張銳， 黃晉英， 郎忠寶

（1.中北大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，太原030051；2.晉西集團(tuán)技術(shù)中心，太原030051）

0 引言

時間序列是利用參數(shù)模型對有序的隨機(jī)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，是一種模式識別的時域方法。采用時間序列分析方法，可以避免在振動檢測技術(shù)中因直接加窗所造成的功率泄漏，克服了求取動態(tài)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特性時直接加窗造成的影響［1］?；跁r間序列的齒輪箱模型理論，以其在故障診斷中損傷識別小、降噪、可操作性強(qiáng)等方面有明顯的優(yōu)勢，在實(shí)踐和理論研究方面都有著極大潛力，因此近年來得到迅速的發(fā)展和完善［2］。

1998年，譚洪舟［3］提出一種對非高斯非最小相位ARMA模型的階p、q及相應(yīng)參數(shù)的盲辨識算法，僅利用輸出信號的三階累積量來確定模型的階數(shù)和系數(shù)。并對火車車輪軸承的磨損振動信號進(jìn)行建模，驗(yàn)證了算法的有效性。2002年，李志農(nóng)［4］研究了基于時間序列模型的盲系統(tǒng)辨識的參數(shù)化雙譜分析，并將此方法應(yīng)用到對轉(zhuǎn)子裂紋位置、深度的確定上，通過實(shí)驗(yàn)表明，參數(shù)化雙譜分析的方法是有效的，為機(jī)械故障診斷提供了一些有價(jià)值的結(jié)論。Ming Yang［5］等針對恒定負(fù)載下齒輪箱的診斷提出變化的負(fù)載和變化的速度情況下的齒輪箱故障診斷，使用ARX模型估計(jì)時域同步平均的振動數(shù)據(jù)，可以檢測齒輪損傷及局部損傷。

1 時間序列模型的建立

對于一個單輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)，設(shè)其輸入為x（t），m個輸出用yi（t）表示，系統(tǒng)輸入到m個輸出的脈沖響應(yīng)函數(shù)用hi（t）來表示，則系統(tǒng)模型可表示為

式中：*表示卷積，ni（t）為均值為零的加性噪聲。只要辨識出每個傳輸通道的hi（t），即可通過系統(tǒng)特性參數(shù)進(jìn)行故障診斷。hi（t）可通過時間序列建模的方式獲得。

設(shè)系統(tǒng)輸入的采樣序列用x（n）表示，其輸出為采樣序列用y（n）表示，則其ARMA模型可表示為

式中：等式右端第一項(xiàng)稱為自回歸部分（AR），a（k）（k=1，2，…，p）稱為自回歸系數(shù)，p為自回歸部分的階次，代表了被辨識系統(tǒng)的階次；等式右端第二項(xiàng)稱為滑動平均部分（MA），b（k）（k=1，2，…，q）為滑動平均系數(shù)，q 為滑動平均部分的階次；ε（k）為觀測噪聲，與輸入是相互獨(dú)立的。

ARMA模型盲辨識基本的思路是利用代價(jià)函數(shù)確定ARMA模型的階次，遞推或采用某種優(yōu)化算法確定其模型系數(shù)。工程上常采用FPE準(zhǔn)則、AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則來對齒輪箱狀態(tài)模型進(jìn)行定階［6］。模型的參數(shù)估計(jì)最常用的是最小二乘法、最大似然估計(jì)，高階累積量法，其中，利用高階累積量估計(jì)ARMA模型的參數(shù)具有抑制高斯噪聲的特性。首先基于三階累積量矩陣的奇異值確定AR的階數(shù)，利用累積量的切片法確定系數(shù)，在得到模型AR參數(shù)后，然后得到?jīng)_擊響應(yīng)的估計(jì)h（n），再由此推出MA參數(shù)的估計(jì)值b（n），從而可以計(jì)算出模型的參數(shù)。

2 ARMA模型仿真

利用MATLAB模擬產(chǎn)生ARMA序列，參數(shù)設(shè)置分別為：數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為1024；數(shù)據(jù)維數(shù)為1；AR參數(shù)向量為［1-1.50.8］；MA 參數(shù)向量為［1］；輸入信號種類為‘exp'；噪聲方差為0.01；噪聲的概率分布類型是‘nor'。

產(chǎn)生的序列經(jīng)過預(yù)處理后，使用上節(jié)中的方法估計(jì)模型的階數(shù)，通常采用先估計(jì)AR模型的階數(shù)再估計(jì)MA模型的階數(shù)的方式。三階累積量的奇異值、FPE準(zhǔn)則、AIC準(zhǔn)則、BIC準(zhǔn)則的定階曲線如下，三階累積量的奇異值法模型階數(shù)在最大值處取得，其余三種在最小值處取得，從圖1中可看出，4種方式都可估計(jì)出階數(shù)為2。

4種方式確定的模型的AR階數(shù)為2，與真實(shí)的階數(shù)一致。分別采用基于三階累積量的殘余時間序列法、基于三階累積量的q切片法、Burg法估計(jì)模型參數(shù)。結(jié)果表明基于累積量的參數(shù)確定方法效果優(yōu)于Burg法。

圖1 定階曲線

3 齒輪箱的ARMA模型

本次實(shí)驗(yàn)在實(shí)驗(yàn)室的齒輪箱故障診斷實(shí)驗(yàn)臺上對某二級齒輪箱進(jìn)行布點(diǎn)測試，并且選用LMS公司的LMS Test.Lab測試系統(tǒng)對齒輪箱的振動信號進(jìn)行采集和簡單后處理。實(shí)驗(yàn)設(shè)備包括三向加速度傳感器及LMS信號采集分析儀等。本次實(shí)驗(yàn)選擇在齒輪箱的敏感振動部位布設(shè)8個傳感器，分別布置在靠近輸入軸一側(cè)的軸承座處的箱體上，測試方向?yàn)榇怪毕蛏?。傳感器在箱體表面的布測編號按從左到右從上到下的順序。

建立輸入到各測點(diǎn)的ARMA模型，將多自由度分解成若干個單自由度系統(tǒng)，該系統(tǒng)的通用模型采用式（2）描述的模型。圖2為齒輪箱在正常工況與斷齒工況下四測點(diǎn)的定階曲線，根據(jù)實(shí)際計(jì)算結(jié)果和其它測點(diǎn)的計(jì)算情況，確定齒輪箱ARMA模型AR部分的階次為10階，MA部分的階次為1階。對齒輪箱的ARMA模型進(jìn)行盲辨識，提取AR子模型的系數(shù)作為特征參量，在辨識過程中，把多輸入多輸出系統(tǒng)簡化成8個單輸入單輸出系統(tǒng)，分別辨識基于8個測點(diǎn)輸出信號的模型參數(shù)，表2列出了正常工況與故障工況下測點(diǎn)4模型的辨識結(jié)果，該模型數(shù)據(jù)的輸入軸轉(zhuǎn)速為1200 r/min。

表2 AR子模型系數(shù)

盲系統(tǒng)辨識是僅僅根據(jù)系統(tǒng)的輸出來獲得特性函數(shù)的一種信號處理方法。分析了基于時間序列的盲系統(tǒng)辨識方法與特征提取方法，并且對ARMA模型系統(tǒng)盲辨識進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果表明基于累積量的方法的有效性。齒輪箱振動信號的ARMA模型系數(shù)計(jì)算結(jié)果表明，利用時間序列所建立的系統(tǒng)模型的參數(shù)能較好地反映各種故障的變化，也進(jìn)一步證明了結(jié)構(gòu)發(fā)生故障時系統(tǒng)特性的變化與故障之間具有一定的對應(yīng)關(guān)系。

［1］ 夏瑞花.基于時間序列分析的滾動軸承的故障診斷［D］.烏魯木齊：新疆大學(xué)，2006.

［2］ R.G.Gan An Extended FFT Algorithm for ARMA Spectral Estimation.IEEE Trans ASSP，2002，32(1)：862-870.

［3］ 黃建洪，陳致偉，傅戈雁.時間序列預(yù)測模型的建模方法與應(yīng)用［J］.機(jī)械制造，2007，45（11）：1-3

［4］ 李志農(nóng).時序模型盲辨識在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷中的應(yīng)用研究［D］.杭州：浙江大學(xué)，2002.

［5］ 曹學(xué)巖.基于量子優(yōu)化和ARMA模型的齒輪箱故障診斷研究［D］.太原：中北大學(xué)，2014.

［6］ 傅志方，華宏星.模態(tài)分析理論與應(yīng)用［M］.上海：上海交通大學(xué)出版社，2002：25-26.