中r=[(x-r0cosθ)2+(r0sinθ)2+(z-z0)2]1/2。

對(duì)于xoz平面內(nèi)任意點(diǎn)磁場(chǎng),在Bθ=0時(shí),將直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為柱坐標(biāo)系有Bx=Br、By=0、Bz=Bz。因此對(duì)(2)式中dBx、dBz積分可求得P點(diǎn)Br、Bz,進(jìn)而求出P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)。在Matlab中,為避免積分帶來(lái)的大量的計(jì)算量,用微元疊加法來(lái)代替積分計(jì)算。取dθ=2π/180為步長(zhǎng),在[dθ,2π]區(qū)間上對(duì)(2)式進(jìn)行疊加:

(3)

同理,進(jìn)行合適的網(wǎng)格劃分后,即可得出場(chǎng)域內(nèi)的磁場(chǎng)分布、最大磁場(chǎng)及其位置,以及測(cè)試NbTi區(qū)的磁場(chǎng)是否超過(guò)設(shè)計(jì)要求。

2.2　計(jì)算過(guò)程及結(jié)果

在設(shè)計(jì)過(guò)程中,為了達(dá)到12T的最大磁場(chǎng),同時(shí)使用最少的Nb3Sn導(dǎo)體,并使得NbTi線圈背景磁場(chǎng)小于6T,需要不斷地修改內(nèi)外線圈的匝數(shù)、層數(shù)以及內(nèi)徑,因此對(duì)程序的易修改性和計(jì)算速度要求比較高,本文盡可能多地利用Matlab數(shù)組/矩陣運(yùn)算指令代替包含標(biāo)量運(yùn)算表達(dá)式的循環(huán)體,提高了程序的可讀性和執(zhí)行速度。

由于線圈模型的軸對(duì)稱和上下對(duì)稱特性,取線圈截面的1/2進(jìn)行分析,如圖3所示(單位為mm)，對(duì)圖3中框內(nèi)場(chǎng)域進(jìn)行分析計(jì)算[7-8]。

圖3　 CS模型1/2截面簡(jiǎn)圖

在劃分場(chǎng)點(diǎn)網(wǎng)格時(shí),為了能夠取到磁場(chǎng)最大的點(diǎn),同時(shí)避免場(chǎng)點(diǎn)和電流源點(diǎn)重合發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤,對(duì)線圈單根導(dǎo)管單元?jiǎng)澐址椒ㄈ鐖D4所示。

圖4　單導(dǎo)管網(wǎng)格劃分示意圖

圖4中，4條邊上的場(chǎng)點(diǎn)與相鄰導(dǎo)管共用。在線圈外場(chǎng)域,345mm≤R≤955mm區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格按Nb3Sn網(wǎng)格尺寸劃分,989 mm≤R≤1 797.5mm區(qū)域按NbTi網(wǎng)格尺寸劃分。

將網(wǎng)格劃分后的場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)存入X、Y、Z向量中,根據(jù)(3)式進(jìn)行向量化編程計(jì)算,這樣可以大大減少循環(huán)的次數(shù)。在設(shè)計(jì)更改的過(guò)程中,只需要更改內(nèi)外線圈的匝數(shù)、層數(shù)以及內(nèi)外半徑,網(wǎng)格可以根據(jù)這些輸入量自動(dòng)更改,提高工作效率。

將計(jì)算得出的場(chǎng)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行矩陣變換得出橫截面上磁場(chǎng)等勢(shì)圖如圖5所示,其中整個(gè)場(chǎng)域內(nèi)最大磁場(chǎng)為11.967T,NbTi部分最大磁場(chǎng)為5.925T,符合設(shè)計(jì)要求,計(jì)算時(shí)間為22.5s。圖6所示為磁感應(yīng)強(qiáng)度在不同高度上沿徑向變化曲線以及在不同半徑上沿軸向變化曲線。

圖5　磁場(chǎng)等勢(shì)圖

圖6　微元法磁感應(yīng)強(qiáng)度變化圖

結(jié)合圖5和圖6可以看出,整個(gè)線圈模型背景磁場(chǎng)最大處位于Nb3Sn最內(nèi)層軸向中心處,最小處位于NbTi線圈內(nèi)部。

在徑向上,Nb3Sn區(qū)域的磁場(chǎng)隨著半徑增大逐漸減小;NbTi區(qū)域則是先減小后增大,在各匝線圈作用下,R=1.37m,z=0附近,磁場(chǎng)最小,趨于0。

在軸向,Nb3Sn區(qū)域的磁場(chǎng)隨著線圈高度的增加而逐漸減小,到了非線圈區(qū)域,則急劇減小;NbTi區(qū)域磁場(chǎng)隨著高度增加而增大,并在最內(nèi)層線圈的最高處達(dá)到磁場(chǎng)最大值。

3Ansoft有限元仿真

Ansoft靜磁場(chǎng)求解器中矢量磁位A滿足:

(4)

其中,Az(x,y)為矢量磁位Z軸分量；Jz(x,y)為電流流動(dòng)界面的電流密度；μ為材料的磁導(dǎo)率。將(4)式應(yīng)用到有限元數(shù)值計(jì)算中,可以很容易求得矢量磁位A,通過(guò)B=×A即可求得靜磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度[9]。

在Ansoft中,建立面電流模型進(jìn)行計(jì)算,將每匝導(dǎo)體作為獨(dú)立的面電流源,建立好模型后,在求解域的上下邊界和外邊界施加氣球邊界條件,在內(nèi)側(cè)邊界施加對(duì)稱邊界條件,劃分網(wǎng)格后并求解,結(jié)果如圖7所示。求得Nb3Sn處最大磁場(chǎng)為11.973 T,NbTi處最大磁場(chǎng)為5.938 T。

圖7　Ansoft有限元仿真磁場(chǎng)分布云圖

圖8所示為Ansoft結(jié)果的磁場(chǎng)變化趨勢(shì),圖8中a、b、c、d分別與圖6相對(duì)應(yīng)。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),有限元法和數(shù)值計(jì)算法得出的結(jié)果高度吻合。

圖8　有限元法磁感應(yīng)強(qiáng)度變化圖

4電磁載荷分布

線圈通電后在磁場(chǎng)作用下會(huì)產(chǎn)生電磁力,載流導(dǎo)體dl所受的電磁力為df=Idl×B。由此可知,軸向磁場(chǎng)Bz產(chǎn)生徑向電磁力Fr=BzIl,徑向磁場(chǎng)Bx產(chǎn)生軸向電磁力Fz=BxIl。

根據(jù)前文所得磁場(chǎng)計(jì)算出單位長(zhǎng)度導(dǎo)體所受電磁力分布如圖9所示。

其中數(shù)字為線圈徑向?qū)訑?shù)編號(hào),最內(nèi)層為第1層,以此類推;在描述軸向電磁力時(shí)為了能清楚地顯示曲線趨勢(shì),只畫出了z>0部分線圈所受電磁力,z < 0部分與z> 0部分所受軸向電磁力大小相同,方向相反。

由圖9可以看出,Nb3Sn在最內(nèi)層線圈處所受徑向電磁力Fr最大,該層Fz最大處可達(dá)550kN/m,由內(nèi)層往外層依次減小,在同一層受到的Fr兩端小,中間大;而軸向電磁力Fz分布趨勢(shì)則和Fr相反,由內(nèi)層向外層依次增大,同一層Fz兩端大,中間小。NbTi所受Fz方向在第7層由于Bz方向的改變而隨之變化;Fz從第1層到第3層增大,從第4層開始逐漸減小,第6層和第1層、第5層和第2層、第4層和第3層所受的Fz分別幾乎相等。

圖9　單位長(zhǎng)度導(dǎo)體所受電磁力分布

最大磁場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果見表2所列，通過(guò)分析表2可以看出,基于微元法的數(shù)值算法和Ansoft有限元仿真得出的最大磁場(chǎng)強(qiáng)度結(jié)果基本一致,誤差也幾乎可以忽略。同時(shí)對(duì)比圖7和圖9也可以發(fā)現(xiàn),2種方法得出的磁場(chǎng)分布趨勢(shì)也是一致的。

表2　計(jì)算結(jié)果

5結(jié)論

采用微元法計(jì)算CS模型線圈磁場(chǎng)分布是可行的,相比于Ansoft有限元法,具有很高的可修改性,在設(shè)計(jì)修改過(guò)程中,只需要根據(jù)需要分別修改2層線圈的層數(shù)、匝數(shù)和內(nèi)外半徑即可,同時(shí)該方法具有很快的運(yùn)行速度,只需要約20s即可得出Nb3Sn、NbTi線圈的最大磁場(chǎng)及其分布;而后者則需要重新建立模型、加載、劃分網(wǎng)格等,比較繁瑣而且耗時(shí)較長(zhǎng)。

電磁載荷的給出為線圈磁體的機(jī)械穩(wěn)定性設(shè)計(jì)提供了參考,可防止局部應(yīng)力集中導(dǎo)致的臨界電流密度退化和過(guò)大應(yīng)變導(dǎo)致的磁體失超。

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(責(zé)任編輯何曉雄)