祁志遠，肖仕武

(華北電力大學電氣與電子工程學院，北京102206)

0 引言

潮流計算自出現(xiàn)以來在電力系統(tǒng)中被廣泛應用?，F(xiàn)在的潮流計算都以計算機的應用為前提，產(chǎn)生了很多算法［1－4］。這些算法按坐標系不同可分為直角坐標潮流算法和極坐標潮流算法兩類?，F(xiàn)階段應用廣泛的直角坐標潮流算法有常規(guī)牛頓算法、保留二階項牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法［5－6］。文獻［7－8］從理論上分析了保留二階項牛頓法與傳統(tǒng)牛頓算法的區(qū)別，認為保留二階項是一種線性逼近算法，而傳統(tǒng)牛頓算法是一種非線性的逼近算法;文獻［9］認為最優(yōu)步距算法將最優(yōu)乘子引入到常規(guī)牛頓法當中，不僅可以改善潮流對初值的敏感性，而且可以解決病態(tài)潮流問題;文獻［10］針對牛頓類潮流算法對初值敏感的問題，提出了牛頓類潮流計算的收斂定理。分析可知，很多文獻都對直角坐標下不同牛頓算法的特點和性能進行過闡述［11－12］，但多限于理論分析和判斷，缺乏翔實的算例。結(jié)果，導致相關(guān)認識缺乏深度和可信度。

本文首先推導了直角坐標系下傳統(tǒng)牛頓法、保留二階項牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法的統(tǒng)一數(shù)學模型，對比分析了它們的收斂特性和收斂判據(jù)。以IEEE－14、IEEE－30、IEEE－39 和IEEE－118節(jié)點等不同規(guī)模的常態(tài)系統(tǒng)和病態(tài)系統(tǒng)為對象，編寫相應的MATLAB 程序，對三種直角坐標牛頓潮流算法的收斂性進行比較，得出了有意義的結(jié)論。

1 數(shù)學模型

1.1 潮流方程

直角坐標下潮流計算方程為

上述非線性方程組可表示為向量:

其中，狀態(tài)量x =［e，f］T。

1.2 傳統(tǒng)牛頓法的基本原理

將式(2)用泰勒級數(shù)展開，并略去二階項及以上高階項，得到迭代格式

此種方法為傳統(tǒng)牛頓法。

1.3 保留二階項牛頓法的基本原理

由式(1)知，潮流方程是以狀態(tài)變量e 和f 來表示的一組二次代數(shù)方程式。對這組方程進行泰勒級數(shù)展開后，不存在二階以上的高階項。因此，在保留其二階項后，就得到一組沒有截斷誤差的精確表達式。

將潮流方程組f(x)，在x 附近利用泰勒級數(shù)進行展開，則有

式中H 為二階項，故可得到迭代格式

1.4 最優(yōu)步距牛頓法的基本原理

以牛頓法所得的修正量為最優(yōu)步距方向，即

為了調(diào)整步距，用μ 修正步長，于是式(5)將變?yōu)?/p>

記:

則式(8)可寫作:

所求目標函數(shù)為

即

其中，

式(13)的解就是使F 有最小值的最優(yōu)步距因子μ*。

于是可調(diào)整第k 次迭代的修正量Δx(k)得到最優(yōu)的步距為

2 收斂判據(jù)比較

由于常規(guī)牛頓法、保留二階項牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法在對初始估計值x(0)的處理上采用了不同的方式，以致這三種方法的Δx 含義也不完全相同。其差別可用圖1 中的迭代過程說明。

從圖1 可知，在傳統(tǒng)牛頓法中，由于每次迭代后的估計值都在改變，即自x(0)→x(1)→… →x(k)，所以其Δx(k)是以新的估計值作為基準而得到的修正值;在保留二階項牛頓法中，由于估計值x(0)保持不變，所以Δx(k)總是以初始估計值x(0)作為基準而得到的修正值;在最優(yōu)步距牛頓法中，其迭代過程類似于常規(guī)牛頓法，只不過其修正值Δx(k)變?yōu)樽顑?yōu)步距Δx*(k)。

圖1 Δx 的比較Fig.1 Comparison of Δx

由于存在上述差別，三種直角坐標牛頓算法的收斂判據(jù)也是有區(qū)別的。

常規(guī)牛頓算法的收斂判據(jù)為

即每次迭代的誤差小于某一數(shù)值停止迭代。

保留二階項牛頓法的收斂判據(jù)為

即本次迭代與上次迭代的誤差之差小于某一數(shù)值停止迭代。

最優(yōu)步距牛頓算法的收斂判據(jù)為

即每次迭代的最優(yōu)步距小于某一數(shù)值停止迭代。

由于常規(guī)牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法每次迭代都需更新雅可比矩陣，而保留二階項牛頓法只需計算一次雅可比矩陣，故計算速度較快;最優(yōu)步距牛頓法由于引入最優(yōu)乘子，潮流總是收斂的。

3 常態(tài)系統(tǒng)潮流算法收斂性比較

本文以IEEE14、IEEE30、IEEE39 和IEEE118 系統(tǒng)進為測試對象，所選收斂精度為修正量最大值小于10-8(收斂精度是以100 MW 為基準功率的標幺值)。分別對三種潮流計算方法進行測試，收斂次數(shù)和計算時間的測試結(jié)果如表1所示，其中IEEE39節(jié)點的半對數(shù)坐標收斂曲線如圖2所示。

圖2 常態(tài)系統(tǒng)不平衡量收斂曲線Fig.2 Convergence curves of deviation for normal system

由圖2 可知，常規(guī)牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法的收斂速度接近，即按拋物線型收斂。由于最優(yōu)步距因子的調(diào)整，最優(yōu)步距牛頓法收斂性好于常規(guī)牛頓算法，同樣為4 次收斂，最優(yōu)步距牛頓法的最大有功功率不平衡量明顯小于常規(guī)牛頓算法。而保留二階項的牛頓法收斂速度較慢，收斂曲線基本為直線。

表1 常態(tài)系統(tǒng)的潮流收斂情況Tab.1 Convergence of power flow for the normal system

表1 的結(jié)果表明:對于相同的收斂精度，不同的測試系統(tǒng)，常規(guī)牛頓算法和最優(yōu)步距牛頓法收斂次數(shù)比較穩(wěn)定，幾乎不隨系統(tǒng)規(guī)模的增大而增加。但是保留二階項牛頓法就不一樣，隨著系統(tǒng)規(guī)模的增加，迭代次數(shù)迅速增加。然而，保留二階項牛頓法所需的計算時間最短，所以保留二階項牛頓法的計算速度較傳統(tǒng)牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法還是快得多。

為了測試不同收斂精度對收斂情況的影響，對IEEE39 節(jié)點系統(tǒng)選用不同的收斂精度，得到表2所示的計算結(jié)果。

表2 IEEE39 節(jié)點系統(tǒng)的潮流收斂情況Tab.2 Convergence of power flow for IEEE－39 nodes system

表2 表明:隨著收斂精度的提高，保留二階項牛頓算法的迭代次數(shù)逐漸增加，而常規(guī)牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法的迭代次數(shù)幾乎不隨收斂精度變化。

4 病態(tài)系統(tǒng)潮流算法收斂性比較

以IEEE39 節(jié)點系統(tǒng)為算例，采用同步增加所有負荷節(jié)點有功和無功負荷的方法使其病態(tài)化，負荷從1.1 倍逐漸增加至1.5 倍的常態(tài)負荷，收斂精度取10-8，計算結(jié)果如表3所示。

表3 不同負荷下的潮流收斂情況Tab.3 Convergence of power flow under different loads

由表3 知，常規(guī)牛頓法在負荷增加到1.5 倍常態(tài)負荷時開始不收斂，并呈現(xiàn)周期性振蕩現(xiàn)象;在收斂的情況下，其迭代次數(shù)基本保持不變。保留二階項牛頓法從1.2 倍常態(tài)負荷增加到1.3 倍時，收斂特性迅速變壞，迭代次數(shù)從24 次迅速上升為105 次，在負荷增加到1.4 倍的常態(tài)負荷時，開始不收斂。最優(yōu)步距牛頓法始終收斂，在1.5倍常態(tài)負荷條件下，其迭代次數(shù)增加為16 次。另外該方法，在第5 次迭代后，最大功率偏差基本保持不變?？梢娮顑?yōu)步距牛頓法收斂特性最好，有較強的適應病態(tài)系統(tǒng)的能力;保留二階項牛頓法適應病態(tài)系統(tǒng)的能力最差，對病態(tài)系統(tǒng)反應非常靈敏。圖3 給出了1.5 倍常態(tài)負荷下三種算法的半對數(shù)坐標收斂曲線。

由圖3 可知，在1.5 倍的常態(tài)負荷時，常規(guī)牛頓法振蕩發(fā)散，保留二階項牛頓法線性發(fā)散，最優(yōu)步距牛頓法則收斂。

圖3 病態(tài)系統(tǒng)不平衡量收斂曲線Fig.3 Convergence curves of deviation for illconditioned system

需要指出的是，最優(yōu)步距牛頓法在1.5 倍常態(tài)負荷下，對IEEE39 節(jié)點系統(tǒng)，雖收斂，但收斂精度較差;對IEEE30 節(jié)點系統(tǒng)，加重30 節(jié)點的負荷使其病態(tài)化，收斂過程類似于IEEE39 節(jié)點系統(tǒng)，但收斂精度較好，最大功率偏差接近10-2。

5 結(jié)論

本文在推導了直角坐標系下傳統(tǒng)牛頓法、保留二階項牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法的統(tǒng)一數(shù)學模型的基礎(chǔ)上，對三種潮流算法的收斂性進行對比測試。結(jié)果表明:對常態(tài)算例系統(tǒng)，三種算法均收斂，其中保留二階項牛頓法迭代次數(shù)最多，但計算用時最短;對同樣的迭代次數(shù)，最優(yōu)步距牛頓法收斂精度最高。對重負荷病態(tài)算例系統(tǒng)，隨著負荷的增加，保留二階項牛頓法迭代次數(shù)急劇增加，最早喪失收斂性且以單調(diào)形式發(fā)散;常規(guī)牛頓法迭代次數(shù)增加不明顯，收斂性喪失遲于前者、以振蕩形式發(fā)散;最優(yōu)步距牛頓法始終收斂于可行解且迭代次數(shù)基本不變，表現(xiàn)出了良好的收斂性。計算結(jié)果可為實際潮流算法的選取提供有益的參考。

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