盧獻健，晏紅波，梁月吉，任 超

(1.桂林理工大學(xué)測繪地理信息學(xué)院，廣西桂林541004;2.廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西桂林541004)

一、引 言

GPS高程擬合精度在實際工程應(yīng)用中尤為重要，擬合模型有多種形式，常用的高程異常擬合方法有多項式曲面擬合、多面函數(shù)法擬合、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合、最小二乘法擬合、主成分估計法擬合等。在GPS高程擬合中，不同的模型對高程的預(yù)測精度都不一樣，且不同模型對同一高程點的預(yù)測結(jié)果也不一樣，每一種模型都存在自身的優(yōu)缺點，使得預(yù)測結(jié)果達不到全局最優(yōu)。本文主要對將最優(yōu)非負變權(quán)模型引入到GPS高程擬合中的可行性進行研究，并與最優(yōu)加權(quán)組合模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型進行比較。算例結(jié)果表明，最優(yōu)非負變權(quán)模型以動態(tài)的權(quán)值不斷更新擬合模型，預(yù)測結(jié)果和預(yù)測精度都優(yōu)于單一模型、最優(yōu)加權(quán)組合模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，在GPS高程擬合中具有一定的意義。

二、組合模型的建立

1.最優(yōu)加權(quán)組合模型

最優(yōu)加權(quán)組合模型的建立如下［1-2］:

設(shè)構(gòu)建3個單模型yj(j=1，2，3)，組成高程擬合模型Y3=ψ(y1，y2，y3)。設(shè)組合模型中各模型的權(quán)重向量，并取此時，組合模型的形式為

若某個單模型的擬合殘差為

則各模型可構(gòu)成擬合殘差矩陣

通過對誤差平方和在最小二乘原理下求解數(shù)學(xué)規(guī)劃得到組合模型的最優(yōu)權(quán)重。其目標函數(shù)和約束條件為

令R=1 1…[]1T，得

對式(5)用Laplace乘子法求解，得

則最優(yōu)權(quán)重向量為

目標函數(shù)的最小值為

2.BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法是基于模仿人類大腦的結(jié)構(gòu)和功能的一種新型信息處理算法。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法中的一種，由Rumelhart等于1986年創(chuàng)立，它是基于多層前向神經(jīng)采用誤差反方向傳播的學(xué)習(xí)算法進行權(quán)值調(diào)整，以得到擬合精度較高的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［3-5］。

BP網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計一般分為輸入轉(zhuǎn)換層、輸入層、隱含層、輸出層、輸出轉(zhuǎn)換層，以及各層節(jié)點、傳輸函數(shù)、訓(xùn)練函數(shù)等。對于本次多因子的高程異常值網(wǎng)絡(luò)計算步驟如下:

(1)學(xué)習(xí)和測試樣本的確定

考慮到水位、溫度等大壩影響因子，建立大壩變形與影響因子之間的相關(guān)性，將變形影響因子納入到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中進行訓(xùn)練，選取前15期數(shù)據(jù)作為學(xué)習(xí)訓(xùn)練樣本，目標輸出樣本為大壩實際變形值，將最后15期的數(shù)據(jù)作為測試樣本。

(2)學(xué)習(xí)樣本的歸一化

由于大壩變形數(shù)據(jù)樣本(溫度、水壓和估計值)的單位和量綱都不相同，并且為消除輸入變量的絕對值相差過大，避免神經(jīng)元“過擬合”現(xiàn)象，經(jīng)過歸一化的數(shù)據(jù)對模型邊緣點有更強的泛化能力［5］，因此在進行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練前，必須對樣本進行歸一化處理，公式如下［6］:

式中，y 為原始的樣輸入數(shù)據(jù);xmin、xmax、ymin、ymax是樣本中各輸入對應(yīng)的最大值和最小值;y為歸一化后的樣本。

3.最優(yōu)非負變權(quán)組合預(yù)測模型的建立

最優(yōu)非負變權(quán)組合模型的建立如下［6-8］:

設(shè)某高程異常值為Yt，用以上3種單項預(yù)測模型對其進行建模擬合，其擬合值為Yit，表示第i種單一模型對第t高程異常點的擬合值，其中i=1，2，3，t=1，2，…，n。令

設(shè)eit、et分別為第i種單一模型和組合模型在

第t個高程異常點的擬合誤差，則

得出

則由以上公式可確定最優(yōu)非負變權(quán)系數(shù)的規(guī)劃模式

本文主要以預(yù)測誤差平方和最小為目標，通過規(guī)劃方法求解各高程擬合值的權(quán)系數(shù)。

三、精度評定

為綜合評定模型的精度，本文采用均方誤差、平均絕對值誤差、平均絕對百分比誤差進行最優(yōu)非負變權(quán)組合模型在高程異常值預(yù)測中的評定［9］。

1)均方誤差(MSE)為

2)平均絕對誤差(MAE)為

3)平均絕對百分比誤差(MAPE)為

四、算例分析

本文以文獻［10］中最小二乘擬合估計、主成分估計、半?yún)?shù)估計3種單一模型的預(yù)測結(jié)果為試驗數(shù)據(jù)，見表1(3種單一模型本文不作詳細介紹)，采用最優(yōu)加權(quán)組合模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型、最優(yōu)非負變權(quán)組合模型進行異常值預(yù)測。經(jīng)Matlab編程計算，得出各組合模型運算的結(jié)果見表2，各模型的精度對比分析結(jié)果見表3。

表1 單一模型的預(yù)測值結(jié)果與實際值對比 mm

表2 各組合模型的預(yù)測值結(jié)果與實際值對比 mm

表3 各模型精度對比 mm

由表1和表2可知，最優(yōu)非負變權(quán)組合模型比最小二乘擬合估計、主成分估計、半?yún)?shù)估計的預(yù)測值接近于實際值，預(yù)測效果最好。從表2看出，3種組合模型中，最優(yōu)加權(quán)組合模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型在一定程度上綜合了單一模型的預(yù)測精度，顯然在某些高程異常值的預(yù)測精度低于單一模型，而最優(yōu)非負變權(quán)組合模型預(yù)測精度更高。通過表3綜合精度對比分析，最優(yōu)非負變權(quán)組合模型的三誤差達到最小。

各組合模型預(yù)測值和實際大壩變形值的對比如圖1所示，各組合模型的殘差如圖2所示。

圖1 各模型預(yù)測值和實際高程異常值對比

圖2 各組合模型的殘差圖

由圖1可以看出，3個組合模型的預(yù)測值和實際值相差不是很大，最優(yōu)加權(quán)組合模型比BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測效果好，而最優(yōu)非負變權(quán)組合模型的預(yù)測效果最佳，和實際值都非常接近。由于最優(yōu)非負變權(quán)組合采用動態(tài)變權(quán)的方式，克服了單一模型存在的局限性，綜合了各模型的優(yōu)點，故其預(yù)測精度基本達到全局最優(yōu)。從圖2分析，基于非負變權(quán)組合模型的殘差曲線圖呈一條直線分布，幾乎接近于零，這進一步表明了最優(yōu)非負變權(quán)組合模型的優(yōu)越性。綜上可見，最優(yōu)非負變權(quán)組合模型無論在預(yù)測效果還是預(yù)測精度都優(yōu)于單一模型、最優(yōu)加權(quán)組合模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型，在GPS高程擬合中具有一定的意義。

五、結(jié) 論

本文將最優(yōu)非負變權(quán)組合模型引入到高程異常值中，通過與單一模型、最優(yōu)加權(quán)組合模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型對比，得出以下結(jié)論:最優(yōu)非負變權(quán)組合模型在GPS高程異常值擬合中的應(yīng)用是可行的，其預(yù)測精度與單一模型、最優(yōu)加權(quán)組合模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型的預(yù)測結(jié)果對比，更具優(yōu)越性;該模型充分結(jié)合了各單一模型的優(yōu)點，克服了單一模型在預(yù)測中出現(xiàn)不穩(wěn)定性問題，并通過權(quán)重的改變來提高預(yù)測精度，故其模型的綜合精度遠優(yōu)于單一模型，預(yù)測結(jié)果基本達到全局最優(yōu)。

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