鮑建寬

（黑龍江工程學(xué)院 測(cè)繪工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150050）

誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)是測(cè)繪工程、地理信息、航測(cè)與遙感等測(cè)繪類專業(yè)的一門專業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)課。課程內(nèi)容融合了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、測(cè)量學(xué)等幾門課程的基礎(chǔ)知識(shí)，理論與實(shí)踐并重，是測(cè)量數(shù)據(jù)處理的重要手段和主要方法。該課程的教學(xué)質(zhì)量和效果，對(duì)后續(xù)的其它測(cè)繪專業(yè)課程的學(xué)習(xí)以及從事測(cè)繪生產(chǎn)和科研工作都具有重要影響。

測(cè)量平差基礎(chǔ)作為一門用于處理測(cè)量數(shù)據(jù)的應(yīng)用數(shù)學(xué)，具有較強(qiáng)的理論性，概念抽象、方程復(fù)雜、公式繁多，內(nèi)容單調(diào)枯燥，學(xué)習(xí)入門較難。但其內(nèi)容也有邏輯性較強(qiáng)的特點(diǎn)，只要正確理解掌握其基本原理和概念的意義、背景和適用條件，記憶一些符號(hào)的表示約定，就比較容易明了課程的整體內(nèi)容體系以及各部分內(nèi)容間的關(guān)系，進(jìn)而明了測(cè)量平差解決測(cè)量實(shí)際問題的方法步驟。本文就測(cè)量平差基礎(chǔ)教學(xué)內(nèi)容的一些重要問題進(jìn)行探討。

1 誤差理論的問題

1.1 中誤差概念的理解

中誤差（或方差）是誤差理論的重要基本概念之一，是衡量測(cè)量精度的一個(gè)最常用指標(biāo)。方差是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的概念，其定義為

方差的平方根即為中誤差

它反映隨機(jī)變量的取值在其中心位置附近的分散程度。依據(jù)觀測(cè)誤差的性質(zhì)，把中誤差引入到誤差理論中，作為衡量觀測(cè)精度的絕對(duì)指標(biāo)。但在學(xué)習(xí)過程的一些實(shí)際應(yīng)用中，往往混淆中誤差與真誤差的區(qū)別與聯(lián)系。

例如，已知A，B兩點(diǎn)間的高差為1.500m（可視為真值），在相同觀測(cè)條件下進(jìn)行兩次測(cè)量作業(yè)，結(jié)果為：h1＝1.501m；h2＝1.495m。試問哪一個(gè)結(jié)果的測(cè)量精度高？正確結(jié)論應(yīng)是精度相同。但一些同學(xué)認(rèn)為h1偏離真值1mm（真誤差Δ1＝-1mm），而h2偏離真值5mm（真誤差Δ2＝5mm），h1當(dāng)然優(yōu)于h2，亦即h1精度高。這就是理解中誤差的概念出現(xiàn)了錯(cuò)誤。在關(guān)于真誤差與中誤差概念的教學(xué)時(shí)，應(yīng)特別說明以下幾個(gè)方面：

1）真誤差是真值與觀測(cè)值的差值，是一個(gè)具體的觀測(cè)結(jié)果。在相同觀測(cè)條件下，真誤差有大有小、有正有負(fù)，只要不超過限值都是偶然誤差（合格觀測(cè)值），且精度相同。若觀測(cè)條件不相同，比較兩個(gè)真誤差的大小是無意義的，亦即其值的大小不能表示與精度之間的關(guān)系。

2）為了衡量在一定觀測(cè)條件下，觀測(cè)值偏離真值的平均值，亦即真誤差（偶然誤差）偏離0值的平均值，采用真誤差絕對(duì)值的平均值—平均誤差為指標(biāo)。注意平均誤差不是中誤差的平均值（因偶然誤差具有對(duì)稱性，平均值趨于0），而是真誤差絕對(duì)值的平均值。由于計(jì)算中有絕對(duì)值，不方便后續(xù)的方程、公式的推導(dǎo)，所以測(cè)繪學(xué)中不常采用此指標(biāo)。

3）中誤差在一定意義上類似平均誤差，同樣反映在一定觀測(cè)條件下，觀測(cè)值偏離真值的平均值。計(jì)算解釋：一組真誤差（偶然誤差）有正有負(fù)，取真誤差的平方值（全部為正值，類似取絕對(duì)值），計(jì)算真誤差平方值的平均值——方差，方差的平方根即為中誤差。

4）真誤差是一個(gè)具體的觀測(cè)結(jié)果，其大小只要不超過限差皆可接受，無關(guān)精度。而中誤差是根據(jù)一組相同條件下獲取的真誤差統(tǒng)計(jì)出的一個(gè)指標(biāo)值，其大小反映一定觀測(cè)條件下偶然誤差取值大小的分布，即精度的高低。

1.2 根據(jù)雙觀測(cè)值之差計(jì)算單位權(quán)中誤差的方法

根據(jù)雙觀測(cè)值之差計(jì)算單位權(quán)中誤差的算式為

在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)式（3）中分母的2是要還是不要往往有爭(zhēng)議。例如，為檢測(cè)一幅地形圖的測(cè)量精度，檢測(cè)了50個(gè)地物點(diǎn)的坐標(biāo)，把檢測(cè)點(diǎn)展繪到地形圖上，量取檢測(cè)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)原地物點(diǎn)間距為di（i＝1，2，…，50），試統(tǒng)計(jì)地形圖的測(cè)量精度，應(yīng)如何計(jì)算。

其實(shí)，對(duì)于式（3）的適用條件是很清楚的：同一個(gè)量在相同條件下觀測(cè)兩次（稱為一個(gè)觀測(cè)對(duì)，其精度相同，權(quán)都是pi），其差值為di，根據(jù)n個(gè)觀測(cè)對(duì)的結(jié)果計(jì)算單位權(quán)中誤差的算式即為式（3）。對(duì)于前述的例子，計(jì)算測(cè)量精度時(shí)，首先要明確檢測(cè)時(shí)的測(cè)量條件，如果檢查時(shí)和原來測(cè)圖時(shí)的條件（儀器、方法）相同，即符合式（3）的適用條件；如果檢測(cè)時(shí)采用的儀器比原來測(cè)圖儀器精度高出一級(jí)，計(jì)算測(cè)量精度時(shí)就不能采用式（3），要去掉式中的2，此時(shí)的d已不是雙觀測(cè)值之差，其實(shí)就是真誤差。

1.3 誤差傳播率的計(jì)算問題

1）誤差傳播率的含義。在學(xué)習(xí)誤差傳播率時(shí)，首先要明確誤差傳播率的含義：反映觀測(cè)量的精度與其函數(shù)的精度之間的規(guī)律，稱為誤差傳播率，即誤差傳播率是解決依據(jù)觀測(cè)量的精度指標(biāo)計(jì)算觀測(cè)量函數(shù)的精度指標(biāo)的問題。精度指標(biāo)有方差、協(xié)因數(shù)，相應(yīng)的就是方差傳播率和協(xié)因數(shù)傳播率。要注意的是，沒有權(quán)的傳播率要計(jì)算權(quán)，先依據(jù)協(xié)因數(shù)傳播率計(jì)算協(xié)因數(shù)，再由權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系求權(quán)值。

2）傳播率的公式記憶方法。方差傳播率的矩陣表達(dá)式為

初學(xué)者往往不易記住公式的具體形式，其實(shí)注意兩點(diǎn)即可：第一，函數(shù)的方差陣等于函數(shù)的系數(shù)陣、觀測(cè)量的方差陣和系數(shù)陣的轉(zhuǎn)置矩陣三個(gè)矩陣的乘積；第二，根據(jù)各矩陣的維數(shù)和矩陣可乘的條件判斷記憶公式的正確性。此外，還可以用下面的方法記憶傳播率公式。

對(duì)于觀測(cè)量xi的線性函數(shù)y，其純量表達(dá)式為

對(duì)式（5）進(jìn)行微分（對(duì)非線性函數(shù)亦然），并用真誤差表示為

若用矩陣表示觀測(cè)量的函數(shù)，則

把式（7）表示為真誤差之間的關(guān)系式：ΔY＝KΔX，并轉(zhuǎn)置得兩式相乘得

協(xié)因數(shù)傳播率的形式和方差傳播率的形式是一樣的，只需把方差、協(xié)方差替換為協(xié)因數(shù)和互協(xié)因數(shù)即可。

3）利用傳播率解決實(shí)際問題的計(jì)算步驟。

第一步：明確觀測(cè)量，表示出觀測(cè)向量X，寫出觀測(cè)向量的方差陣DXX；

第二步：建立待求量Y與觀測(cè)量X 的函數(shù)關(guān)系，見式（8）。若為非線性函數(shù)要線性化（全微分即可）；

第三步：利用式（4）進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算時(shí)注意單位的統(tǒng)一。

在“誤差傳播率的應(yīng)用”教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)上述三個(gè)步驟，按此思路，則無論是一般的誤差傳播率計(jì)算問題還是實(shí)際應(yīng)用問題，都能做到思路清楚、順利解題。即便是在各種平差法中的精度評(píng)定問題亦是如此。

1.4 有關(guān)誤差理論的作業(yè)練習(xí)

在教學(xué)過程中對(duì)有關(guān)誤差理論的概念、計(jì)算方法、實(shí)際應(yīng)用等問題，通過重點(diǎn)分析講解、總結(jié)討論以助理解，這僅是學(xué)習(xí)的一個(gè)環(huán)節(jié)，還要通過適當(dāng)?shù)淖鳂I(yè)練習(xí)來強(qiáng)化鞏固學(xué)習(xí)效果。如果作業(yè)練習(xí)不夠，往往是看著明白，一旦遇到問題就沒了思路、無從下手。對(duì)作業(yè)習(xí)題要有一定的數(shù)量保證外，還要在練習(xí)題的設(shè)計(jì)上下功夫，首先是針對(duì)單一概念的簡(jiǎn)單問題，然后是面向?qū)嶋H應(yīng)用的綜合性問題。

2 平差方法的問題

2.1 必要觀測(cè)個(gè)數(shù)的確定方法

確定平差問題中的必要觀測(cè)個(gè)數(shù)，是正確建立平差函數(shù)模型的第一步，也是關(guān)鍵的一步。對(duì)這個(gè)問題，初學(xué)者往往理解不透，特別是一些復(fù)雜的控制網(wǎng)。在教學(xué)中明確以下概念有助于此類問題的解決：

1）必要元素：或稱為必要量，是唯一確定模型所必須知道的元素，個(gè)數(shù)用tm表示。

2）必要觀測(cè)元素：或稱為必要觀測(cè)量、必要觀測(cè)值，是指必要元素中需要觀測(cè)才能確定的量，個(gè)數(shù)用t表示。

3）必要起算元素：或稱為必要起算數(shù)據(jù)、配置元素，是指在必要元素中不能通過本次（期）觀測(cè)作業(yè)獲得的量，個(gè)數(shù)用t0表示。

上述三者的關(guān)系是：t＝tm-t0，這個(gè)關(guān)系式也是確定必要觀測(cè)個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)。如果平差問題中的起算數(shù)據(jù)除去必要的以外，還有tr個(gè)多余的起算數(shù)據(jù)，則必要觀測(cè)個(gè)數(shù)相應(yīng)的要減少tr個(gè)，即

只要明確各類控制網(wǎng)的tm，t0個(gè)數(shù)，據(jù)式（10）就很容易確定必要觀測(cè)個(gè)數(shù)。

水準(zhǔn)網(wǎng)：tm＝總點(diǎn)數(shù)，t0＝1（一個(gè)點(diǎn)的高程），tr＝（已知點(diǎn)數(shù)-1）＋已知高差個(gè)數(shù)；

平面測(cè)角網(wǎng)：tm＝總點(diǎn)數(shù)×2，t0＝4（一個(gè)點(diǎn)的平面坐標(biāo)、一條邊長、一條邊的方位角），tr＝2（已知點(diǎn)數(shù)-1）＋（已知邊個(gè)數(shù)-1）＋（已知方位角個(gè)數(shù)-1）＋固定角個(gè)數(shù)；

平面測(cè)邊網(wǎng)：與平面測(cè)角網(wǎng)相同，只是t0＝3；

平面測(cè)方向網(wǎng)：與平面測(cè)角網(wǎng)相同，只是tm＝總點(diǎn)數(shù)×2＋測(cè)站點(diǎn)個(gè)數(shù)；

觀測(cè)坐標(biāo)的平面網(wǎng)（平面圖形數(shù)字化）：tm＝總點(diǎn)數(shù)×2，t0＝0，tr＝固定角個(gè)數(shù)＋固定邊個(gè)數(shù)；

GPS網(wǎng)：tm＝總點(diǎn)數(shù)×3，t0＝3（一個(gè)點(diǎn)的三維坐標(biāo)），tr＝3（已知點(diǎn)數(shù)-1）。

2.2 條件方程的列立原理

在必要觀測(cè)的基礎(chǔ)上，每增加一個(gè)多余觀測(cè)就產(chǎn)生一個(gè)條件方程。條件方程產(chǎn)生的根本原因是：因?yàn)槎嘤嘤^測(cè)值的存在，使得同一個(gè)量有兩個(gè)值為Z與Z′，這兩個(gè)值就起到了檢核作用，其平差值應(yīng)相等，或者其平差值的差值應(yīng)為0。這就是條件方程列立的基本原理，表示為

例如，三角形圖形條件：測(cè)量2個(gè)角度即可確定三角形，再增測(cè)一個(gè)角度，由于三角形內(nèi)角和已知為180°，測(cè)三個(gè)角亦可計(jì)算出三角形內(nèi)角和，則內(nèi)角和的測(cè)量值與已知值就產(chǎn)生一個(gè)檢核條件，即為圖形條件。

同理可列出平面網(wǎng)的水平條件（圓周條件）、極條件、坐標(biāo)條件、方位條件、邊長條件、正弦條件、余弦條件等等。

2.3 誤差方程的列立原理

把觀測(cè)方程式（12）線性化，即得誤差方程。

2.4 精度評(píng)定的內(nèi)容與方法

精度評(píng)定的內(nèi)容與計(jì)算方法，在各種平差法中的計(jì)算內(nèi)容一樣，計(jì)算方法略有不同。依據(jù)權(quán)的定義，可得

由式（14）可見：要計(jì)算某量的方差，只要計(jì)算出單位權(quán)方差和該量的協(xié)因數(shù)即可。計(jì)算單位權(quán)方差和待求量的協(xié)因數(shù)，即為精度評(píng)定的內(nèi)容。

2.4.1 單位權(quán)方差的計(jì)算

單位權(quán)方差的算式為

所有最小二乘平差法中，單位權(quán)方差的算式都是式（15），只是VTPV值的計(jì)算方法，如果不由V直接計(jì)算，間接計(jì)算VTPV值的方法有一些差異。

2.4.2 某量平差值的協(xié)因數(shù)計(jì)算

計(jì)算某量平差值的協(xié)因數(shù)的方法，亦遵從傳播率計(jì)算的三個(gè)步驟。第一步，為了計(jì)算方便，此時(shí)的觀測(cè)值不用原始觀測(cè)值L，而是觀測(cè)值L的函數(shù)：條件平差時(shí)用觀測(cè)值的平差值，其協(xié)因數(shù)為＝Q-QA；間接平差時(shí)用參數(shù)平差值，其協(xié)因數(shù)為＝；第二步，建立待評(píng)定精度的量與觀測(cè)值（非原觀測(cè)值L，而是或）之間的函數(shù)關(guān)系式，此處稱為權(quán)函數(shù)式。條件平差的權(quán)函數(shù)式為：；間接平差的權(quán)函數(shù)式為：＝；第三步，利用傳播率式（4）進(jìn)行計(jì)算。最后，由式（14）計(jì)算的方差及中誤差。

2.5 有關(guān)平差方法的作業(yè)練習(xí)

由于測(cè)量平差實(shí)踐性強(qiáng)，實(shí)際應(yīng)用中計(jì)算量大。在教學(xué)過程中，為加強(qiáng)對(duì)平差方法的理解掌握，除做一些控制網(wǎng)必要觀測(cè)個(gè)數(shù)和多余觀測(cè)個(gè)數(shù)的確定、各類條件方程的建立方法、各類誤差方程的建立方法、各種平差方法的法方程組成與計(jì)算、平差值的計(jì)算方法、精度計(jì)算的方法等單項(xiàng)練習(xí)外，還要有測(cè)繪工程項(xiàng)目控制網(wǎng)平差的綜合性練習(xí)。由于綜合性平差練習(xí)計(jì)算量大，在集中練習(xí)時(shí)手工計(jì)算會(huì)花費(fèi)很多時(shí)間，往往讓學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)有平差軟件并用平差軟件完成較大型平差問題的解算。這樣很不利于學(xué)生對(duì)平差過程的理解與掌握，起不到強(qiáng)化學(xué)習(xí)的過程，反而認(rèn)為平差課程無用。在做這類大型習(xí)題練習(xí)時(shí)，若沿襲手工計(jì)算方法是不合時(shí)宜的，而僅僅練習(xí)一下平差軟件的用法也是不可取的。由于在平差課程學(xué)習(xí)以前，學(xué)生至少已經(jīng)熟悉office excel的一般內(nèi)容（甚至有些還同時(shí)學(xué)習(xí)matlab課程），利用excel的函數(shù)計(jì)算功能，讓學(xué)生在excel表格上分步完成控制網(wǎng)平差。這樣，在表格上完整展現(xiàn)整個(gè)平差過程、各計(jì)算步驟之間的數(shù)據(jù)關(guān)系與流程，有手工計(jì)算表格清楚反映計(jì)算過程的優(yōu)勢(shì)，而沒有手工計(jì)算繁雜量大的缺點(diǎn)。既強(qiáng)化對(duì)平差理論與方法的理解，又初步建立軟件設(shè)計(jì)的概念。最后介紹、使用現(xiàn)有平差軟件，更能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)實(shí)現(xiàn)測(cè)量平差自動(dòng)化、智能化的優(yōu)勢(shì)與途徑。

3 結(jié)束語

誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)課程具有理論性強(qiáng)、教材中概念抽象、公式和名詞術(shù)語較多、內(nèi)容顯得散亂，而邏輯性較強(qiáng)的特點(diǎn)，使得初學(xué)者入門困難。在教學(xué)過程中，必須在教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段等方面的改革上下功夫，投入較大精力進(jìn)行探索研究。還要基于課程特點(diǎn)，依據(jù)內(nèi)容的邏輯關(guān)系，首先了解課程的主要內(nèi)容框架，再依各內(nèi)容模塊進(jìn)行教學(xué)，注重理解基本概念的意義和適用條件、相關(guān)內(nèi)容的系統(tǒng)性，并加強(qiáng)作業(yè)習(xí)題練習(xí)，以提高本課程的教學(xué)質(zhì)量與效果。

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