康石磊，楊 峰，張 箭，陽軍生

（1．中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；2．長沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖南 長沙 410114）

有限元強(qiáng)度折減法通過抗剪強(qiáng)度參數(shù)折減，使巖土達(dá)到失穩(wěn)臨界狀態(tài)，從而獲得巖土穩(wěn)定評(píng)價(jià)的安全系數(shù)．目前，該方法在邊坡穩(wěn)定性分析方面應(yīng)用廣泛［1－4］，但在隧道穩(wěn)定性分析方面應(yīng)用較少［5－7］．由于數(shù)值計(jì)算時(shí)圍巖強(qiáng)度參數(shù)折減對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)判據(jù)并不明確，因此所得破壞形態(tài)和安全系數(shù)的精度均不高，且數(shù)值計(jì)算過程耗費(fèi)機(jī)時(shí)．

Sloan等［8］將極限分析上限理論與有限元技術(shù)相結(jié)合建立上限有限元法，通過數(shù)學(xué)規(guī)劃計(jì)算搜索巖土臨界破壞模式及極限荷載上限解，避開了巖土失穩(wěn)判據(jù)問題，成為巖土穩(wěn)定性分析的有力工具．

目前，將強(qiáng)度折減思想引入極限分析上限有限元法并用來分析隧道穩(wěn)定性，是值得探討的問題．已有少量文獻(xiàn)報(bào)道，如楊峰［9］將強(qiáng)度折減理論引入上限有限元法，利用線性規(guī)劃模型求解圓形隧道圍巖穩(wěn)定性安全系數(shù)，其實(shí)現(xiàn)采用二分法以避免強(qiáng)度折減時(shí)求解非線性規(guī)劃問題；牛巖等［10］利用強(qiáng)度折減上限有限元分析了邊坡的穩(wěn)定性．

研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)巖土內(nèi)摩擦角較大時(shí)，塑流發(fā)生時(shí)形成的剪切帶和塑性區(qū)具有較強(qiáng)的網(wǎng)格依賴性，上限有限元需設(shè)置密集的網(wǎng)格以獲得精度較好的上限解和精細(xì)化的破壞模式，大大增加數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的規(guī)模．近期，楊峰等［11］提出了基于非線性規(guī)劃模型的剛體平動(dòng)運(yùn)動(dòng)單元上限有限元法，通過單元節(jié)點(diǎn)可動(dòng)特性實(shí)現(xiàn)速度間斷線自適應(yīng)調(diào)整，能以少量的單元獲得類似滑移線網(wǎng)的破壞模式．此外，如果將巖土強(qiáng)度折減以約束的形式直接引入該法，不會(huì)明顯增加計(jì)算規(guī)模．

基于此，本文針對(duì)Ⅳ級(jí)、Ⅴ級(jí)圍巖典型力學(xué)參數(shù)條件下橢圓形毛洞隧道圍巖穩(wěn)定性問題，建立強(qiáng)度折減和剛體平動(dòng)運(yùn)動(dòng)單元上限有限元模型，研究隧道跨度、圍巖參數(shù)、埋深等因素與圍巖強(qiáng)度折減安全系數(shù)的關(guān)系和圍巖失穩(wěn)臨界狀態(tài)下破壞模式的特征，為隧道支護(hù)參數(shù)確定及圍巖加固方案制定提供一定的理論支持．

1 基于強(qiáng)度折減的上限有限元理論

1．1 剛體平動(dòng)運(yùn)動(dòng)單元與速度間斷線

如圖1所示，剛體平動(dòng)運(yùn)動(dòng)單元具有平動(dòng)和節(jié)點(diǎn)可動(dòng)的特性．單元間均設(shè)置速度間斷性，間斷線兩側(cè)剛體單元速度分別為（uz，vz）和（uy，vy），其中節(jié)點(diǎn)①②和③④重合，其幾何坐標(biāo)分別為（x1，y1）和（x2，y2），兩側(cè)單元速度可不同，但應(yīng)滿足塑性流動(dòng)約束條件．

圖1 剛體平動(dòng)運(yùn)動(dòng)單元間的速度間斷線Fig．1 Velocity discontinuity between two adjacent rigid－translatory－moving elements

1．2 強(qiáng)度折減剛體平動(dòng)運(yùn)動(dòng)單元上限有限元法

采用剛體平動(dòng)運(yùn)動(dòng)單元上限有限元法，引入強(qiáng)度折減思想建立非線性規(guī)劃模型，其目標(biāo)函數(shù)（最小化）即為安全系數(shù)f，約束條件為：

式中：第一項(xiàng)不等式為速度間斷線塑性流動(dòng)約束；第二項(xiàng)和第三項(xiàng)等式為模型速度邊界約束；第四項(xiàng)不等式為模型幾何約束；第五項(xiàng)等式為模型幾何邊界約束；第六項(xiàng)和第七項(xiàng)等式為強(qiáng)度折減法的約束；第八項(xiàng)等式為速度約束；第九項(xiàng)等式為虛功率平衡方程確定的約束．

非線性規(guī)劃決策變量由單元速度ui和vi（i＝1，…，nt）、節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)xi和yi（i＝1，…，nn）及安全系數(shù)f組成．

通過編制強(qiáng)度折減運(yùn)動(dòng)單元上限有限元程序，采用序列二次規(guī)劃法求解非線性規(guī)劃問題．

2 隧道圍巖穩(wěn)定性強(qiáng)度折減上限有限元模型

2．1 問題描述

目前，城市隧道輪廓多為圓形和矩形，而高速公路和鐵路隧道多為馬蹄形，此類隧道均可近似簡(jiǎn)化為橢圓形．因此，本文擬進(jìn)行橢圓形毛洞隧道圍巖穩(wěn)定性分析，模型如圖2所示，其中隧道高度為D，跨度為B，埋深為C；圍巖容重為γ，內(nèi)摩擦角為φ，黏聚力為c．假設(shè)圍巖破壞服從摩爾－庫倫屈服準(zhǔn)則．

為便于分析求解圍巖安全系數(shù)f，將上述參數(shù)無量綱化，使得經(jīng)強(qiáng)度折減后圍巖恰處于失穩(wěn)臨界狀態(tài)．此時(shí)，安全系數(shù)f為圍巖內(nèi)摩擦角φ，黏聚力c，隧道埋深與高度比C／D和隧道跨度與高度比B／D的函數(shù)．

2．2 計(jì)算參數(shù)

為探討C／D，B／D和圍巖力學(xué)參數(shù)等因素對(duì)圍巖安全系數(shù)的影響，選取表1所列參數(shù)進(jìn)行分析．圍巖力學(xué)參數(shù)參考《公路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范》［12］，按Ⅴ級(jí)（編號(hào)①和②）、Ⅳ級(jí)（編號(hào)③和④）和Ⅲ級(jí)（編號(hào)⑤）分類選取，具體參數(shù)見表2．這里的圍巖穩(wěn)定性分析僅限于自重作用下的毛洞隧道，對(duì)于原始應(yīng)力場(chǎng)及隧道支護(hù)結(jié)構(gòu)等因素，未予以考慮．

表1 毛洞隧道圍巖穩(wěn)定性計(jì)算參數(shù)Tabl．1 Parameters for unlined tunnel stability model

表2 圍巖力學(xué)參數(shù)Tab．2 Mechanical parameters for surrounding rocks

2．3 上限有限元模型

毛洞隧道圍巖穩(wěn)定性分析強(qiáng)度折減上限有限元模型及網(wǎng)格劃分如圖2所示，該圖以C／D＝2，B／D＝1．5為例進(jìn)行說明．利用對(duì)稱性取模型右側(cè)一半，隧道下方和水平延伸長度L1和L2取值見表3．

圖2 毛洞隧道圍巖穩(wěn)定性強(qiáng)度折減上限有限元模型Fig．2 Finite element upper bound model of stability of unlined tunnel based on strength reduction method

模型采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格離散，借助節(jié)點(diǎn)固定條件下的初始解信息，對(duì)可能的破壞區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格加密．其左邊界u＝0；底部和右側(cè)邊界u＝0，v＝0；地表和隧道輪廓邊界自由．表1其余工況對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格形式與圖2類似，不再贅述．

表3 上限有限元模型尺寸Tab．3 Size parameters of finite element upper bound model

3 毛洞隧道圍巖強(qiáng)度折減安全系數(shù)結(jié)果分析

利用自編強(qiáng)度折減運(yùn)動(dòng)單元上限有限元程序分別對(duì)表1所列工況進(jìn)行計(jì)算，得到毛洞隧道圍巖安全系數(shù)f上限解，如圖3所示．

由圖3可知，圍巖強(qiáng)度越高，安全系數(shù)f越大，對(duì)于圍巖④⑤而言，f值均大于3，且隨隧道埋深與高度比C／D的增加而減小．對(duì)于強(qiáng)度較低的圍巖①～③，隧道安全儲(chǔ)備較低，f值大多處于1～3之間，隨C／D的增加變化不大．對(duì)比圖3（a）～（d）可知，隨著隧道跨度與高度比B／D的增加，安全系數(shù)f值減小，即隨著隧道跨度的增大，圍巖穩(wěn)定性變差．

圖3 圍巖強(qiáng)度折減安全系數(shù)f 計(jì)算結(jié)果Fig．3 Results of safety factor based on strength reduction method

當(dāng)隧道跨度B由0．5D增加到2．0D時(shí)，隧道圍巖安全系數(shù)降低的幅值介于27%～46%；可以發(fā)現(xiàn)隧道的跨度對(duì)其穩(wěn)定性的影響較埋深和圍巖強(qiáng)度參數(shù)的影響顯著．

4 強(qiáng)度折減臨界狀態(tài)圍巖破壞模式討論

為了清晰地顯示出失穩(wěn)臨界狀態(tài)對(duì)應(yīng)的圍巖細(xì)觀滑移線網(wǎng)以及失穩(wěn)外延范圍，應(yīng)用破壞模式圖進(jìn)行分析，該圖通過刪除未發(fā)揮作用的速度間斷線得到．

4．1 隧道埋深的影響

圖4為C／D＝1．0～3．0，B／D＝1．0時(shí)，圍巖②經(jīng)強(qiáng)度折減后達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)破壞模式，其直觀地反映出強(qiáng)度折減極限狀態(tài)下圍巖的破壞范圍．可以看出，當(dāng)B／D一定時(shí)，隨著隧道埋深的增加，圍巖破壞形態(tài)近似，但隧道邊墻處破壞位置下移，破壞范圍逐漸向外擴(kuò)展，地中破壞最大水平影響范圍由0．8D增加到1．5D，地表水平影響范圍由0．6D增加到0．9D．

圖4 毛洞隧道圍巖強(qiáng)度折減臨界失穩(wěn)破壞模式（B／D＝1．0）Fig．4 Critical failure mechanisms for unlined tunnels based on strength reduction method（B／D＝1．0）

4．2 圍巖力學(xué)參數(shù)的影響

圖5為C／D＝2，B／D＝1．5時(shí)，圍巖②～⑤經(jīng)強(qiáng)度折減后達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)破壞模式．由于破壞形態(tài)與圍巖強(qiáng)度參數(shù)有關(guān)，該圖實(shí)質(zhì)上為折減后的強(qiáng)度參數(shù)對(duì)應(yīng)的破壞模式圖．

4．3 隧道跨度的影響

圖6為圍巖②經(jīng)強(qiáng)度折減達(dá)到極限狀態(tài)對(duì)應(yīng)的不同跨度下隧道圍巖破壞模式圖．由圖可知，隨著隧道跨度的增加，地表附近破壞形態(tài)大體相似，但隧道邊墻處破壞位置由隧道底部逐漸轉(zhuǎn)移到隧道拱腰處，且塊體間相互錯(cuò)動(dòng)區(qū)域逐漸上移，隧道水平破壞區(qū)域延伸范圍均在1．5D之內(nèi)．

除上述情況外，采用強(qiáng)度折減剛體平動(dòng)運(yùn)動(dòng)單元上限有限元法計(jì)算所得到其他工況對(duì)應(yīng)的圍巖破壞模式均與上述規(guī)律類似，不再詳述．

圖5 毛洞隧道圍巖強(qiáng)度折減臨界失穩(wěn)破壞模式（C／D＝2．0，B／D＝1．5）Fig．5 Critical failure mechanisms for unlined tunnels based on strength reduction method（C／D＝2．0，B／D＝1．5）

圖6 毛洞隧道圍巖強(qiáng)度折減臨界失穩(wěn)破壞模式（C／D＝2．0，圍巖②）Fig．6 Critical failure mechanisms for unlined tunnel based on strength reduction method（C／D＝2，圍巖②）

5 結(jié) 論

本文建立了強(qiáng)度折減剛體平動(dòng)運(yùn)動(dòng)單元上限有限元模型并編制相應(yīng)的程序，研究了橢圓形毛洞隧道圍巖穩(wěn)定性和破壞模式，主要結(jié)論如下：

1）毛洞隧道圍巖安全系數(shù)f與圍巖強(qiáng)度參數(shù)正相關(guān)，與C／D和B／D負(fù)相關(guān)；當(dāng)隧道跨度由0．5D增加到2．0D時(shí)，安全系數(shù)降低幅值介于27%～46%．

2）圍巖強(qiáng)度折減（折減后的強(qiáng)度參數(shù)）后破壞模式的主要滑動(dòng)破壞面由隧道底部或邊墻處延伸至地表，相互錯(cuò)動(dòng)的剛性滑塊主要集中在隧道拱部和邊墻上方，隧道水平破壞區(qū)域在1．5D范圍以內(nèi)．圍巖力學(xué)參數(shù)對(duì)破壞模式的影響并不明顯，但隨著C／D的增加，破壞模式的范圍逐漸向外擴(kuò)展；而隨著隧道跨度的增加，隧道邊墻處破壞位置由隧道底部逐漸轉(zhuǎn)移到隧道拱腰處．

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