王越超，李 軍

(廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科學(xué)研究院，廣東廣州510080)

0 引言

在系統(tǒng)頻率測(cè)量和頻率特性分析方面，各種算法不斷產(chǎn)生［1－15］，在低頻正弦頻率測(cè)量上有多種算法［1－8］，如零交法［1］、基于幅值調(diào)制的測(cè)量算法［2］、基于帶通濾波的算法［3］、基于小波變換算法［4］、基于人工智能的的算法［5］、基于離散傅里葉(DFT)變換算法［6］、基于一階導(dǎo)數(shù)的算法［7］等。

高準(zhǔn)確度的正弦頻率測(cè)量技術(shù)是一些應(yīng)用技術(shù)的基礎(chǔ)，文獻(xiàn)［1］指出了一種電力系統(tǒng)阻抗測(cè)量方法需要有精準(zhǔn)的頻率測(cè)量結(jié)果作為參考值。電力系統(tǒng)額定工頻50 Hz［9］屬于頻率較低的正弦頻率。但目前的頻率測(cè)量技術(shù)在低頻正弦頻率測(cè)量方面普遍存在準(zhǔn)確度不高、抗噪聲包括抗諧波干擾性不強(qiáng)等問題。

零交法(zero-crossing algorithm)是低頻正弦頻率測(cè)量的基本方法［1］，如用于電力系統(tǒng)工頻頻率的測(cè)量，該方法原理是通過檢測(cè)過程信號(hào)波形的過零點(diǎn)，利用1 個(gè)或幾個(gè)周期過零點(diǎn)的時(shí)間間隔來計(jì)算出此段波形的頻率值。但研究結(jié)果表明，在存在干擾的情況下，該方法測(cè)量出的頻率值存在較大的誤差［1］。

離散傅里葉(DFT)變換算法是用于正弦頻率計(jì)算的基本數(shù)學(xué)方法［6］。但DFT 算法存在一定的局限性，其中信號(hào)的非整數(shù)周期截?cái)嗨痤l譜泄漏問題是造成DFT 算法誤差的主要內(nèi)在原因［6］，由于頻譜泄漏問題客觀上難以避免，因此DFT 算法難以滿足正弦頻率的高準(zhǔn)確度計(jì)算要求。

在現(xiàn)有高準(zhǔn)確度低頻正弦頻率測(cè)量方法研究中［8］，一些方法在研究上沒有充分考慮實(shí)際信號(hào)處理技術(shù)的局限性和信號(hào)構(gòu)成的復(fù)雜性，如信號(hào)離散采樣產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量化背景噪聲影響問題、信號(hào)中的分次諧波影響問題等。

1 新型正弦頻率計(jì)算原理

新型正弦頻率測(cè)量方法的基本原理是:對(duì)低頻正弦信號(hào)序列進(jìn)行相位調(diào)制，得到相位隨信號(hào)頻率變化、但相位變化方向相反的2 路相位調(diào)制序列;通過精密相位計(jì)算，得到2 路相位調(diào)制序列的精密相位;通過精密相位(差)計(jì)算，得到2 路相位調(diào)制序列的精密相位差;根據(jù)2 路相位調(diào)制序列的精密相位差，可得到信號(hào)序列的正弦頻率，如圖1所示。

圖1 正弦頻率測(cè)量原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of the sinusoidal frequency measurement

圖1所示，正弦頻率測(cè)量需要借助一個(gè)頻率初測(cè)單元實(shí)現(xiàn)，頻率初測(cè)單元作用是給出參考頻率，并根據(jù)參考頻率進(jìn)行精密相位計(jì)算，允許頻率初測(cè)單元存在± 0.25% 以內(nèi)的相對(duì)誤差。

2 相位調(diào)制原理

相位調(diào)制方式為:用信號(hào)序列和它的±1π 移相序列相減，得相位隨信號(hào)頻率變化、但相位變化方向相反的相位調(diào)制A 序列和相位調(diào)制B 序列。

首先令信號(hào)序列為

式中:Xi(n)為信號(hào)序列;A 為信號(hào)幅值，V;ω 為信號(hào)頻率，rad/s;Tn為信號(hào)采樣間隔，s;φ 為初相位，rad;Nπ為1π 移相序列長度，單位無量綱;N 為序列長度，單位無量綱。

根據(jù)參考頻率計(jì)算1π 移相序列長度，為

式中:(int)代表取整數(shù)。由于Nπ整數(shù)化存在1 個(gè)采樣間隔內(nèi)的誤差，需要根據(jù)實(shí)際1π 移相序列長度計(jì)算調(diào)相頻率，為式(3):

式中:ωph為調(diào)相頻率，rad/s。

信號(hào)頻率與調(diào)相頻率的頻差為

式中:Ωph為調(diào)相頻差，rad/s。

信號(hào)頻率與參考頻率的頻差為

式中:Ω 為頻差，rad/s。

相位調(diào)制A 序列為

式中:XPhA(n)為相位調(diào)制A 序列;kph為相位調(diào)制序列的幅值系數(shù)、單位無量綱。相位調(diào)制A 序列的調(diào)制相位為

式中:PHA為相位調(diào)制A 序列的調(diào)制相位，rad。

相位調(diào)制B 序列為式(8):

式中:XPhB(n)為相位調(diào)制B 序列。相位調(diào)制B 序列的調(diào)制相位為式(9):

式中:PHB為相位調(diào)制B 序列的調(diào)制相位，rad。

相位調(diào)制需要使用1 倍信號(hào)周期序列長度。

所述兩種相位調(diào)制序列在頻域的幅頻特性完全相同，其中在參考頻率100 πrad/s，得到的頻域幅頻特性，如圖2所示。

圖2 輸出序列幅頻特性示意圖Fig.2 Schematic diagram of the amplitude frequency characteristics of the output sequence

圖2所示，相位調(diào)制序列對(duì)偶次諧波有較好的抑制作用，對(duì)分次諧波也有較好的衰減作用。

3 精密相位計(jì)算原理

圖1所示，相位計(jì)算準(zhǔn)確度直接決定了新型頻率測(cè)量方法的準(zhǔn)確度。為了獲得較高的相位計(jì)算準(zhǔn)確度，文章提出了一種基于正交混頻的精密相位計(jì)算方法，如圖3所示。

圖3所示，對(duì)輸入序列進(jìn)行正交混頻，得到了互為正交的實(shí)頻序列和虛頻序列。

3.1 混頻信號(hào)和混頻干擾

圖3所示，所謂的混頻器實(shí)際上是乘法器，以實(shí)頻混頻信號(hào)為例，混頻干擾分析如下:

設(shè)信號(hào)由基波、1/3、1/2、2，3 次諧波構(gòu)成為例，為式(10):

圖3 精密相位計(jì)算方法示意圖Fig.3 Schematic diagram of the precise phase measurement

在信號(hào)基波頻率等于參考頻率，實(shí)頻混頻信號(hào)為

式中:XR(t)為實(shí)頻混頻信號(hào);cos(φ)/2 為有用信號(hào)，其余的均為混頻干擾信號(hào)。

以相位調(diào)制A 序列為例，在不考慮混頻干擾前提下，實(shí)頻序列和虛頻序列為

式中:XRA(n)為實(shí)頻序列;XIA(n)為虛頻序列。

3.2 數(shù)字濾波

混頻干擾嚴(yán)重影響相位計(jì)算準(zhǔn)確度，是造成頻率計(jì)算誤差的主要內(nèi)在原因，設(shè)計(jì)一種數(shù)字濾波對(duì)混頻干擾進(jìn)行抑制。從精密相位計(jì)算角度考慮，數(shù)字濾波必須能夠完全濾除所述的混頻干擾。數(shù)字濾波具體采用算術(shù)平均濾波算法，即對(duì)NT個(gè)連續(xù)離散值相加，然后取其算術(shù)平均值作為本次濾波值輸出。為了方便計(jì)算數(shù)字濾波參數(shù)，在參考頻率等于信號(hào)基波頻率時(shí)，給出如下混頻頻率計(jì)算表1。

表1 混頻頻率計(jì)算表Tab.1 Calculation of mixing frequency

根據(jù)表1 計(jì)算結(jié)果，在數(shù)字濾波參數(shù)NT取值為2ω/3 頻率單位周期序列長度時(shí)，可以對(duì)2ω/3和4ω/3 混頻頻率進(jìn)行抑制。而NT取值為ω/2 頻率單位周期序列長度時(shí)，可以對(duì)ω/2、3ω/2、1ω、2ω、3ω、4ω、5ω 混頻頻率進(jìn)行抑制。因此，數(shù)字濾波由2 種參數(shù)的數(shù)字濾波所構(gòu)成，為了提高對(duì)混頻干擾的抑制性能，每種參數(shù)的數(shù)字濾波均由參數(shù)相同的三級(jí)數(shù)字濾波組成。

數(shù)字濾波為式(13):

式中:D1(n)為數(shù)字濾波1 輸出序列;X(n)為數(shù)字濾波1 輸入序列;NT1為濾波參數(shù)1、即連續(xù)離散值相加數(shù)量;D2(n)為數(shù)字濾波2 輸出序列;NT2為濾波參數(shù)2、即連續(xù)離散值相加數(shù)量。2 級(jí)數(shù)字濾需要使用10.5 倍信號(hào)周期序列長度。

數(shù)字濾波用于實(shí)頻序列，數(shù)字濾波輸入序列為XRA(n)，數(shù)字濾波輸出序列為XRAD(n);而用于虛頻序列，數(shù)字濾波輸入序列為XIA(n)，數(shù)字濾波輸出序列為XIAD(n)。

實(shí)際根據(jù)參考頻率計(jì)算濾波參數(shù)，在采樣頻率10 kHz，參考頻率100 πrad/s，則NT1=300，NT2=400，計(jì)算得到數(shù)字濾波頻域特性如圖4所示。

圖4 中，K(ω)為數(shù)字濾波頻域幅頻增益、單位dB，給出的頻域特性對(duì)表1 給出的混頻頻率具有完全的抑制作用。

由于實(shí)際存在誤差，包括參考頻率誤差，數(shù)字濾波參數(shù)誤差。在參考頻率變化時(shí)，數(shù)字濾波參數(shù)存在1 個(gè)采樣間隔內(nèi)的誤差，通過改進(jìn)算法，可將數(shù)字濾波參數(shù)誤差控制在0.5 個(gè)采樣間隔內(nèi)。

圖4 數(shù)字濾波頻域特性示意圖Fig.4 Schematic diagram of frequency characteristics of digital filter

在參考頻率誤差不大于±0.25%或者濾波參數(shù)誤差在0.5 個(gè)采樣間隔以內(nèi)，圖4所示的頻域?yàn)V波特性對(duì)混頻干擾仍然具有良好的抑制特性。其中在基波頻率100 πrad/s，參考頻率100.25 πrad/s，濾波參數(shù)NT1=299、NT2=399，得到結(jié)果如圖5所示。垂直線為表1 給出的混頻頻率點(diǎn)，圖5給出的最小抑制度為－210 dB，換算成衰減量約為3.16 ×10－11。

圖5 混頻頻率抑制特性示意圖Fig.5 Mixing frequency component suppression characteristic diagram

以相位調(diào)制A 序列為例，在混頻干擾得到完全抑制前提下，實(shí)頻和虛頻混頻數(shù)字濾波序列為式(14):

式中:XRAD(n)為實(shí)頻序列的數(shù)字濾波序列;XIAD(n)為虛頻序列的數(shù)字濾波序列;K(Ω)為數(shù)字濾波在頻差Ω 的增益，單位無量綱;β(Ω)為數(shù)字濾波在頻差Ω 的移相，rad。

3.3 積分計(jì)算

以相位調(diào)制A 序列為例，對(duì)實(shí)頻和虛頻數(shù)字濾波序列進(jìn)行積分計(jì)算，為式(15):

式中:RA為實(shí)頻積分值;IA為虛頻積分值。

積分計(jì)算使用0.5 倍信號(hào)周期序列長度是足夠的。

3.4 相位計(jì)算

以相位調(diào)制A 序列為例，相位調(diào)制A 序列的相位計(jì)算為

式(16)給出相位計(jì)算范圍在±π/2，當(dāng)信號(hào)初相位超出±0.5π 時(shí)，可能會(huì)造成計(jì)算錯(cuò)誤。因此對(duì)信號(hào)初相位有一定的要求，一般要求信號(hào)初相位不超出±0.45π 范圍。通過改進(jìn)相位計(jì)算方法，可將相位計(jì)算范圍擴(kuò)大為±π，這樣允許信號(hào)初相位有更大的范圍，可為±0.9π。式(16)的改進(jìn)相位算法為式(17)

式中:PhAC為改進(jìn)相位算法的計(jì)算相位、范圍±π，＆代表與邏輯。

省略相位調(diào)制B 序列的相位計(jì)算過程，相位調(diào)制B 序列的相位計(jì)算為

4 精密相位差和正弦頻率計(jì)算

根據(jù)式(17)和式(18)，相位差計(jì)算為

式(19)中，相位差計(jì)算得到了調(diào)制相位的相位差。

根據(jù)式(19)，頻率計(jì)算為

5 仿真實(shí)驗(yàn)

進(jìn)行了電力系統(tǒng)50 Hz 工頻正弦頻率和調(diào)相相位差計(jì)算仿真實(shí)驗(yàn)，仿真實(shí)驗(yàn)條件為:實(shí)驗(yàn)信號(hào)基波頻率變化范圍在45～55 Hz，信號(hào)的采樣頻率10 kHz，信號(hào)的離散數(shù)據(jù)量化位數(shù)24 bit，頻率初測(cè)單元相對(duì)誤差±0.25%，信號(hào)序列長度(盡量)取12 倍信號(hào)周期序列長度。

具體實(shí)驗(yàn)信號(hào)由基波，1/2、1/3、2、3、4、5 次諧波成分等構(gòu)成:

在基波頻率50 Hz、參考頻率50.125 Hz，得到的計(jì)算結(jié)果，如表2所示。

表2 新型正弦頻率測(cè)量方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.2 Experimental results of novel sinusoidal frequency measurement

在信號(hào)基波頻率45～55 Hz 變化、參考頻率相對(duì)誤差0.25%時(shí)，得到基波頻率計(jì)算相對(duì)誤差隨信號(hào)基波頻率變化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖6所示。圖中，|Ferr(f)|為(隨信號(hào)基波頻率變化)基波頻率計(jì)算相對(duì)誤差絕對(duì)值、單位無量綱;f 為信號(hào)基波頻率，Hz。分析圖6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果，基波頻率相對(duì)誤差表現(xiàn)出明顯的隨機(jī)性，產(chǎn)生原因主要是離散數(shù)據(jù)量化背景噪聲引起的，也表明數(shù)字濾波能夠?qū)祛l干擾頻率進(jìn)行深度抑制，濾波后的殘余幅值已低于背景噪聲水平。

圖6 基波頻率相對(duì)誤差實(shí)驗(yàn)結(jié)果1Fig.6 The fundamental frequency of relative error of experimental results A

另外，為了考查新型頻率測(cè)量方法的抗噪聲干擾特性，進(jìn)行了白噪聲加擾實(shí)驗(yàn)，所謂白噪聲是指功頻譜密度為常數(shù)的隨機(jī)噪聲，通常用信噪比衡量信號(hào)的質(zhì)量，表述式為

式中:S:N 為功率信噪比，dB，Xs(n)為信號(hào)序列;Es為信號(hào)序列在序列長度N 的方差;Xn(n)為白噪聲序列，En為白噪聲序列在序列長度N的方差。

在信號(hào)基波頻率50 Hz 和信號(hào)窗口時(shí)間0.25 s，參考頻率為50.125 Hz，得到頻率相對(duì)誤差隨信噪比變化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖7所示。

圖7 基波頻率相對(duì)誤差實(shí)驗(yàn)結(jié)果2Fig.7 The fundamental frequency of relative error of experimental results B

圖中:|Ferr(S:N)|為(隨信號(hào)信噪比變化)基波頻率計(jì)算相對(duì)誤差絕對(duì)值，單位無量綱;S:N 為信號(hào)信噪比，dB。圖7 給出了白噪聲干擾環(huán)境下的頻率計(jì)算相對(duì)誤差分布圖，其中在信噪比40 dB時(shí)可實(shí)現(xiàn)10－6量級(jí)準(zhǔn)確度的頻率測(cè)量。

6 物理實(shí)驗(yàn)

進(jìn)行了電力系統(tǒng)50 Hz 工頻頻率測(cè)量的物理實(shí)驗(yàn)，這里指采集實(shí)際的高準(zhǔn)確度信號(hào)發(fā)生器或?qū)嶋H電力系統(tǒng)的信號(hào)進(jìn)行頻率計(jì)算。具體物理實(shí)驗(yàn)條件為:實(shí)驗(yàn)頻率測(cè)量系統(tǒng)的頻率基準(zhǔn)采用準(zhǔn)確度±1 ×10－8量級(jí)的恒溫晶振，采集設(shè)備的數(shù)據(jù)量化位數(shù)為24 bit，采集設(shè)備的采樣頻率為10 kHz。

物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新型頻率測(cè)量方法用于正弦頻率測(cè)量具有較高的準(zhǔn)確度，在45～55 Hz 頻率范圍內(nèi)，在矩形窗口時(shí)間0.25 s 得到的正弦頻率計(jì)算準(zhǔn)確度優(yōu)于±5.6 ×10－7，在窗口時(shí)間1.0 s 得到的正弦頻率計(jì)算準(zhǔn)確度優(yōu)于±3.1 ×10－8，如圖8所示。

圖8 頻率相對(duì)誤差物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.8 The relative error of the results of physical experiments frequency diagram

圖中:Ferr(t)為(隨過程時(shí)間變化)基波頻率計(jì)算相對(duì)誤差值，單位無量綱;t 為過程時(shí)間，s。另外，采集實(shí)際電力信號(hào)進(jìn)行頻率計(jì)算，同時(shí)與“零交法”頻率測(cè)量進(jìn)行對(duì)比，得到的結(jié)果，如圖9所示。

圖9 中F(t)為(隨過程時(shí)間變化)基波頻率計(jì)算值，Hz;t 為過程時(shí)間，s。圖9所示，在20 s 時(shí)間內(nèi)，信號(hào)頻率呈緩慢變化趨勢(shì)，采用新型正弦頻率計(jì)算方法得到結(jié)果的波動(dòng)幅度相對(duì)較小，而“零交法”頻率測(cè)量結(jié)果的波動(dòng)幅度相對(duì)較大，可見新型正弦頻率計(jì)算方法相對(duì)“零交法”能夠更真實(shí)的反映實(shí)際頻率變化趨勢(shì)。

圖9 實(shí)際電力信號(hào)頻率計(jì)算實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.9 Calculating the results of experiments schematic diagram of the power frequency signal

7 結(jié)論

精密相位計(jì)算方法的本質(zhì)是復(fù)數(shù)積分，文章?lián)Q一個(gè)角度看問題，將復(fù)數(shù)積分看成是一種正交混頻器，將頻譜泄漏看成是一種混頻干擾，指出了混頻干擾是是造成正弦頻率計(jì)算誤差的主要內(nèi)在原因。文章所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波，本質(zhì)上是多種窗口特性的合成，對(duì)混頻干擾具有深度的抑制作用，可實(shí)現(xiàn)較高準(zhǔn)確度的低頻正弦頻率計(jì)算。通過數(shù)學(xué)計(jì)算、仿真試驗(yàn)和物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了所提出的新型頻率測(cè)量方法的正確性和有效性。本文所提出的方法在電力科學(xué)研究、低頻正弦頻率的測(cè)量、低頻率范圍的精密測(cè)量儀器的研制等方面具有重要的用途和參考價(jià)值。

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