王 興，高井祥，王 堅(jiān)，李增科

(中國礦業(yè)大學(xué)國土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測國家測繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇徐州221116)

一、引 言

在GPS數(shù)據(jù)處理中，需要精確的衛(wèi)星坐標(biāo)和鐘差，可以利用精密星歷給出衛(wèi)星在空間的三維坐標(biāo)及衛(wèi)星鐘改正數(shù)等信息獲得，但是精密星歷是按一定的時(shí)間間隔(15 min或5 min)給出的［1］。因此，需要使用合理的數(shù)學(xué)模型計(jì)算出任意時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)。目前，利用精密星歷求衛(wèi)星坐標(biāo)和鐘差的方法主要有插值法和擬合法兩類，但是在展開級(jí)數(shù)較高的情況下，拉格朗日插值法會(huì)產(chǎn)生振蕩，而與之相比，切比雪夫擬合法則較為穩(wěn)定。因此，在使用精密星歷對(duì)衛(wèi)星坐標(biāo)和鐘差進(jìn)行插值過程中，一般多采用切比雪夫多項(xiàng)式擬合法［2］。

對(duì)于普通的切比雪夫擬合來說，大部分?jǐn)M合時(shí)刻的點(diǎn)位誤差都比較小，擬合精度高，但是也有小部分的誤差較大。擬合時(shí)段的中間部分所得結(jié)果的精度相對(duì)來說比較一致，然而，在計(jì)算靠近擬合時(shí)段兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)刻時(shí)，衛(wèi)星的坐標(biāo)和鐘差會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)跳躍的現(xiàn)象，使得端點(diǎn)時(shí)刻擬合的結(jié)果精度比較低［3］。為了解決這個(gè)問題，提高擬合的精度，本文提出了滑動(dòng)式的切比雪夫算法。

二、切比雪夫多項(xiàng)式

切比雪夫多項(xiàng)式擬合即根據(jù)已知的數(shù)據(jù)擬合出一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，使得這個(gè)函數(shù)在已知點(diǎn)的函數(shù)值與給定的函數(shù)值的方差和最小。根據(jù)精密星歷給出的衛(wèi)星坐標(biāo)，可以擬合出衛(wèi)星坐標(biāo)隨時(shí)間變化的函數(shù)，從而通過這個(gè)函數(shù)求出衛(wèi)星在擬合范圍內(nèi)任意時(shí)刻的衛(wèi)星位置。

由于切比雪夫多項(xiàng)式只適用于自變量區(qū)間為［－1，1］的情況，因此用n階切比雪夫多項(xiàng)式來逼近時(shí)間段［t0，t0+Δt］中的衛(wèi)星星歷時(shí)，要先將變量 t∈［t0，t0+Δt］變換為變量 τ∈［－1，1］，即

于是衛(wèi)星坐標(biāo)(X，Y，Z)的切比雪夫多項(xiàng)式可表示為

式中，n為多項(xiàng)式的階數(shù);Cxi、Cyi、Czi分別為 X 坐標(biāo)分量、Y坐標(biāo)分量、Z坐標(biāo)分量的切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)。

根據(jù)已知的衛(wèi)星坐標(biāo)，用最小二乘法擬合出多項(xiàng)式系數(shù) Cxi、Cyi、Czi，就可用式(2)計(jì)算出該時(shí)段中任一時(shí)刻的衛(wèi)星位置［4］。切比雪夫多項(xiàng)式Ti的遞推公式如下

三、滑動(dòng)式切比雪夫算法

所謂滑動(dòng)式切比雪夫算法，就是不斷地變換擬合區(qū)間，使要插值的點(diǎn)始終處于插值區(qū)間的中心。如第一次選取1～10這10個(gè)已知點(diǎn)，生成9階的切比雪夫多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，但是只使用第5個(gè)已知點(diǎn)和第6個(gè)已知點(diǎn)之間的插值點(diǎn)的結(jié)果，其他點(diǎn)的結(jié)果舍棄不要;第二次選取2～11這10個(gè)已知點(diǎn)，生成9階的切比雪夫多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，同樣只使用第5個(gè)已知點(diǎn)和第6個(gè)已知點(diǎn)之間的插值點(diǎn)的結(jié)果。也就是相當(dāng)于選定一個(gè)長度固定的區(qū)間，然后不斷地讓這個(gè)區(qū)間向右移動(dòng)，每次擬合都只使用處于區(qū)間中心的插值點(diǎn)的結(jié)果。

如圖1所示，矩形內(nèi)的10個(gè)點(diǎn)即為已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，而矩形可視為插值區(qū)間，陰影部分為使用的插值點(diǎn)結(jié)果，每次插值后，插值區(qū)間隨之向右移動(dòng)。

圖1 滑動(dòng)式切比雪夫算法示意圖

由于在已知點(diǎn)中間部分的插值點(diǎn)的精度最好，這樣就使得所有插值點(diǎn)的值都能獲得較高的精度，更大大減少了端點(diǎn)數(shù)據(jù)點(diǎn)附近的插值跳躍現(xiàn)象［5］。因此，這種滑動(dòng)式切比雪夫的算法與普通的切比雪夫算法相比，精度有所提高，數(shù)值較為穩(wěn)定，不會(huì)出現(xiàn)誤差較大的跳躍點(diǎn)，且通過簡單的程序就可以實(shí)現(xiàn)，時(shí)間耗費(fèi)不大，對(duì)于獲得高精度的衛(wèi)星坐標(biāo)和鐘差來說很有意義。

四、算例分析

本文采用的已知數(shù)據(jù)是由JAXA提供的2014年4月 3日間隔 5 min的精密星歷，精密星歷qzfg17864.sp3包含了 2014年 4月 3日 0:00至23:55共288個(gè)歷元、29顆衛(wèi)星的數(shù)據(jù)，選取PRN號(hào)為01的GPS衛(wèi)星分別進(jìn)行普通的切比雪夫擬合和滑動(dòng)式切比雪夫擬合，并對(duì)比分析其結(jié)果。從各方面衡量，切比雪夫多項(xiàng)式的階數(shù)選為9階時(shí)，求得的GPS 衛(wèi)星坐標(biāo)效果較好［6］。

1.普通的切比雪夫擬合

選取以下10個(gè)時(shí)段分別進(jìn)行切比雪夫擬合:1:00—3:15、3:15—5:30、5:30—7:45、7:45—10:00、10:00—12:15、12:15—14:30、14:30—16:45、16:45—19:00、19:00—21:15、21:15—23:30。

在每個(gè)時(shí)段內(nèi)，選取15 min的倍數(shù)點(diǎn)作為已知點(diǎn)，如在第一個(gè)時(shí)段內(nèi)，選取 1:00、1:15、1:30、…、3:15這10個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)，擬合出5 min間隔的插值點(diǎn)坐標(biāo)和鐘差，并與5 min間隔的精密星歷提供的坐標(biāo)和鐘差作對(duì)比，得出誤差結(jié)果。為便于與滑動(dòng)式切比雪夫擬合作對(duì)比，截取1:00—22:45時(shí)間段內(nèi)的坐標(biāo)和鐘差的插值結(jié)果。

2.滑動(dòng)式切比雪夫擬合

選取 0:00、0:15、0:30、…、23:45 這些點(diǎn)作為數(shù)據(jù)點(diǎn)，精密星歷給出了0:00—23:55的以5 min為間隔的衛(wèi)星坐標(biāo)和鐘差，而滑動(dòng)式切比雪夫擬合要保證每個(gè)擬合區(qū)間的前后都有5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，如在擬合1:00—1:15時(shí)間段內(nèi)的坐標(biāo)和鐘差時(shí)，向左選取0:00—1:00這5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，向右選取1:15—2:15這5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。因此，以5 min為間隔擬合出1:00—23:45時(shí)間段內(nèi)的衛(wèi)星坐標(biāo)和鐘差，其中，對(duì)于數(shù)據(jù)點(diǎn)處的坐標(biāo)值和鐘差不進(jìn)行擬合，沿用精密星歷給出的坐標(biāo)值和鐘差。將結(jié)果與精密星歷提供的坐標(biāo)和鐘差作對(duì)比，得出誤差結(jié)果。

3.結(jié)果分析

如圖2—圖4所示，普通的切比雪夫算法大部分的擬合誤差都在－1～1 mm范圍內(nèi)，但是在擬合時(shí)段的端點(diǎn)處經(jīng)常發(fā)生跳躍現(xiàn)象，誤差突然變大，精度降低，穩(wěn)定性比較差。

如圖5—圖7所示，滑動(dòng)式切比雪夫擬合算法的所有坐標(biāo)誤差基本上都在－1～1 mm之間，擬合的結(jié)果較為穩(wěn)定，無明顯跳躍的值，相對(duì)于普通的切比雪夫擬合有了明顯的改善。

如圖8和圖9所示，相比于衛(wèi)星坐標(biāo)的擬合來說，鐘差的兩種擬合方法在精度上的差別相對(duì)較小，但是，從圖中可以明顯看出，滑動(dòng)式切比雪夫擬合所得到的鐘差值穩(wěn)定性較好。

圖2 普通的切比雪夫擬合得到的X坐標(biāo)誤差

圖3 普通的切比雪夫擬合得到的Y坐標(biāo)誤差

圖4 普通的切比雪夫擬合得到的Z坐標(biāo)誤差

圖5 滑動(dòng)式切比雪夫擬合得到的X坐標(biāo)誤差

圖6 滑動(dòng)式切比雪夫擬合得到的Y坐標(biāo)誤差

圖7 滑動(dòng)式切比雪夫擬合得到的Z坐標(biāo)誤差

圖8 普通的切比雪夫擬合得到的鐘差誤差

圖9 滑動(dòng)式切比雪夫擬合得到的鐘差誤差

由表1和表2可以看出，普通的切比雪夫擬合所得到的坐標(biāo)及鐘差的誤差絕對(duì)值最大值要比滑動(dòng)式切比雪夫擬合大很多。

表1 普通的切比雪夫擬合得到的坐標(biāo)和鐘差精度

表2 滑動(dòng)式切比雪夫擬合得到的坐標(biāo)和鐘差精度

五、結(jié) 論

1)總體上來說，滑動(dòng)式切比雪夫擬合的誤差穩(wěn)定性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于普通的切比雪夫擬合，不會(huì)出現(xiàn)明顯的跳躍點(diǎn)，坐標(biāo)的精度提高很多，鐘差的精度提高相對(duì)較少。

2)從計(jì)算效率上看，滑動(dòng)式切比雪夫擬合算法并不復(fù)雜，且與普通的切比雪夫擬合計(jì)算量相當(dāng)，程序?qū)崿F(xiàn)靈活方便。

3)文中滑動(dòng)式切比雪夫擬合所得的為1:00—22:45之間的衛(wèi)星坐標(biāo)和鐘差，若要獲取全天的坐標(biāo)和鐘差，可使用當(dāng)天及前一天、后一天的精密星歷進(jìn)行擬合，也可進(jìn)行外推，不過精度會(huì)有所下降。

［1］李征航，黃勁松.GPS測量與數(shù)據(jù)處理［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2005.

［2］楊學(xué)鋒，程鵬飛，方愛平，等.利用切比雪夫多項(xiàng)式擬合衛(wèi)星軌道坐標(biāo)的研究［J］.測繪通報(bào)，2008(12):1-3.

［3］賴山東，王有亮，黃河清.利用精密星歷計(jì)算衛(wèi)星位置方法的比較［J］.江西測繪，2009(2):35-37，40.

［4］馮煒，薛志宏，邵佳妮，等.兩種常用GPS星歷擬合方法的精度分析［J］.大地測量與地球動(dòng)力學(xué)，2010，30(1):145-149.

［5］洪櫻，歐吉坤，彭碧波.GPS衛(wèi)星精密星歷和鐘差三種內(nèi)插方法的比較［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版，2006，31(6):516-518.

［6］李明峰，江國焰，張凱.IGS精密星歷內(nèi)插與擬合法精度的比較［J］.大地測量與地球動(dòng)力學(xué)，2008，28(2):77-80.