◆江蘇省泰興市襟江小學(xué) 蔡文平 李海東

開放題問題解決的契機與實施
——以小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)為例

◆江蘇省泰興市襟江小學(xué) 蔡文平 李海東

問題解決是學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)開放題中的問題解決能力需要教師根據(jù)各種開放題的特征，準(zhǔn)確把握契機，才能事半功倍；實施開放題問題解決時，教師要努力做到：解讀文本信息，整體規(guī)劃思路；遵循認(rèn)知規(guī)律，逐層推進(jìn)研究；強化彼此關(guān)聯(lián)，達(dá)成能效最優(yōu)。

開放題；問題解決； 契機 ；實施

全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會（NCTM）認(rèn)為，問題解決是學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，學(xué)生在問題解決方面的成績是衡量學(xué)校數(shù)學(xué)教育成敗的有效標(biāo)準(zhǔn)。以問題解決為旗幟的數(shù)學(xué)教學(xué)改革由此揭開了序幕，并在各國數(shù)學(xué)教育中占有了重要位置。我國的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對問題解決的具體教學(xué)目標(biāo)是“初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識；學(xué)會與他人合作交流；初步形成評價與反思的意識”。對照問題解決目標(biāo)，我們有必要加強對問題解決的認(rèn)識和實踐?，F(xiàn)以小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的開放題為例，談?wù)勯_放題問題解決的契機與實施。

一、數(shù)學(xué)開放題問題解決的契機

數(shù)學(xué)開放題就是“具有多種不同的解法或者有多種可能的解答的問題”。從學(xué)生學(xué)習(xí)行為的表現(xiàn)形式看，開放題可以分為操作型開放題、表現(xiàn)型開放題、陳述型開放題和綜合型開放題等。數(shù)學(xué)開放題問題解決就是“以適應(yīng)客觀世界運動變化之需要為目的的辯證的動態(tài)思維過程”。其問題是指學(xué)生“綜合地、創(chuàng)造性地應(yīng)用各種數(shù)學(xué)知識去解決那些并非單純練習(xí)題形式的問題，包括實際問題和源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題”。不同的開放題，問題解決的契機也各不相同。

所謂操作型開放題，就是考查學(xué)生動手技能的開放題，如數(shù)學(xué)實驗等。數(shù)學(xué)實驗操作是一種定向的心智活動，其方向決定于教學(xué)目標(biāo)，其過程和結(jié)果要有利于揭示實驗過程中知識間的內(nèi)在聯(lián)系。如教學(xué)蘇教版六年級上冊“百分?jǐn)?shù)”時，教材中有這樣一道開放題：在一個盤子里鋪幾層濾紙或紗布，噴灑適量的水，并均勻地鋪上50粒黃豆或蠶豆種子做發(fā)芽試驗。每天記錄發(fā)芽的種子數(shù)，7天后算出發(fā)芽率。問題解決的契機可以在學(xué)生學(xué)習(xí)這道題時進(jìn)行操作，也可以由教師提前布置（學(xué)生學(xué)百分?jǐn)?shù)之前就可以開始實驗，也可以在不同季節(jié)進(jìn)行實驗操作，以便不同季節(jié)的發(fā)芽率等）。不同契機的操作，不同的操作對象，實驗結(jié)果未必完全一致。

所謂表現(xiàn)型開放題，就是考查學(xué)生的口頭表達(dá)能力與交流溝通能力的開放題，如編數(shù)學(xué)故事等。天才數(shù)學(xué)家阿貝爾（近世代數(shù)的開山鼻祖）認(rèn)為，很多問題因為沒有好的表述，導(dǎo)致看起來很難，其實不過如此。換句話說，教師如果要幫助學(xué)生理解并掌握數(shù)學(xué)概念，可以設(shè)計表現(xiàn)型開放題讓學(xué)生進(jìn)行問題解決，以便既培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力，又幫助學(xué)生進(jìn)一步把數(shù)學(xué)概念更加數(shù)學(xué)化、具體化和形象化。教學(xué)“方程的意義”時，學(xué)生認(rèn)識了方程的意義后，教師可以出示方程3x=24，讓學(xué)生根據(jù)方程編數(shù)學(xué)故事，學(xué)生可以根據(jù)自己的生活經(jīng)驗和知識經(jīng)驗編出各種不同的數(shù)學(xué)故事，其問題解決的契機是學(xué)生學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi)容尚未完全理解和掌握時。應(yīng)用表現(xiàn)型開放題一方面能幫助學(xué)生強化對方程式概念的理解，另一方面能幫助學(xué)生提升語言表達(dá)能力和交流溝通能力。

所謂陳述型開放題，就是考查學(xué)生綜合處理信息能力與書面表達(dá)能力的開放題，如數(shù)學(xué)小論文、數(shù)學(xué)小調(diào)查等。蘇教版教材中有很多小調(diào)查需要學(xué)生借助書面陳述才能實現(xiàn)問題解決，其契機就是學(xué)生調(diào)查后如實寫出自己的體會。如蘇教版六年級上冊“算出它們的普及率”就需要學(xué)生對擁有電話和電腦的家庭數(shù)進(jìn)行調(diào)查，整理并計算，最后寫出調(diào)查體會。這樣的開放性問題需要學(xué)生把自己調(diào)查后的感想概要寫下來，雖然不是面面俱到，但需要學(xué)生根據(jù)調(diào)查結(jié)果和體會進(jìn)行分析問題、提出問題和解決問題，從而使學(xué)生在問題解決過程中形成敏銳的觀察力、綜合處理信息的能力和書面表達(dá)能力，從而增強創(chuàng)新意識，提高創(chuàng)新能力。

所謂綜合型開放題，就是考查學(xué)生綜合應(yīng)用信息解決實際問題能力的開放題，如論述題等。這類開放題需要學(xué)生對題目給出的幾種方案做出合理選擇，從而得出一種最優(yōu)化方案。問題解決的關(guān)鍵是通過對開放題的信息進(jìn)行全面分析，綜合比較，判斷優(yōu)劣，從中尋得適合題意的最優(yōu)方案。如“我們一起去游園”中，某班有學(xué)生48人，準(zhǔn)備一起坐汽車去游園，可以租的汽車有兩種：一種汽車每輛120元，限乘客12人；另一種汽車每輛160元，限乘客18人。可以怎么租車？需要多少錢？這里的方案有幾種，學(xué)生需要綜合運用所學(xué)知識，并且聯(lián)系生活實際考慮，不但能讓所有學(xué)生都能一起坐汽車，還能盡量少花錢、不浪費。其問題解決的契機是學(xué)生有了相關(guān)知識基礎(chǔ)，并且能結(jié)合生活經(jīng)驗進(jìn)行思考問題，從而達(dá)到綜合運用所學(xué)知識，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二、數(shù)學(xué)開放題問題解決的實施

數(shù)學(xué)開放題的問題解決教學(xué)，需要教師通過創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生強烈的求知欲望，使學(xué)生能充分體驗和感受分析問題、解決問題的全過程，有效培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識、探索精神和實際操作能力。實施時，學(xué)生的主體作用和教師的主導(dǎo)作用要努力做到相輔相成，不可偏廢。

1.解讀文本信息，整體規(guī)劃思路

問題解決的基礎(chǔ)是認(rèn)真進(jìn)行文本解讀，深入挖掘文本內(nèi)涵和弄清文本信息。同樣的文本，不同的人有不同的閱讀感受。同樣的文本，不同教師處理的方法也不同。究其原因，就在于各人對文本的解讀不同。文本解讀應(yīng)真正體現(xiàn)以人為本。解讀文本信息，教師要努力從學(xué)生角度對文本作全方位、多層面、立體式的細(xì)究與深讀，獲得閱讀體驗后，再從文本中“走出來”，用自己的智慧在學(xué)生與文本之間發(fā)現(xiàn)一個平衡點，然后從教師角度思考、整體規(guī)劃問題解決的思路，實現(xiàn)問題解決的目標(biāo)。

蘇教版六年級下冊（2014年版）第96頁有這樣一道習(xí)題：

倉庫里有以下4種規(guī)格的長方形、正方形鐵皮。

①長0.6米，寬0.4米；②長0.6米，寬0.5米；

③長0.5米，寬0.4米；④邊長0.4米。

張師傅想從中選5張鐵皮，焊接成一個無蓋的長方體（或正方體）水箱，可以選哪幾種規(guī)格的鐵皮，各要選幾張？你能找到多少種不同的選法？在下表中填一填。

規(guī)格① 規(guī)格② 規(guī)格③ 規(guī)格④ 容積/m3選法一選法二選法三選法四

這是一道綜合性數(shù)學(xué)開放題。解決這個問題，教師首先要讀懂文本中的信息：有4種鐵皮，規(guī)格各不相同，要焊的水箱只有5個面，可以是長方體形狀或者正方體形狀的，選擇方法有很多，表中只需要選4種，并要求算出各種選法的容積。文本中的隱藏條件應(yīng)該是每種鐵皮的張數(shù)是足夠的（或者說是可以忽略考慮的）。問題解決的目標(biāo)應(yīng)該是通過學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)不同的選法，一方面幫助學(xué)生鞏固所學(xué)的長方體和正方體知識，另一方面培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和發(fā)散思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。根據(jù)這個目標(biāo)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題解決的探究過程，使學(xué)生在獨立思考、小組交流的基礎(chǔ)上形成各組的方案，最后全班交流形成共識，優(yōu)化方案，其基本過程是“創(chuàng)設(shè)問題情境——確定探究問題——確定解決方案——執(zhí)行解決方案——總結(jié)反思評價”。綱舉目張，有了方案，問題解決就就不會太難。

2.遵循認(rèn)知規(guī)律，逐層推進(jìn)研究

課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力的重要途徑，但僅僅通過課堂教學(xué)還不夠，還要教師引導(dǎo)學(xué)生在具體實踐探索活動中發(fā)展與提高。問題解決的實踐探究是學(xué)生為解決問題而開展的探究活動，包括資料搜集、實地考察和動手操作等實踐方式。教師在引導(dǎo)學(xué)生實施開放題問題解決時，要充分遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，才能事半功倍，否則，事倍功半。由于小學(xué)生年齡小，思維以形象思維為主，抽象思維還有所欠缺。因此，教師要有的放矢地按照由感性到理性、由具體到抽象的教學(xué)思路，引導(dǎo)學(xué)生從實物操作開始，從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，密切聯(lián)系學(xué)生的生活實際，為學(xué)生提供有趣味的、與生活背景有關(guān)的素材，啟發(fā)學(xué)生思考，逐層推進(jìn)研究，最終得出結(jié)論，達(dá)成問題解決的目標(biāo)，并促進(jìn)學(xué)生把在實際問題解決中所用的數(shù)學(xué)思維方法，能遷移類推到后續(xù)遇到的相關(guān)問題中。

在用鐵皮焊水箱的案例中，教師先出示開放題中的鐵皮規(guī)格信息，然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)這些信息思考，說說自己能發(fā)現(xiàn)什么數(shù)學(xué)問題并且提出來。有的學(xué)生提出了“水箱的鐵皮總面積是多少？”的問題；有的學(xué)生提出了“水箱的體積是多少？”的問題；有的學(xué)生提出了“水箱各條棱的棱長總和是多少？”的問題；有的學(xué)生提出了“有幾種焊接方案？”的問題……在此基礎(chǔ)上，筆者出示問題“比一比，誰選的方案最多？”。原來的問題情境變成了一個比賽情境。這樣創(chuàng)設(shè)情境，有利于激發(fā)學(xué)生的探究興趣，而且有助于學(xué)生確認(rèn)自己所要解決的問題，防止浪費時間解決可能根本不存在的問題，還有利于促進(jìn)學(xué)生在情境中思考、探索和合作。果然，學(xué)生很快進(jìn)入問題情境，先獨立分析問題，再解決問題。小組交流時，學(xué)生展示了不同的解決方案：有的從形狀方面考慮，先正方體形狀后長方體形狀；有的從不同規(guī)格的鐵皮張數(shù)考慮，先1種規(guī)格，再2種不同規(guī)格，后3種不同規(guī)格；有的從水箱的面考慮，先考慮底面再考慮側(cè)面……全班交流后，所有方案都全了，但體積只有4種可能，分別是0.4×0.4×0.4=0.064（立方米）、0.4×0.4×0.5=0.08（立方米）、0.6×0.4×0.5=0.12（立方米）和0.6× 0.4×0.4=0.96（立方米）。學(xué)生為解決問題進(jìn)行的實踐，是學(xué)生通過探究和動手操作逐層研究問題的過程，是發(fā)展學(xué)生問題解決能力不可忽視的途徑。

3.強化彼此關(guān)聯(lián)，達(dá)成能效最優(yōu)

現(xiàn)代教學(xué)觀認(rèn)為，學(xué)生發(fā)展的本質(zhì)是學(xué)生自己通過活動促使自身內(nèi)部運動的結(jié)果，外部作用只能促進(jìn)學(xué)生的自身內(nèi)部運動，肯定起不了替代作用。因此，學(xué)生問題解決能力的發(fā)展歸根結(jié)底是自我實現(xiàn)的過程。問題解決后，教師要努力引導(dǎo)學(xué)生溝通問題解決各環(huán)節(jié)之間的關(guān)聯(lián)，力求達(dá)成能效最優(yōu)。這是因為學(xué)生是學(xué)習(xí)主體，也是發(fā)展主體，教師的主導(dǎo)作用只有通過學(xué)生主體才能發(fā)揮作用。也就是說，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思從發(fā)現(xiàn)問題、提出問題到分析問題、解決問題的全過程，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生評價自己在問題解決過程中的表現(xiàn)。當(dāng)然，學(xué)生反思和評價的目的，不是為了證明自己的方案正確，而是為了對大家提出的所有方案逐一反思和評價，再對方案不斷矯正、不斷優(yōu)化，以便將來解決類似問題時能使用最優(yōu)化問題解決的方案。

鐵皮焊水箱的案例中，學(xué)生反思時，筆者引導(dǎo)學(xué)生先努力回憶自己解決問題的全過程，并對解決問題的每個階段分別進(jìn)行追問，“我這樣思考有沒有遺漏其他信息？”、“除了這種方法，能不能采用其他方法解決問題？”、“我用的這種方法可不可以進(jìn)一步變得更簡潔？”……經(jīng)過這樣追問，學(xué)生就能重新回憶起自己經(jīng)歷問題解決的全過程，從而發(fā)現(xiàn)自己的不足，甚至發(fā)現(xiàn)解決問題的更好方法。反思和總結(jié)過程也是對問題解決能力有所欠缺學(xué)生的一次補救，同樣能促進(jìn)學(xué)生問題解決能力的提升。

總之，小學(xué)生進(jìn)行開放題問題解決，不僅需要相關(guān)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識，而且要能對這些知識進(jìn)行有意義的組合，這樣才能形成問題解決方案，并從各種解決方案中尋求一種最滿意的方案，在基礎(chǔ)上解決問題，反思整個問題解決過程，從而使問題解決對新課程標(biāo)準(zhǔn)中的相關(guān)理念傳播和有效實施起到積極的推動作用。

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社,2011.11.

[2]黃光榮.數(shù)學(xué)思維,數(shù)學(xué)教學(xué)與問題解決[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2004（4）.

[3]張奠宙,宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論[M].北京：高等教育出版社, 2004.

[4]鄭毓信.問題解決和數(shù)學(xué)教育[M].南京：江蘇教育出版社,1994.

[5]張雨強,馮翠典.開放題編制的理論與技術(shù)研究[M].上海：華東師范大學(xué)出版社,2009.

[6]楊傳岡,徐正洲.小學(xué)數(shù)學(xué)開放題舉一反三[M].江蘇：南京大學(xué)出版社,2014.

（組稿：楊傳岡 編輯：胡 璐）

蔡文平，中共黨員，中小學(xué)高級教師，江蘇省優(yōu)秀教育工作者，泰州市學(xué)科帶頭人，多次在市基本功比賽中獲一等獎，先后有多篇文章在省級刊物發(fā)表；李海東，中小學(xué)高級教師，泰州市學(xué)科帶頭人，多次在市基本功比賽中獲一等獎，先后有30多篇文章在省級刊物發(fā)表。

本文系全國教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃教育部重點課題“數(shù)學(xué)開放題對小學(xué)生思維發(fā)展的具體影響評測”研究成果，項目編號：DHA140327。

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1671-0568（2015）34-0088-03