徐一紅，祝長生，趙耀培

(1.山東管理學(xué)院 機(jī)電學(xué)院，濟(jì)南 250100;2.山東科技大學(xué) 機(jī)電工程系，山東 青島 266590)

1 引言

微弱信號檢測廣泛應(yīng)用于通信、醫(yī)學(xué)、導(dǎo)航和電子技術(shù)等領(lǐng)域，并且在信號處理方面一直是研究的熱點和難點。鎖定放大器(Lock－In Amplifier)作為微弱信號檢測領(lǐng)域的一種有效方法，能夠很好地解決噪聲干擾問題。國內(nèi)外早期進(jìn)行的研究主要針對模擬型鎖定放大器，但這種放大器通常會受到來自模擬器件的限制，造成在積分上時間較短、頻率相同等不容易克服的困難［1］。數(shù)字式鎖定放大器相對于模擬鎖定放大器來說，克服了許多缺陷，在功能上有了一定的提升:可靈活定制，處理能力強(qiáng)，數(shù)據(jù)吞吐率大。數(shù)字式鎖定放大器已成為鎖定放大器的主流［2］。

在不同類型的鎖定放大器層出不窮的背景下，許多國內(nèi)外研究人員也研究了不同的算法用于微弱信號的鎖定。趙玲等［2］實現(xiàn)了頻率自動跟蹤的數(shù)字鎖定放大器，數(shù)字鎖定放大器的處理信號能力逐步加強(qiáng);王坤朋等［3］采用盲源分離算法將信號與噪聲分離;蔣世文等［4］用稀疏分解算法進(jìn)行信號檢測;劉寅等［5］用空間譜估計算法進(jìn)行了研究，提出一種利用信號子空間信息的ESPRIT 匹配追蹤算法。在現(xiàn)有的研究中，在微弱信號檢測算法運用到數(shù)字鎖定放大器時，主要存在運算復(fù)雜度過高、頻率檢測精度不高的問題［6－7］。本文研究內(nèi)容主要集中在優(yōu)化頻率搜索算法的基礎(chǔ)上，提高信號檢測的頻率精度。非線性(Non－Linear，NL)科學(xué)快速發(fā)展，李月等［8－9］用混沌振子對微弱周期信號敏感的特性，將其運用到微弱信號檢測。胥小波等［10］用混沌振子改進(jìn)了粒子群算法，提高了檢測搜索的效率。由于非線性檢測的原理機(jī)制完全不同于傳統(tǒng)的信號檢測方法，如今的通信設(shè)備所存在的弊端利用非線性系統(tǒng)可能迎刃而解。所以基于非線性方法的復(fù)雜調(diào)制信號的信號檢測技術(shù)急需實現(xiàn)，彌補(bǔ)現(xiàn)有通信傳輸技術(shù)的不足。本文將非線性方法應(yīng)用到數(shù)字鎖定放大器中，進(jìn)一步提升數(shù)字鎖定放大器的性能。

2 數(shù)字鎖定放大器的整體設(shè)計

數(shù)字鎖定放大器主要由信號通道、參考通道、相敏檢測器和低通濾波器四部分組成，其原理如圖1所示。

圖1 鎖定放大器原理圖Fig.1 The principle diagram of the lock－in amplifier

鎖定放大器利用參考輸入信號與有用信號存在相關(guān)性，從而進(jìn)行相干檢測，其中互相關(guān)運算是通過其內(nèi)部結(jié)構(gòu)中的相干檢測和低通濾波來實現(xiàn)，輸入信號中的噪聲部分與參考信號互不相關(guān)而得到抑制。

數(shù)字鎖定放大器在搜索信號過程中采用了稀疏分解算法，實現(xiàn)了信號的自動捕獲。根據(jù)稀疏分解算法的思想，在參考信號部分建立了原子庫。由于正弦函數(shù)信號相位偏移不可預(yù)測，正交雙路放大器避免相位因素的干擾，式(1)、式(2)表示正余弦雙原子的數(shù)學(xué)模型:

式中，t 為時間，f0為頻率值，g 為正余弦雙原子。

在匹配運算的過程中，每次在選擇最優(yōu)原子時，按照式(3)進(jìn)行分解:

在求得一對最佳的原子后，按照式(4)重新組建新的合成原子:

合成原子的頻率取最佳原子的頻率，而合成原子相位的正切值是正余弦原子相干運算的比值。將最佳匹配后的殘余分量繼續(xù)進(jìn)行匹配搜索次優(yōu)原子。根據(jù)式(5)的信號由原子重新組合而成:

最終將信號分解為n 次最佳原子的分量之和的形式。數(shù)字鎖定放大器處理信號的過程如圖2 所示，將稀疏分解算法運用到鎖定放大器，參考輸入信號使用稀疏分解算法中原子庫的原子，運用匹配追蹤算法檢測出有用信號。

圖2 鎖定放大器處理信號流程圖Fig.2 Lock－in amplifier signal processing flow

采用稀疏分解算法實現(xiàn)的數(shù)字鎖定放大器可以實現(xiàn)信號的自動捕獲跟蹤，但是稀疏分解算法的計算復(fù)雜度隨著原子庫的規(guī)模增加而增加［11－12］。對信號的搜索精度要求提高時，計算復(fù)雜度將成倍增加。針對以上特點，我們提出運用非線性方法對鎖定放大器的搜索過程進(jìn)行改進(jìn)，在不增加計算復(fù)雜度的情況下增加鎖定放大器的搜索精度。

3 基于混沌振子微弱信號檢測算法

針對Duffing 振子對微弱信號具有敏感性的特點，采用非線性系統(tǒng)進(jìn)行信號檢測時，Duffing 振子的一般形式為［8］

式中，k 為阻尼比，－ x+x3為非線性恢復(fù)力，Acos (ωt)為周期策動力，ω 為周期策動力的頻率。

將阻尼比k 設(shè)為固定值，周期策動力的幅值能夠控制Duffing 振子系統(tǒng)的狀態(tài):調(diào)節(jié)A 的取值使系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);增加A 的數(shù)值，當(dāng)超過閾值A(chǔ)d時，系統(tǒng)以周期策動力的頻率包圍所有鞍點和焦點進(jìn)行大尺度的周期振蕩［9］。調(diào)節(jié)周期策動力幅值A(chǔ)，使A=Ad，此時系統(tǒng)處于混沌臨界狀態(tài)，將同頻率的待測微弱正弦信號Accos(ωt+φ)加入系統(tǒng)式(7)中的總周期策動力變?yōu)?/p>

系統(tǒng)對周期策動力幅度敏感，總周期策動力是內(nèi)置策動力和輸入信號的矢量和。圖3 表示周期策動力的矢量疊加過程，圖中向量AB表示內(nèi)置周期策動力，向量BC表示輸入信號，AC是它們的矢量和，代表總的周期策動力。令lAB=lAD，那么長度d 為總的周期策動力幅值增加量，由于γ 遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于α，∠1趨近于零，∠2 趨近于直角，∠θ 等于∠θ'，幅值增加量d=α·cosθ'≈α·cosθ。

圖3 周期策動力矢量圖Fig.3 Cycle power vector diagram

Duffing 振子系統(tǒng)的狀態(tài)受周期策動力的控制，當(dāng)策動力增大到相態(tài)變化的閾值時，周期策動力的微小變化都可以使混沌振子系統(tǒng)發(fā)生相變。利用這一特性，可以在強(qiáng)噪聲背景下檢測微弱信號的存在。

4 基于聯(lián)合方法的信號檢測算法

圖4 聯(lián)合檢測系統(tǒng)Fig.4 Joint detection system

檢測方法描述如下:將微弱信號輸入基于稀疏分解理論改進(jìn)的數(shù)字鎖定放大器，此時的數(shù)字鎖定放大器檢測信號的精確度不高，只能檢測出精度較低的頻率參數(shù)ω，產(chǎn)生頻率偏差Δω，頻率偏差達(dá)到1 Hz，不能夠滿足微弱信號的檢測精度要求，因此提出將混沌系統(tǒng)應(yīng)用至鎖定放大器中的辦法，以提高檢測精度。

設(shè)計適合微弱信號的混沌系統(tǒng):檢測出的頻率ω 作為混沌系統(tǒng)的內(nèi)置周期策動力頻率，此時系統(tǒng)的內(nèi)置策動力為Acosωt。

檢測信號作為外部對系統(tǒng)疊加的驅(qū)動力輸入到混沌檢測系統(tǒng)，表示為Bcos [(ω+Δω)t+φ ]。

總周期策動力表示為

對外加的周期策動力按式(11)進(jìn)行變換:

式中，頻偏分量轉(zhuǎn)移到相位部分，即θ'=θ+Δωt。

當(dāng)A ＞＞B 時:

除了改善生態(tài)環(huán)境、塑造綠帶景觀外,環(huán)城綠帶植物群落的功能也需隨著城市更新而不斷豐富和完善。上海市綠化局牽頭研究編輯的《上海市綠道專項規(guī)劃》[4]中提到計劃在2020年于環(huán)城綠帶百米林帶內(nèi)建設(shè)綠道,供市民進(jìn)行日?；顒?。近年來,人們休閑娛樂需求日益增長,環(huán)城綠帶百米林帶因其區(qū)位條件好、消費成本低、交通便捷,將成為居民日常休閑活動的最佳去處[5]。然而目前針對上海環(huán)城綠帶植物群落的研究中,尚缺乏對于植物群落與游憩的相關(guān)研究。

式中，策動力的幅度值受時間t 影響，隨著時間的推移出現(xiàn)周期性變化:

(1)(2πK－π/2)＜ (θ+Δωt)≤ (2πK+π/2)時，微弱信號使混沌系統(tǒng)的周期策動力變大;

(2)(2πK+π/2)＜ (θ+Δωt)≤(2πK+3π/2)時，微弱信號使混沌系統(tǒng)的周期策動力變小。

混沌系統(tǒng)的策動力隨著時間變化，當(dāng)策動力沒有達(dá)到系統(tǒng)變化的閾值A(chǔ)d時，系統(tǒng)處于混沌態(tài)，而當(dāng)策動力超過了閾值A(chǔ)d時，系統(tǒng)進(jìn)入周期態(tài)，由此產(chǎn)生間歇性混沌運動。間歇性混沌運動的變化周期是ΔT=2π/Δω。采用混沌系統(tǒng)檢測信號的頻率差也是在于提高頻率的精度值，頻率差值越小，間歇性混沌運動越容易測量。改進(jìn)后的鎖定放大器通過測量間歇性混沌現(xiàn)象的周期，最終檢測出信號的精確頻率值。

5 實驗驗證

為了驗證基于稀疏分解算法的鎖定放大器，對比不同頻率精度的信號在鎖定放大器中的檢測性能。設(shè)定待檢測的微弱信號為

式中，n0表示噪聲，t 表示時間，f 表示信號頻率。

f 分別設(shè)定為49.9 Hz、49.95 Hz、50 Hz 3 組值，代表a、b、c 3 種信號。信噪比為－20 dB，鎖定放大器中稀疏分解原子庫的頻率范圍設(shè)定為1 Hz～1 MHz，步長為1 Hz。

采樣點為5000 點時，輸入3 種信號至鎖定放大器，鎖定放大器輸出稀疏分解系數(shù)。圖5(a)的首輪分解系數(shù)為30.9，次輪分解系數(shù)為4.8，首輪稀疏分解系數(shù)遠(yuǎn)高于次輪稀疏分解系數(shù)，首次稀疏分解檢測到頻率為50 Hz。

圖5(a)、(b)、(c)的首輪稀疏分解系數(shù)分別為30.9、79.6、89.4，對檢測3 種信號的分解系數(shù)陡降程度排序為c、b、a?？梢钥闯觯羰擎i定放大器檢測到的信號頻率存在差值，稀疏分解系數(shù)會隨頻率差值的增大而降低。

圖5 鎖定放大器的分解系數(shù)Fig.5 The decomposition coefficient of lock－in amplifier

為了驗證改進(jìn)后的鎖定放大器的性能，將信號信號a、b、c 輸入混沌系統(tǒng)進(jìn)行精確檢測，混沌系統(tǒng)內(nèi)置驅(qū)動力為50 Hz。由圖6(c)可知，c 信號的混沌系統(tǒng)一直處于大尺度周期狀態(tài)，證明沒有產(chǎn)生頻偏。由圖7(a)、(b)可知，a、b 信號的混沌系統(tǒng)處于間歇性混沌狀態(tài)。對輸出信號進(jìn)行功率譜熵值計算，由圖8(a)可知，a 信號的間歇性混沌狀態(tài)周期是10 s，得出a 信號頻率偏差為0.1 Hz，待測信號a 的頻率是50 ±0.1 Hz。由圖8(b)可知，b 信號的間歇性混沌狀態(tài)出現(xiàn)周期是20 s，b 信號頻率偏差為0.05 Hz，待測信號b 的頻率是50 ±0.05 Hz。再將這兩種頻率的正弦波與待測信號做相干計算進(jìn)行比較，得出a 信號的頻率是49.9 Hz，b 信號的頻率是49.95 Hz。

圖6 混沌系統(tǒng)輸出相圖Fig.6 Chaotic system output phase diagram

圖7 混沌系統(tǒng)輸出時域圖Fig.7 The time domain output diagram of chaotic system

圖8 混沌系統(tǒng)的熵值判決Fig.8 The entropy value judgement of the chaotic system

針對目前的研究，文獻(xiàn)［2－5］分析了鎖定放大器中頻率跟蹤的精度，其中文獻(xiàn)［2］最具代表性。文獻(xiàn)［2］設(shè)計了一種基于LabVIEW 開發(fā)平臺的虛擬數(shù)字鎖定放大器，引入自動頻率跟蹤模塊大大降低了待測信號與參考信號頻率的失配程度。在不計算法復(fù)雜度的情況下以及信號的信噪比為－20 dB的相同條件下，在1 kHz時的頻率跟蹤的最大跟蹤誤差達(dá)到0.02%，基于混沌陣子和稀疏分解聯(lián)合算法的微弱信號檢測算法的頻率跟蹤精度為0.05 Hz，經(jīng)過換算跟蹤精度在一個數(shù)量級上，相比文獻(xiàn)［2］性能相當(dāng)。但是，文獻(xiàn)［2］的采樣點數(shù)設(shè)置20 000，相比本文的5000 采樣點數(shù)，其檢測精度會有所下降，因此在跟蹤精度上本文算法具有一定的優(yōu)勢;并且在信噪比更低的情況下，本文算法仍具有較高的跟蹤精度，如表1 所示，而文獻(xiàn)［2］中并沒有進(jìn)一步論述。

為了驗證改進(jìn)后鎖定放大器的可靠性，將信號a 的信噪比從－20 dB降到－35 dB，進(jìn)行蒙特卡洛仿真實驗。經(jīng)過8000 次蒙特卡洛實驗，具體仿真性能如表1 所示，當(dāng)信道條件在－20 dB的情況下，鎖定放大器檢測信號成功率達(dá)到100%，能夠較優(yōu)地滿足微弱信號的檢測要求。

表1 采樣點為5000 點時的蒙特卡洛檢測結(jié)果Table 1 The Monte Carlo test results when the time sampling points are 5000

6 結(jié)束語

在數(shù)字鎖定放大器中引入Duffing 振子聯(lián)合稀疏分解理論的微弱信號檢測方法，實現(xiàn)了對微弱信號的精確檢測，在信噪比為－20 dB 的情況下，檢測信號的頻率精度為0.05 Hz，尤其在更低信噪比的情況下，相比已有的信號檢測方法性能得到了大幅提高，為微弱信號檢測提供了一種有效的非線性方法。本文是針對信號的頻率進(jìn)行鎖定，在以后的研究中可以針對信號的其他參數(shù)進(jìn)行非線性檢測。

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