第一作者李志農(nóng)男，博士，教授，1966年8月生

新非平穩(wěn)信號分析方法—自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核時頻分布

李志農(nóng)，朱明，龍盛蓉(南昌航空大學(xué)無損檢測技術(shù)教育部重點實驗室, 南昌330063)

摘要：據(jù)自適應(yīng)最優(yōu)核設(shè)計準(zhǔn)則，構(gòu)造新的自適應(yīng)徑向墨西哥草帽型核函數(shù)時頻分析方法。該方法能據(jù)分析信號分布自適應(yīng)調(diào)節(jié)核函數(shù)的擴展方向及寬度，使在信號自項方向盡可能延伸，而不在信號自項方向的互項盡可能抑制，能克服傳統(tǒng)時頻分布中固定核函數(shù)缺乏對信號自適應(yīng)能力的不足。給出自適應(yīng)徑向墨西哥草帽型核函數(shù)時頻分布定義及算法，并與傳統(tǒng)的短時傅里葉變換、Wigner-Ville分布及小波變換方法對比分析。仿真結(jié)果表明，所提方法優(yōu)于傳統(tǒng)的時頻分布方法，能更有效處理非平穩(wěn)信號，可獲得較傳統(tǒng)時頻分布分辨率及抗噪更高性能。通過用于轉(zhuǎn)子裂紋故障診斷實驗結(jié)果表明，該方法能有效反映裂紋故障的嚴(yán)重程度。

關(guān)鍵詞：徑向墨西哥草帽核；自適應(yīng)時頻分布；自適應(yīng)優(yōu)化；故障診斷；裂紋轉(zhuǎn)子

基金項目：國家自然科學(xué)基金(51075372，50775208， 51265039);江西省教育廳科技計劃項目(GJJ12405);湖南科技大學(xué)機械設(shè)備健康維護湖南省重點實驗室開放基金(201204) ;江西省研究生創(chuàng)新基金項目(YC2013-S214)

收稿日期：2014-02-08修改稿收到日期：2014-05-23

中圖分類號:TN911;TH165.3;TH17;TP391文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

A new method for non-stationary signal analysis-adaptive radial mexican-hat kernel time-frequency distribution

LIZhi-nong,ZHUMing,LONGSheng-rong(MOE Key Laboratory of Nondestructive Testing, Nanchang Aeronautical University, Nanchang 330063, China)

Abstract:A new adaptive radial Mexican-hat kernel (RMK) time-frequency distribution method was proposed according to the design criteria of adaptive optimal kernel. The characteristic of the proposed method was that RMK could self-adaptively adjust the expansion direction and width of the kernel function according to the distribution of the analyzed signal. The kernel function expanded as far as possible in auto-term direction, and was suppressed as far as possible in cross-term direction to overcome the deficiency of lack of self-adaptability for the fixed kernel function in the traditional time-frequency distribution. Here, the definition and the algorithm of RMK were presented, and the proposed method was compared with the traditional time-frequency distribution, such as, short Fourier transformation, Wigner-Ville distribution and wavelet transformation. The simulation results showed that the proposed method is superior to the traditional time-frequency distribution, it can more effectively be used to process non-stationary signals, and obtain the higher time-frequency resolution and anti-interference performance. Finally, the proposed method was applied in the fault diagnosis of rotor crack. The test results showed that the proposed method is very effective and can reflect the severity of rotor crack fault.

Key words:radial mexican-hat kernel; adaptive time-frequency distribution; adaptive optimization; fault diagnosis; cracked rotor

工程中所得動態(tài)信號往往具有非平穩(wěn)性。由于非平穩(wěn)動態(tài)信號的統(tǒng)計特性與時間有關(guān)，故對其須同時進行時、頻分析[1]。時頻分析能提供頻譜內(nèi)容隨時間變化的信息，為非平穩(wěn)信號分析的有力工具[2]。然而，傳統(tǒng)的短時傅里葉變換、小波變換、Cohen類雙線性時頻分布等分析方法均采用固定的核函數(shù)，對信號缺乏自適應(yīng)性，導(dǎo)致分析結(jié)果往往失去實際物理意義而不能正確提取信號本質(zhì)特征[3-4]。Baraniuk等[5-6]針對雙線性時頻分布中核函數(shù)固定不變、對信號缺乏自適應(yīng)缺點，提出自適應(yīng)優(yōu)化核函數(shù)的設(shè)計準(zhǔn)則，大大增強對非平穩(wěn)信號的處理能力，可據(jù)不同類型信號進行自適應(yīng)處理[7-11]。本文針對固定核缺陷，據(jù)自適應(yīng)優(yōu)化核設(shè)計準(zhǔn)則，提出新的自適應(yīng)墨西哥草帽核時頻分布。該方法能隨信號模糊函數(shù)不同而自適應(yīng)調(diào)節(jié)核的方向，使之與模糊函數(shù)的自項相匹配且最大限度擴展自項方向核函數(shù)，對其它方向進行最大抑制，自項獲得最大保留，交叉項得到較好抑制，時頻分辨率高，亦能較好抑制噪聲。將該方法與傳統(tǒng)時頻分析方法在時頻分辨率及抑制噪聲能力方面進行對比分析，并用于裂紋轉(zhuǎn)子故障特征分析，實驗結(jié)果驗證該方法的有效性。

1自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核時頻分布構(gòu)造

由于直角坐標(biāo)系中傳統(tǒng)二次型時頻分布的核函數(shù)Φ(θ,τ)固定不變，不能隨信號不同而改變，對信號缺乏自適應(yīng)性。為此，本文據(jù)自適應(yīng)最優(yōu)核設(shè)計準(zhǔn)則，構(gòu)造出二維徑向非增低通的墨西哥草帽(Mexican-hat)核函數(shù)，其極坐標(biāo)形式為

(1)

該核函數(shù)為徑向非增低通函數(shù)，隨遠(yuǎn)離原點而光滑下降，引入?yún)?shù)ξ使核函數(shù)通帶與阻帶之前的寬度可調(diào)；亦可據(jù)模糊域中信號的自項方向，自適應(yīng)調(diào)節(jié)核方向與自項方向匹配，盡可能使核在自項方向擴展,其它方向盡量收縮，使信號自項獲得最大的保留，交叉項得到最大抑制；且能較好抑制噪聲。

由式(1)可知，二維徑向函數(shù)是一維擴展函數(shù)的參數(shù)化表示，可將二維函數(shù)的優(yōu)化求解問題轉(zhuǎn)換成一維函數(shù)的優(yōu)化求解問題，優(yōu)化目的簡化為尋找最優(yōu)的一維擴展函數(shù)σ(ψ)。徑向Mexican-hat核函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計準(zhǔn)則在極坐標(biāo)形式下可表示為

(2)

約束條件為

(3)

(4)

式中：AF(r,ψ)為信號模糊函數(shù)極坐標(biāo)形式。

式(3)將核函數(shù)限制為徑向Mexican-hat函數(shù)形式，式(4)中a限制核函數(shù)的能量體積，且直接影響自項的聚集程度及交叉項的抑制程度。因模糊函數(shù)關(guān)于原點對稱，式(3)中σ(ψ)積分范圍可變?yōu)?≤ψ≤π，故對式(4)化簡為

(5)

通過符號積分可得

(6)

式中：

η=[2+ξ2-2ξ-2exp(-ξ)]ξ-3

(7)

所以

(8)

對自適應(yīng)最優(yōu)Mexican-hat核函數(shù)的求解轉(zhuǎn)變?yōu)閮?yōu)化求解問題，即

(9)

約束為式(4)、式(8)。由式(9)可知，要實現(xiàn)最大化，模糊函數(shù)AF(r,ψ)越大，核函數(shù)Φ(θ,τ)越大。然而受a限制，其核函數(shù)能量體積有限。為實現(xiàn)極大化優(yōu)化準(zhǔn)則，核函數(shù)Φ(θ,τ)將盡可能對靠近模糊域原點的自分量方向作遠(yuǎn)的擴展而對遠(yuǎn)離模糊域原點的互分量方向盡可能收縮。參數(shù)a通過控制最優(yōu)核體積決定交叉項抑制程度及自分量聚集程度。文獻(xiàn)[3-4]給出a的選擇原則，即通常情況下取1≤a≤5。a越小對互分量抑制越厲害，但會濾掉一些自分量，使分辨率降低；a越大時頻分辨率越高，但互分量則得不到較好抑制。因此，利用該方法需折中選擇。經(jīng)多次試驗，本文認(rèn)為選a=2最合適。

在所提出算法中需考慮調(diào)節(jié)系數(shù)ω，ξ的選擇。由式(3)知，ω及ξ值對Φ有直接影響，但整個優(yōu)化選擇中a控制著核函數(shù)的能量體積，優(yōu)化時σ2(ψ)初值為式(8)取等號情況。a不變時σ2(ψ)與ω成正比，故其結(jié)果對Φ影響不大。而隨ξ增大核函數(shù)過渡帶變小，形狀亦會發(fā)生一定變化，對時頻分辨率有一定影響。經(jīng)大量試驗對比證明，ω對時頻分布影響不大，本文取ω=0.1。對ξ選擇，取ξ=1時能獲得較好結(jié)果。

自適應(yīng)Mexican-hat核函數(shù)參數(shù)確定后，須進行約束條件下優(yōu)化問題求解。工程應(yīng)用中時頻分布計算總建立在離散化基礎(chǔ)上，因此須對優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)及約束條件離散化。通常，模糊函數(shù)計算及從模糊域到時頻域轉(zhuǎn)換均在直角坐標(biāo)系中進行，可利用快速傅里葉變換實現(xiàn)。而優(yōu)化問題在極坐標(biāo)中計算則更簡便。因此計算過程中涉及兩個坐標(biāo)系的尺度變換。自適應(yīng)徑向Mexican-hat核時頻分布計算步驟如下：

(1)對直角坐標(biāo)系下信號的模糊函數(shù)AF(θ,τ)進行矩形采樣。設(shè)采樣長度為L，采樣間隔為T，則離散模糊函數(shù)為

AFd(m,n)=AF(θ;τ)|θ=mΔθ,τ=mΔτ

(10)

離散模糊函數(shù)表達(dá)式為

AFd(m,n)=

(11)

(2)直角坐標(biāo)系下不便于信號的模糊函數(shù)優(yōu)化，可通過插值轉(zhuǎn)化到極坐標(biāo)下。為便于變換，設(shè)L×L矩形網(wǎng)格寬高比相等，對兩坐標(biāo)系進行尺度轉(zhuǎn)換，令Δτ=Δθ，則

(12)

(13)

r=pΔr,(p=0,1,…,P-1)

ψ=qΔψ,(q=0,1,…,Q-1)

式中：p，q分別為極半徑、極角的采樣點。

獲得離散化模糊函數(shù)極坐標(biāo)形式AFp(p,q)，此時核函數(shù)可表示為

(14)

(3)由上兩步得待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)及約束離散形式

(15)

(16)

由于最優(yōu)核函數(shù)優(yōu)化過程為非線性過程，直接求解計算量非常大，故采用梯度上升迭代算法求其最優(yōu)解σq，令

(17)

迭代式為

σ(k+1)=σ(k)+μ(k)f(k)

(18)

(19)

(20)

為使算法收斂，用歸一化方法使約束條件成立，即

(4)將優(yōu)化的最優(yōu)核函數(shù)σq用插值法轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系中。

(5)在直角坐標(biāo)系中對模糊函數(shù)及最優(yōu)核函數(shù)的乘積進行一次FFT及IFFT，即得最優(yōu)時頻分布。

2性能研究

為驗證自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核時頻分布的有效性，構(gòu)造仿真信號為

(22)

該信號由兩個復(fù)線性調(diào)頻信號之和構(gòu)成，選采樣頻率fs=100 Hz，采樣點數(shù)N=256。其時域波形見圖1(a)，自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核時頻分布見圖1(b)。為對比分析，給出傳統(tǒng)的時頻分析方法所得Wigner-Ville分布、小波變換及短時傅里葉變換的時頻分布，見圖1(c)、(d)、(e)。從時頻分辨率及抗噪能力兩方面考察自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核時頻分布處理非平穩(wěn)信號能力。

2.1時頻分辨率分析

對比圖1各時頻分布結(jié)果可知，對線性調(diào)頻信號，自適應(yīng)墨西哥草帽核時頻分辨率明顯高于小波變換及短時傅里葉變換。Wigner-Ville分布雖分辨率最高，但存在嚴(yán)重的交叉干擾項，而自適應(yīng)墨西哥草帽核時頻分布、小波變換及短時傅里葉變換均不存在交叉項。因此由時頻分辨率及交叉項抑制來看，自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核時頻分布明顯優(yōu)于其它時頻分析方法。此可從理論上對該結(jié)果給出充分解釋。

短時傅里葉變換由于受Heisenberg測不準(zhǔn)原的約束，時間、頻率分辨率不可能同時達(dá)到最佳，且其時頻窗口大小固定不變，缺乏自適應(yīng)性。Wigner-Ville 時頻分布在模糊域中全通，時頻聚集性好，能較好反映信號的時頻特征，但存在遠(yuǎn)大于自項的交叉干擾項，且其時頻分布仍采用固定核函數(shù)。即適合于某種特定類型信號分析的固定核函數(shù)不一定適合其它類型信號分析。況且Wigner-Ville 時頻分布缺乏對信號的自適應(yīng)能力。小波雖具有可調(diào)時頻聚窗口，但存在一定局限，如小波基函數(shù)選擇對非平穩(wěn)信號處理影響較大。故選合適的小波基滿足不同類型信號較困難[12-13]，往往只適用某些類型信號，而對其它類型信號不一定適用，對信號缺乏廣泛地自適應(yīng)性。且小波變換的時移、頻移是固定變化的，只是對時頻平面進行機械的格型分割，因此在小波變換中小波基一經(jīng)選擇，在整個分解、重構(gòu)過程中均無法更改；小波基可能在全局上是最佳的，但對某個局部可能最差，故小波變換不具備自適應(yīng)的信號分解特性。

與傳統(tǒng)短時傅里葉變換、Wigner-Ville分布、小波變換相比，自適應(yīng)墨西哥草帽核時頻分布能據(jù)不同信號模糊函數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)核的擴展方向及寬度，對在信號自項方向盡可能延伸，而對不在信號自項方向的互項盡可能抑制。因此該時頻分布自適應(yīng)性較強。

圖1(f)為信號x(t)對應(yīng)的自適應(yīng)Mexican-hat核等高圖，可見Mexican-hat核能自動隨信號方向擴展，而在其它方向收縮，從而能得到最佳的時頻分辨率。

(a) 信號x(t)的時域波形　　　　　　(b)自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核分布　　　　　　　(c) Wigner-Ville分布

(d) 小波變換　　　　　　　　　　(e) 短時傅里葉變換　　　　　　　　(f) 信號x(t)對應(yīng)的墨西哥草帽核 圖1　信號的時頻分布 Fig.1 The time-frequency distribution of signal

2.2抗噪性分析

自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核在二維平面上為低通核，而低通核有助于減少噪聲敏感度。為驗證該草帽核抑制噪聲的能力，對信號x(t)分別施加不同信噪比(SNR) 的高斯白噪聲進行測試。

分別加入信噪比5 dB、-1 dB的加性高斯白噪聲時自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核時頻分布見圖2、圖3。為對比分析，亦給出相應(yīng)的不同噪聲環(huán)境下傳統(tǒng)Wigner-Ville分布、小波變換及短時傅里葉變換時頻分布。由圖2、圖3可知，Wigner-Ville分布存在嚴(yán)重的噪聲污染，信號特征完全被淹沒，此因信號在模糊域全通；小波變換及短時傅里葉變換時頻圖均存在不同程度的噪聲污染，不能較好分辨信號的時頻特征，且隨噪聲增強，反映信號的時頻特征越模糊。原因為兩種變換采用的固定小波函數(shù)、窗函數(shù)所致，缺乏自適應(yīng)性。而自適應(yīng)墨西哥草帽核時頻分布(圖2(b)、3(b))可清晰看出頻率隨時間線性變化特性，且絕大部分噪聲被抑制。明顯優(yōu)于其它時頻分布，尤其信噪比越低該優(yōu)勢越明顯。其原因為該自適應(yīng)核在二維平面上為低通核，且能隨信號特征朝信號自項方向自動作盡可能延伸，在其它方向盡可能收縮，故噪聲能被盡可能抑制。

從時頻分辨率及抗噪能力兩方面均明顯反映出自適應(yīng)墨西哥草帽核時頻分布在處理非平穩(wěn)信號方面優(yōu)于Wigner-Ville分布、小波變換、短時傅里葉變換。該草帽核時頻分布為優(yōu)秀的自適應(yīng)時頻分析方法。

3實驗研究

為進一步驗證方法的有效性，利用自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核時頻分布對轉(zhuǎn)子裂紋故障進行分析。實驗在Bently轉(zhuǎn)子試驗臺上進行，為分析不同裂紋的自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核時頻分布特性，加工兩根裂紋深度不同的軸，一根裂紋深度為直徑的25%，另一根為直

(a) 信號x(t)染噪后的時域波形,信噪比為5dB(b) 自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核分布(c) Wigner-Ville分布

(d) 小波變換(e) 短時傅里葉變換圖2 各種時頻分布Fig.2Thetime-frequencydistribution

(a) 信號x(t)染噪后的時域波形,信噪比為-1dB(b) 自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核分布(c) Wigner-Ville分布

(d) 連續(xù)小波變換分布(e) 短時傅里葉變換分布圖3 各種時頻分布Fig.3Thetime-frequencydistribution

(a) 深裂紋轉(zhuǎn)子振動信號時域及頻域(b) 自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核分布(c) Wigner-Ville分布

(d) 小波變換(e) 短時傅里葉變換圖4 淺裂紋的時頻分布Fig.4Thetime-frequencyofshallowcrack

(a)深裂紋轉(zhuǎn)子振動信號時域及頻域(b)自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核分布(c)Wigner-Ville分布

(d)小波變換(e)短時傅里葉變換圖5 深裂紋的時頻分布Fig.5Thetime-frequencyofdeepcrack

徑的50%。裂紋軸加工方法為：用線切割機在軸上指定位置切割出給定深度槽，切槽寬度約0.12 mm；在切槽中嵌入厚度0.10 mm金屬片，形成近似開閉裂紋。為防止薄金屬片實驗中脫落，嵌入切槽前在薄金屬片某面涂502膠水與切槽粘牢[14-15]。兩條不同程度裂紋轉(zhuǎn)子振動信號的時域圖、頻譜圖、自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核時頻分布及傳統(tǒng)的Wigner-Ville分布、小波變換、短時傅里葉變換時頻分布分別見圖4、圖5。其中圖4(a)、圖5(a)為不同裂紋深度時的時域圖、頻域圖，可知，頻譜中能看出倍頻信息，但卻看不出信號頻率隨時間變化特征。由圖4(b)、圖5(b)看出，淺裂紋時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核時頻分布的一、二倍頻占主要成分且持續(xù)存在，而隨裂紋深度增加，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)除一、二倍頻等主要成分仍持續(xù)存在外，四、六、八倍等高倍頻成分相繼出現(xiàn)，較一、二倍頻弱，且只在一定時區(qū)內(nèi)存在，與理論分析結(jié)果吻合。由圖4(c)、圖5(c)知，Wigner-Ville分布雖時頻分辨率高但存在嚴(yán)重的交叉干擾項，難以看清時頻特征。由圖4(d)、5(d),4(e)、5(e)知，小波變換及短時傅里葉變換的時頻分辨率均不及本文時頻分布方法。因此，自適應(yīng)徑向墨西哥草帽核時頻分布能有效反映裂紋故障的嚴(yán)重程度。

4結(jié)論

針對傳統(tǒng)時頻分布中固定核函數(shù)缺乏對信號的自適應(yīng)能力的不足，據(jù)自適應(yīng)最優(yōu)核設(shè)計準(zhǔn)則，提出新的自適應(yīng)墨西哥草帽核時頻分布。給出該核函數(shù)的定義、優(yōu)化方法及算法，考察該方法對非平穩(wěn)信號處理能力，并與傳統(tǒng)的Wigner-Ville分布、小波變換、短時傅里葉變換進行對比分析,結(jié)論如下：

(1)所提時頻分布無論對時頻分辨率或噪聲抑制均優(yōu)于傳統(tǒng)的時頻分析方法，因核函數(shù)為二維的徑向非增低通核函數(shù)，且能隨信號特征朝信號自項方向自動盡可能延伸，在其它方向盡可能收縮，交叉項及噪聲被盡可能抑制。

(2)通過進行轉(zhuǎn)子裂紋故障診斷實驗，結(jié)果進一步驗證所提方法的有效性。

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