王少輝　王洪濤

摘要：在《高等數(shù)學(xué)》的授課過程中發(fā)現(xiàn)，有些高等數(shù)學(xué)問題用實(shí)變函數(shù)知識(shí)解釋不清，需要用到復(fù)變函數(shù)的相關(guān)理論才能夠清楚地解釋此類問題。而在講解《復(fù)變函數(shù)》的時(shí)候，由于其內(nèi)容絕大多數(shù)都與《高等數(shù)學(xué)》所講授內(nèi)容是類似的，所以會(huì)出現(xiàn)重復(fù)講解、比對(duì)講解等情況，本文針對(duì)這種情況，探討了在《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中把《復(fù)變函數(shù)》穿插進(jìn)去講授的必要性和可行性。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；復(fù)變函數(shù)；類比；對(duì)比

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）04-0063-02

《復(fù)變函數(shù)》是自然科學(xué)與工程技術(shù)中常用的數(shù)學(xué)工具，它是微分方程、奇異積分方程、計(jì)算數(shù)學(xué)和概率論等數(shù)學(xué)分支的主要解析方法，又是空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電磁學(xué)和熱力學(xué)等學(xué)科進(jìn)行幾何定性研究的重要方法。在培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系、解決問題的實(shí)際能力、具備良好的思維品質(zhì)、具備創(chuàng)新精神等方面起著至關(guān)重要的作用。因此，學(xué)好《復(fù)變函數(shù)》課程對(duì)于在校大學(xué)生和科學(xué)技術(shù)工作者是十分重要的，教學(xué)質(zhì)量的高低、教學(xué)效果的好壞直接影響到學(xué)生對(duì)這門課程以及后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。

作為高校的一門基礎(chǔ)理論課程，《高等數(shù)學(xué)》占據(jù)著無與倫比的重要地位，它所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)理念和數(shù)學(xué)方法深深影響著后續(xù)數(shù)學(xué)類課程和其他專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，尤其對(duì)于與實(shí)變函數(shù)有著密切聯(lián)系的復(fù)變函數(shù)而言更是如此。《復(fù)變函數(shù)》是《高等數(shù)學(xué)》的后續(xù)課程，是在實(shí)變函數(shù)的基礎(chǔ)上延伸出來的一門課程，它們的聯(lián)系是很緊密的，復(fù)變函數(shù)中的許多理論、概念和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域的推廣，所以它的許多概念和性質(zhì)與《高等數(shù)學(xué)》中所學(xué)習(xí)的內(nèi)容既有相同之處也有不同之處，它們的區(qū)別就在于前者是研究復(fù)數(shù)域上的函數(shù)，尤其是解析函數(shù)的性態(tài)，后者是研究實(shí)數(shù)域上的函數(shù)性態(tài)，這樣我們?cè)趯W(xué)習(xí)《復(fù)變函數(shù)》課程中就需要對(duì)比著《高等數(shù)學(xué)》的課程內(nèi)容來進(jìn)行學(xué)習(xí)了。由于《高等數(shù)學(xué)》中涉及到的新的概念比較多，許多學(xué)生對(duì)于這些概念沒有具體化的認(rèn)識(shí)，比如極限的ε-δ概念、定積分的概念等，我們需要的也不僅僅是學(xué)生了解這個(gè)概念就行了，而是要讓學(xué)生應(yīng)該能夠完全理解這些概念的本質(zhì)，了解其所蘊(yùn)含的本質(zhì)含義，進(jìn)而能夠抓住其精髓，從而進(jìn)一步地把實(shí)變函數(shù)的概念、性質(zhì)等推廣到復(fù)變函數(shù)上來，抓住其本質(zhì)后就能夠具體地了解哪些性質(zhì)是與實(shí)變函數(shù)相同的，不需要再重新掌握；而哪些性質(zhì)并不是其本質(zhì)性質(zhì)，需要重新給定義一下。

而在進(jìn)行《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)過程中，有同學(xué)問到很多類似的問題，這些問題用高等數(shù)學(xué)知識(shí)是沒有辦法解釋的，也舉不出有效又簡(jiǎn)單的實(shí)例，但是如果用《復(fù)變函數(shù)》的結(jié)果去解釋，學(xué)生就很容易接受了，所以我們是否可以認(rèn)為，在大學(xué)時(shí)期的《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中可以把《復(fù)變函數(shù)》穿插在《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中去講授呢？尤其是針對(duì)一些采取了《高等數(shù)學(xué)》分級(jí)教學(xué)的學(xué)校，對(duì)于那些對(duì)數(shù)學(xué)要求較高的院系，一般是在大學(xué)一年級(jí)學(xué)習(xí)一年《高等數(shù)學(xué)》，在大學(xué)二年級(jí)開設(shè)《復(fù)變函數(shù)》，但是講解《復(fù)變函數(shù)》的時(shí)候，學(xué)生的《高等數(shù)學(xué)》知識(shí)都忘得差不多了，有近一小半的課堂時(shí)間是在給學(xué)生復(fù)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》的知識(shí)，這樣就大大降低了課時(shí)的利用率，那么應(yīng)該如何把《高等數(shù)學(xué)》的教學(xué)內(nèi)容與《復(fù)變函數(shù)》內(nèi)容更有效地結(jié)合起來就成了現(xiàn)在需要解決的問題。下面從幾個(gè)方面簡(jiǎn)單說明一下把《高等數(shù)學(xué)》的教學(xué)內(nèi)容與《復(fù)變函數(shù)》內(nèi)容結(jié)合起來講授的必要性。

一、基本初等函數(shù)

對(duì)于冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這五類基本初等函數(shù)而言，學(xué)生在初等數(shù)學(xué)中的接觸是比較多的，而在《高等數(shù)學(xué)》中也是用的比較多的，所以在大學(xué)一年級(jí)剛開始講解《高等數(shù)學(xué)》時(shí)，一般都會(huì)再給學(xué)生復(fù)習(xí)一下這些函數(shù)的一些相關(guān)公式和性質(zhì)，尤其是現(xiàn)在初等數(shù)學(xué)中已經(jīng)把余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)以及反三角函數(shù)的部分內(nèi)容給刪除了，所以會(huì)重新給學(xué)生補(bǔ)充這部分的內(nèi)容。而在講解《復(fù)變函數(shù)》的時(shí)候，我們可以再一遍地重新定義這五類基本初等函數(shù)，講解了他們的基本性質(zhì)，如果能夠?qū)φ罩v解，其實(shí)講一遍就可以了，然后說明當(dāng)《復(fù)變函數(shù)》里面的f（z）中的z限制在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，其實(shí)就是《高等數(shù)學(xué)》中所講解的基本初等函數(shù)了，然后把在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)和復(fù)數(shù)范圍內(nèi)所具備的不同性質(zhì)做一個(gè)對(duì)比，比如指數(shù)函數(shù)的周期性、三角函數(shù)的有界性等在實(shí)變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)中的不同的性質(zhì)專門強(qiáng)調(diào)一下，通過類比和對(duì)比，相信學(xué)生能夠更快、更好地掌握這些基本初等函數(shù)的性質(zhì)。

二、多元函數(shù)極限

在講解《復(fù)變函數(shù)》中的極限定義的時(shí)候，很容易能夠發(fā)現(xiàn)其實(shí)這個(gè)定義和二元函數(shù)極限的定義本質(zhì)上是完全相同的，而且通過證明我們發(fā)現(xiàn)，要討論一個(gè)復(fù)變函數(shù)w=f（z）的極限和連續(xù)性就需要討論兩個(gè)二元函數(shù)u=u（x，y）和v=v（x，y）的極限和連續(xù)性，所以如果在講解《高等數(shù)學(xué)》二元函數(shù)極限定義的時(shí)候教師可以提一句?！稄?fù)變函數(shù)》這一部分函數(shù)的極限完全可以用十分鐘的時(shí)間展示給學(xué)生，再給出幾道相關(guān)的例子，用實(shí)際例子來展示其共性，因此根本就不需要在大學(xué)二年級(jí)開設(shè)《復(fù)變函數(shù)》課程的時(shí)候再單獨(dú)講解這部分內(nèi)容，同時(shí)講之前還需要再給學(xué)生復(fù)習(xí)一下多元函數(shù)的極限這部分內(nèi)容。這一部分完全可以合并到一起作為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

三、導(dǎo)數(shù)

雖然從形式和求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則上復(fù)變函數(shù)w=f（z）和一元函數(shù)y=f（x）完全相同，但是由于極限的要求不同，在復(fù)變函數(shù)w=f（z）的導(dǎo)數(shù)定義中，Δz→0的方式是任意的，而在一元函數(shù)y=f（x）的定義中，Δx→0的方式要簡(jiǎn)單的多，所以說，復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的條件下更為嚴(yán)格，從而復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有不少特殊的性質(zhì)。而Δz→0的方式是任意的，我們?cè)谶@里可以理解為類似于二元函數(shù)的極限中（x，y）→（x0，y0）的方式是任意的，而在前面我們有了多元函數(shù)極限定義之后再來解釋復(fù)變函數(shù)w=f（z）的導(dǎo)數(shù)定義就更容易解釋了。在導(dǎo)數(shù)定義的基礎(chǔ)上復(fù)變函數(shù)還給出了解析函數(shù)的定義，解析函數(shù)的性質(zhì)要比可導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)更實(shí)用、更廣泛。比如說：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然解析。這條性質(zhì)對(duì)于《高等數(shù)學(xué)》中函數(shù)的導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)直是不可思議的一個(gè)結(jié)論，因?yàn)榭蓪?dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)我們都不能保證，更不要提可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這個(gè)概念了。而且在《高等數(shù)學(xué)》中，有很多函數(shù)也是具備解析這個(gè)性質(zhì)的，那么在對(duì)比《復(fù)變函數(shù)》中的一點(diǎn)可導(dǎo)和在《高等數(shù)學(xué)》中的一點(diǎn)可導(dǎo)的性質(zhì)的時(shí)候就要區(qū)分是在實(shí)數(shù)域中討論還是在復(fù)數(shù)域中討論，從而提醒學(xué)生在搞科學(xué)研究與實(shí)際結(jié)合的時(shí)候要注意其使用區(qū)域。同時(shí)在《復(fù)變函數(shù)》中有了有關(guān)解析函數(shù)的相關(guān)結(jié)論，對(duì)于一個(gè)解析函數(shù)我們就可以無限求導(dǎo)下去，而且后面設(shè)計(jì)到的泰勒級(jí)數(shù)的展開條件就可以忽略不計(jì)了，不需要像在《高等數(shù)學(xué)》中的泰勒級(jí)數(shù)展開的時(shí)候一樣再強(qiáng)調(diào)要求函數(shù)具有無限階的導(dǎo)數(shù)才能寫出其泰勒級(jí)數(shù)了。endprint