第一作者牛明濤男，碩士，工程師，1986年8月生

含區(qū)間參數(shù)的結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)攝動(dòng)分析方法

牛明濤，李昌盛，陳利源(中國石化石油工程技術(shù)研究院，北京100101)

摘要：針對(duì)實(shí)際工程中普遍存在的結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)，充分考慮系統(tǒng)本身及外載荷不確定性，基于攝動(dòng)理論建立一階及高階參數(shù)攝動(dòng)兩種區(qū)間分析方法。從耦合系統(tǒng)有限元平衡方程出發(fā)，引入?yún)^(qū)間變量對(duì)系統(tǒng)不確定參數(shù)進(jìn)行定量化描述。據(jù)傳統(tǒng)的一階Taylor展式及攝動(dòng)理論，可快速估算系統(tǒng)響應(yīng)區(qū)間上下界。高階區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)分析方法除采用改進(jìn)的Taylor展式對(duì)區(qū)間矩陣、向量近似估算外，亦保留Neumann級(jí)數(shù)中部分高階項(xiàng)，可有效提高響應(yīng)范圍的計(jì)算精度。以長方體密閉艙室為研究對(duì)象，將計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)蒙特卡洛方法對(duì)比，充分驗(yàn)證所提數(shù)值計(jì)算方法求解含區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)-聲耦合問題的可行性、有效性。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)；區(qū)間不確定性；區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)方法；Neumann級(jí)數(shù)

基金項(xiàng)目：中國石化“十二五”重點(diǎn)信息化項(xiàng)目 (G11-MM-2011-080)；中國石化重點(diǎn)科技攻關(guān)項(xiàng)目(P13093)

收稿日期：2014-03-26修改稿收到日期：2014-05-16

中圖分類號(hào):O328；O422.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Perturbation methods for structural-acoustic coupled systems with interval parameters

NIUMing-tao,LIChang-sheng,CHENLi-yuan(Sinopec Research Institute of Petroleum Engineering, Beijing 100101, China)

Abstract:Based on the perturbation theory, two interval analysis methods named first-order interval parameter perturbation method (FIPPM) and high-order interval parameter perturbation method (HIPPM) were proposed for the structural-acoustic coupled system response prediction with interval uncertainties in both system parameters and external loads. The structural-acoustic discrete equilibrium equations were established based on the finite element method. Interval variables were used to quantitatively describe the uncertain parameters with limited information. According to the first-order Taylor series and the first-order perturbation theory, the system response interval could be quickly estimated with FIPPM. HIPPM introduced the modified Taylor series to approximately estimate the non-linear interval matrix and vector. Part of higher order terms of Neumann expansion were retained to calculate the interval matrix inverse. A 3D cuboid model was taken as a study object, its computing results using the propose methods were compared with those using the traditional Monte Carlo method. It was shown that the proposed methods are feasible and effective to predit the sound pressure ranges of structural-acoustic coupled systems.

Key words:structural-acoustic coupled system; interval uncertainty; interval parameter perturbation method; Neumann series

工程設(shè)計(jì)通常希望降低有害振動(dòng)及噪聲幅值以提升系統(tǒng)的安全性、舒適性。而柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)與充滿流體介質(zhì)封閉聲場之間的耦合問題較多見，其聲場內(nèi)部噪聲由結(jié)構(gòu)振動(dòng)引起。若考慮內(nèi)部聲壓對(duì)結(jié)構(gòu)的反作用，該系統(tǒng)稱結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)，在汽車、航空、船舶等工業(yè)領(lǐng)域普遍存在[1]。對(duì)此類系統(tǒng)中、低頻響應(yīng)的數(shù)值分析主要用有限元[2]、邊界元[3]兩種方法對(duì)聲場進(jìn)行離散。工程中，材料物理參數(shù)與邊界條件會(huì)受多種不確定性因素影響，由此引起結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射呈一定程度不確定性。處理此類不確定聲學(xué)問題的常用方法主要源于概率理論，James等[4]通過將不確定參數(shù)定量化，研究確定聲場概率密度函數(shù)的計(jì)算方法。Finette[5]提出隨機(jī)響應(yīng)面方法預(yù)測(cè)海洋不確定環(huán)境下聲場的傳播規(guī)律。Liu等[6]給出基于有限-邊界元方法、虛擬激勵(lì)原理的隨機(jī)結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射靈敏度問題解決方法。

建立概率模型需預(yù)知不確定量的概率密度函數(shù)，而足夠的信息往往預(yù)先難以獲得。相比之下，區(qū)間方法僅需用少量信息確定不確定參數(shù)的上下界，具有較好的方便性、經(jīng)濟(jì)性[7]。與處理區(qū)間問題常用的蒙特卡洛方法[8]、頂點(diǎn)法[9]相比，攝動(dòng)方法[10]憑借其獨(dú)特的計(jì)算效率頗受關(guān)注[11]。隨不確定性定量精細(xì)化發(fā)展趨勢(shì)，傳統(tǒng)攝動(dòng)方法因忽略高階項(xiàng)所致計(jì)算精度問題日益嚴(yán)重。鑒于此，本文以含區(qū)間參數(shù)的結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)為研究對(duì)象，提出改進(jìn)的高階區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)方法，可保留Neumann級(jí)數(shù)中部分高階項(xiàng)。通過數(shù)值算例驗(yàn)證該方法有效性，且能滿足工程對(duì)計(jì)算效率、精度需求。

1結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)有限元方程

針對(duì)圖1結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)，在頻域分析下，內(nèi)部聲場壓強(qiáng)p可由Helmholtz方程表示，即

(1)

據(jù)變分原理，得具有彈性邊界聲場的有限元方程為

(Ka+jωCa-ω2Ma)P=ρω2SUs

(2)

圖1　結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)模型 Fig.1 Model of the coupled structural-acoustic system

充分考慮內(nèi)部聲壓對(duì)結(jié)構(gòu)的反作用，在頻域下結(jié)構(gòu)有限元運(yùn)動(dòng)方程為

(KsjωCs-ω2Ms)Us=Fs+STP

(3)

式中：Ks,Ms,Cs分別為結(jié)構(gòu)剛度、質(zhì)量、阻尼矩陣；Fs為施加于結(jié)構(gòu)的外力。

聯(lián)合式(2)、式(3)，得結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)有限元方程為

(-ω2M+jωC+K)U=F

(4)

式中：

Mcouple=S；Kcouple=-ST

為表示方便，將式(4)記為

AU=F

(5)

式中：

A=-ω2M+jωC+K

(6)

實(shí)際問題中，由于工藝限制及環(huán)境變化等因素，結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)存在大量不確定性。本文引入如區(qū)間向量表示所有不確定參數(shù)，即

(7)

顯然，式(4)中系數(shù)矩陣及右端向量均與此區(qū)間向量相關(guān)聯(lián)。因此，耦合有限元方程(5)可改寫為

A(αI)U(αI)=F(αI)

(8)

A(αI)UI=F(αI)

(9)

2一階區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)分析方法

將式(9)中系數(shù)矩陣及右端向量在區(qū)間參數(shù)中值處進(jìn)行一階Taylor展開，得

(10)

(11)

用中心區(qū)間表示方法將系統(tǒng)響應(yīng)記為UI=Uc+ΔUI，將式(10)、(11)代入式(9)，得

(Ac+ΔAI)(Uc+ΔUI)=Fc+ΔFI

(12)

忽略二階及以上高階小量，利用攝動(dòng)理論得

(13)

考慮矩陣Ac總可逆，故有

Uc=(Ac)-1Fc

(14)

ΔUI=(Ac)-1(ΔFI-ΔAI(Ac)-1Fc)

(15)

將式(10)、(11)代入式(15)，得

ΔUI=

ΔU=

因此，利用一階區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)分析方法獲得結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)區(qū)間響應(yīng)上、下界分別為

(18)

3高階區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)分析方法

區(qū)間不確定參數(shù)變化范圍較大或數(shù)量較多時(shí)，忽略高階項(xiàng)的一階參數(shù)攝動(dòng)方法所致區(qū)間擴(kuò)張問題有時(shí)較嚴(yán)重。為此，基于改進(jìn)的Taylor展式、Neumann級(jí)數(shù)，提出高階區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)分析方法。通過空間近似曲面導(dǎo)軌生成方式[12]獲得(9)系數(shù)矩陣的近似表示

A(αI)=A(α1,α2,…,αm)=

(19)

式中：

(20)

(21)

式中：

(22)

用相同處理方式，區(qū)間參數(shù)向量F(αI)可表示為

(23)

式中：

(24)

將式(21)、(23)代入式(9)，兩邊左乘(Ac+ΔAI)-1得

Uc+ΔUI=(Ac+ΔAI)-1(Fc+ΔFI)

(25)

(Ac+ΔAI)-1=(Ac)-1+

(26)

借助式(22)得

(27)

針對(duì)不同r值，上式可表示為

(28)

將式(27)、(28)代入式(26)，得

(29)

(30)

(31)

(32)

將式(30)代入式(25)，利用攝動(dòng)理論，忽略高階交叉向量，得

(33)

(34)

利用式(24)，將式(34)改寫為

(35)

(36)

利用高階區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)分析方法所得結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)區(qū)間響應(yīng)上、下界分別為

(37)

4數(shù)值算例

圖2　長方體密閉艙室模型 Fig.2 Model of acuboid airtight cabin

考慮圖2的長50 cm、寬40 cm、高60 cm長方體艙室模型，四周由同一種鋁合金材料圍成封閉空間，內(nèi)部充滿空氣介質(zhì)，構(gòu)成結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)。其中艙室頂部為2 mm厚彈性鋁板，其余為剛性壁面。由于材料的初始缺陷，鋁合金密度、彈性模量分別在2 565～2 835 kg/m3及67.5～74.5 GPa范圍變化。因周圍溫度環(huán)境變化，空氣密度、聲速被認(rèn)為區(qū)間不確定參數(shù)，其變化區(qū)間分別為[1.164,1.286] kg/m3，[323,357]m/s。有一簡諧激勵(lì)作用于頂部鋁板中心處，激勵(lì)幅值為[0.95,1.05] N，計(jì)算0～300 Hz頻域范圍聲腔觀測(cè)點(diǎn)的聲壓值。

由傳統(tǒng)蒙特卡洛方法(MCM)的概率收斂特征知，隨樣本的不斷增加，由隨機(jī)抽樣計(jì)算所得響應(yīng)區(qū)間逐漸收斂于真實(shí)解。故本算例中經(jīng)105隨機(jī)抽樣所得聲壓響應(yīng)區(qū)間作為參考解，驗(yàn)證區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)方法精度。利用本文一階區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)分析方法(FIPPM)及高階區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)分析方法(HIPPM)求解含不確定參數(shù)的結(jié)構(gòu)-聲耦合有限元方程，觀測(cè)點(diǎn)聲壓范圍上界(UB)、下界(LB) 及相對(duì)誤差見表1。由表1看出，高階攝動(dòng)方法相對(duì)誤差遠(yuǎn)小于一階攝動(dòng)方法，表明在求矩陣逆過程中，通過保留Neumann展式的部分高階項(xiàng)可有效提高參數(shù)攝動(dòng)方法計(jì)算精度；對(duì)計(jì)算耗時(shí)而言，高階攝動(dòng)方法程序運(yùn)行時(shí)間稍高于一階攝動(dòng)方法，復(fù)雜問題會(huì)更明顯?？紤]高階攝動(dòng)方法對(duì)計(jì)算精度的有效改善，運(yùn)行時(shí)間稍長完全可接受。

表1　聲壓幅值區(qū)間界限及相對(duì)誤差

在0～300 Hz內(nèi)，由三種方法計(jì)算所得聲壓幅值區(qū)間見圖3。與一階攝動(dòng)方法結(jié)果相比，高階攝動(dòng)方法在整個(gè)頻域范圍內(nèi)的頻響區(qū)間均較小。與蒙特卡洛模擬所得參考值相比，高階攝動(dòng)方法仍存在一定區(qū)間擴(kuò)張，但差別較小。精度要求不太高時(shí)，高階攝動(dòng)方法所得結(jié)果完全可信，且可有效減少大量隨機(jī)抽樣所致計(jì)算耗費(fèi)，從而有效提高計(jì)算效率。

圖3　0～300 Hz頻域內(nèi)聲壓幅值范圍 Fig.3 Bounds of the sound pressure amplitude in the frequency band 0～300 Hz

5結(jié)論

(1)兼顧系統(tǒng)自身參數(shù)及外載荷非概率不確定性，利用區(qū)間變量對(duì)不確定參數(shù)定量化，充分考慮彈性結(jié)構(gòu)及內(nèi)部聲場的耦合作用，建立含區(qū)間參數(shù)的結(jié)構(gòu)-聲耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)平衡方程；

(2)將區(qū)間攝動(dòng)理論與有限元計(jì)算方法相結(jié)合，提出快速求解系統(tǒng)響應(yīng)范圍的區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)分析方法。通過采用改進(jìn)的Taylor展式及保留Neumann級(jí)數(shù)中的部分高階項(xiàng)，可有效提高計(jì)算精度；

(3)長方體密閉艙室模型計(jì)算結(jié)果表明，由于在系數(shù)矩陣求逆過程保留了Neumann級(jí)數(shù)的部分高階項(xiàng)，本文所建高階攝動(dòng)方法所得較傳統(tǒng)一階攝動(dòng)方法精度更高的聲壓范圍，可有效減少蒙特卡洛模擬帶來的計(jì)算耗費(fèi)；

(4)本文研究的不確定數(shù)值計(jì)算方法不僅適用于聲場預(yù)測(cè)，亦為不確定結(jié)構(gòu)靜/動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析提供新思路。

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