曾賢敏，黃 騰，李桂華，周 帆

（河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京210098）

灰色預(yù)測(cè)［1］是指對(duì)系統(tǒng)行為特征值的發(fā)展變化進(jìn)行的預(yù)測(cè)，對(duì)既含有已知信息又含有不確定信息的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，在一定范圍內(nèi)變化的、與時(shí)間序列有關(guān)的灰過程進(jìn)行預(yù)測(cè)。使用最廣泛的灰色預(yù)測(cè)模型就是關(guān)于數(shù)列預(yù)測(cè)的一個(gè)變量、一階微分的GM（1，1）模型，GM（1，1）模型對(duì)時(shí)間序列短、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)少、信息不完全系統(tǒng)的建模與分析，具有獨(dú)特的優(yōu)越性［2-4］。

目前，工程界進(jìn)行沉降預(yù)測(cè)主要采用GM（1，1）模型，傳統(tǒng)的GM（1，1）模型存在不足，對(duì)于任何一個(gè)灰色系統(tǒng)而言，隨著時(shí)間的發(fā)展，會(huì)出現(xiàn)一些擾動(dòng)因素不斷地對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生影響，所以傳統(tǒng)的GM（1，1）模型對(duì)于原始序列之后的1、2期數(shù)據(jù)有較高的預(yù)測(cè)精度，可越往后預(yù)測(cè)意義就越低。為了彌補(bǔ)上述缺陷，引入了新陳代謝GM（1，1）模型，一方面它繼承了傳統(tǒng)GM（1，1）模型的優(yōu)點(diǎn)，另一方面它能更新數(shù)據(jù)序列的初始值及時(shí)系統(tǒng)的擾動(dòng)因素考慮進(jìn)去，去掉失去預(yù)測(cè)意義的老數(shù)據(jù)對(duì)原始時(shí)間序列進(jìn)行新陳代謝，提高模型的預(yù)測(cè)精度。

本文以南方某大壩邊坡監(jiān)測(cè)點(diǎn)的沉降位移為例，用新陳代謝GM（1，1）模型對(duì)沉降位移進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)，事實(shí)證明其擬合預(yù)測(cè)精度高于傳統(tǒng)GM（1，1）模型，值得推廣使用。

1 建立模型

1.1 傳統(tǒng) GM（1，1）模型

傳統(tǒng)GM（1，1）模型是基于隨機(jī)的原始時(shí)間序列，經(jīng)按時(shí)間累加后形成的新的時(shí)間序列呈現(xiàn)的規(guī)律可用一階線性微分方程的解來(lái)逼近。傳統(tǒng)GM（1，1）預(yù)測(cè)模型的建立［5］：

設(shè)非負(fù)離散等間隔數(shù)列為

對(duì)x（0）作一次累加

得到生成數(shù)列為

于是x（0）（k）的 GM（1，1）白化微分方程為

式中：a，u為待定參數(shù)，a為發(fā)展系數(shù)，反映x的發(fā)展趨勢(shì)；u為灰色作用量，反映數(shù)據(jù)間的變化關(guān)系。并記a，u構(gòu)成的矩陣為灰參數(shù)

對(duì)累加生成數(shù)據(jù)做均值生成B與常數(shù)項(xiàng)向量Y，即

還原原始數(shù)據(jù)得

1.2 新陳代謝GM（1，1）模型

灰色新陳代謝GM（1，1）模型是將原始時(shí)間序列更新改進(jìn)傳統(tǒng)GM（1，1）模型。其建模原理為將傳統(tǒng) GM（1，1）模型中的原始序列x（0）＝ ｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝的最老信息x（0）（1）去除，同時(shí)置入最新數(shù)據(jù) x（0）（n＋1），用全新的數(shù)據(jù)序列x（0）＝｛x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n＋1）｝重 新 建 立GM（1，1）模型，進(jìn)行一維新陳代謝GM（1，1）預(yù)測(cè)，如此反復(fù)，隨著時(shí)間序列的發(fā)展，依次遞補(bǔ)建立n維新陳代謝模型，直到完成預(yù)測(cè)目標(biāo)達(dá)到預(yù)測(cè)精度，即為灰色新陳代謝GM（1，1）模型。

2 模型精度檢驗(yàn)

模型的檢驗(yàn)是模型建立后必不可少的工作，常用的灰色預(yù)測(cè)模型檢驗(yàn)方法一般有殘差檢驗(yàn)，關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)。本文采用殘差合格模型［6-10］評(píng)判模型精度，該檢驗(yàn)法是由相對(duì)誤差和平均相對(duì)誤差共同描述。設(shè)原始序列為

用經(jīng)過預(yù)測(cè)得到的模擬序列：

則殘差序列為

可得相對(duì)殘差序列：

表1 精度檢驗(yàn)等級(jí)參照表

3 實(shí)例分析

本文以南方某大壩邊坡監(jiān)測(cè)點(diǎn)的沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例驗(yàn)證新陳代謝GM（1，1）模型在大壩邊坡沉降監(jiān)測(cè)中應(yīng)用的可行性。其所測(cè)數(shù)據(jù)見表2。

自2013-05-01開始每隔15d進(jìn)行一次觀測(cè)，本文取前11期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)資料進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。使用前8期觀測(cè)數(shù)據(jù)作為原始時(shí)間序列建立傳統(tǒng)GM（1，1）模型，對(duì)前8期的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合并預(yù)測(cè)第9～11期數(shù)據(jù)。然后建立一維新陳代謝GM（1，1）模型，去除第1期數(shù)據(jù)加入第9期數(shù)據(jù)，用更新過的數(shù)據(jù)序列再次建立GM（1，1）模型，對(duì)第2～8期數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合并預(yù)測(cè)第9～11期數(shù)據(jù)，依次遞補(bǔ)建立n維新陳代謝模型直到滿足預(yù)測(cè)精度要求。本次實(shí)驗(yàn)計(jì)算均通過MATLAB R2008a編程完成。

表2 監(jiān)測(cè)點(diǎn)沉降監(jiān)測(cè)資料

3.1 建立傳統(tǒng)GM（1，1）模型

使用大壩邊坡監(jiān)測(cè)點(diǎn)前8期沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為原始時(shí)間序列：

對(duì)x（0）作一次累加得

進(jìn)而得到原始數(shù)據(jù)：

3.2 建立新陳代謝GM（1，1）模型

去除第1期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，使用第2～9期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為原始時(shí)間序列：

使用新x（0）建立一維新陳代謝 GM（1，1）模型可得到原始數(shù)據(jù)：

同理使用第3～10期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建立二維新陳代謝GM（1，1）模型得到原始數(shù)據(jù)：

3.3 模型精度分析

分別使用上述建立的三種模型對(duì)前8期數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如表3所示。

表3 擬合效果檢驗(yàn)表

利用殘差合格模型對(duì)模擬效果進(jìn)行精度評(píng)定，可以看到傳統(tǒng)GM（1，1）模型中相對(duì)誤差Δ8＝1.98%，平均相對(duì)誤差屬于二級(jí)精度，利用同類方法對(duì)其他兩種模型的模擬效果進(jìn)行精度評(píng)定，評(píng)定結(jié)果如表4所示。

表4 擬合效果精度評(píng)定表

通過表3可知，擬合值與實(shí)際值的最大殘差出現(xiàn)在傳統(tǒng)GM（1，1）模型中，二維新陳代謝 GM（1，1）模型擬合值殘差最小。通過表4可知，新陳代謝GM（1，1）模型擬合精度要高于傳統(tǒng)GM（1，1）模型，且隨著新陳代謝維度的增加擬合精度也會(huì)越高，一維新陳代謝GM（1，1）模型已經(jīng)達(dá)到一級(jí)精度要求，二維新陳代謝GM（1，1）模型的擬合精度高于一維新陳代謝GM（1，1）模型，達(dá)到預(yù)期擬合效果。

通過以上實(shí)驗(yàn)可得新陳代謝GM（1，1）模型擬合精度高于傳統(tǒng)GM（1，1）模型，分別利用以上模型對(duì)第9～11期觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表5所示。

表5 預(yù)測(cè)效果檢驗(yàn)表

利用殘差合格模型對(duì)模擬效果進(jìn)行精度評(píng)定，評(píng)定結(jié)果如表6所示。

表6 預(yù)測(cè)效果精度評(píng)定表

觀察表5，新陳代謝GM（1，1）模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值殘差小于傳統(tǒng)GM（1，1）模型，預(yù)測(cè)效果也逐步提高。通過表6可知，新陳代謝GM（1，1）模型預(yù)測(cè)精度高于傳統(tǒng)GM（1，1）模型，且隨著新陳代謝維數(shù)的增加預(yù)測(cè)精度也會(huì)越高，二維新陳代謝GM（1，1）模型預(yù)測(cè)精度達(dá)到一級(jí)，達(dá)到預(yù)期效果。

4 結(jié) 論

GM（1，1）模型已經(jīng)成為工程界對(duì)沉降監(jiān)測(cè)位移進(jìn)行預(yù)測(cè)的重要方法，在利用傳統(tǒng)GM（1，1）模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)必須看到它的不足之處，重視建筑物在發(fā)展過程中隨時(shí)進(jìn)入的擾動(dòng)因素，由此引入新陳代謝GM（1，1）模型。本文結(jié)合南方某大壩邊坡監(jiān)測(cè)點(diǎn)的沉降位移為例建立傳統(tǒng)GM（1，1）模型與新陳代謝GM（1，1）模型分別進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)。通過對(duì)比分析可得：

1）沉降預(yù)期結(jié)果的精度取決于預(yù)測(cè)模型的選擇，本文通過去除老數(shù)據(jù)加入最新數(shù)據(jù)建立的新陳代謝GM（1，1）模型在預(yù)測(cè)時(shí)融入了未來(lái)的噪聲，避免傳統(tǒng)GM（1，1）模型預(yù)測(cè)值由隨著時(shí)間的發(fā)展與實(shí)際值偏差越來(lái)越大，而失去預(yù)測(cè)的意義。

2）新陳代謝GM（1，1）模型對(duì)大壩邊坡沉降位移模擬預(yù)測(cè)精度明顯高于傳統(tǒng)GM（1，1）模型，且隨著時(shí)間序列的更新精度越高，二維新陳代謝GM（1，1）模型的模擬預(yù)測(cè)精度可達(dá)到一級(jí)，說明新陳代謝模型進(jìn)行模擬預(yù)測(cè)時(shí)合理可靠，值得類似工程借鑒使用。

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