周仕斌

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將幾何直觀作為十個(gè)核心概念之一，可見(jiàn)“幾何直觀”在現(xiàn)階段數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種重要的科學(xué)研究方式，對(duì)數(shù)學(xué)中的很多問(wèn)題，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其靈感往往來(lái)自幾何直觀。數(shù)學(xué)家的很多創(chuàng)造性思維源于幾何直觀。幾何直觀能力包括空間想象力、直觀洞察力及用圖形語(yǔ)言思考問(wèn)題的能力。借助幾何直觀，可以幫助我們理解和接受很多數(shù)學(xué)中的抽象內(nèi)容、方法和觀念，而且數(shù)學(xué)中許多定理、概念和公式的發(fā)現(xiàn)與證明都可借助幾何直觀。

關(guān)鍵詞：幾何直觀;空間觀念;數(shù)形結(jié)合;空間想象;創(chuàng)造性思維

中圖分類(lèi)號(hào)：G622.41 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）47-0264-02

一、幾何直觀和幾何直觀能力的含義

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。幾何直觀的最大特點(diǎn)是把復(fù)雜的東西簡(jiǎn)單化、形象化，讓學(xué)生更容易去接受和理解數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)公式、定理、計(jì)算、數(shù)字羅列、思維邏輯拓展等，對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，多多少少會(huì)感到枯燥乏味。如果借助幾何直觀，在小學(xué)階段，既能符合小學(xué)生對(duì)事物認(rèn)知能力的要求，也能貼合學(xué)生的心理特征，吸引他們的注意力，提高學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果。應(yīng)用幾何直觀，可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力、直觀洞察力和用圖形語(yǔ)言思考問(wèn)題的能力。這些幾何直觀能力是幾何知識(shí)學(xué)習(xí)的奠基石，是數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)，是學(xué)生不可或缺的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。可以說(shuō)，幾何直觀促進(jìn)我們理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和思想，它是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)А?/p>

二、幾何直觀的意義或教育價(jià)值

（一）幾何直觀能夠培養(yǎng)人的創(chuàng)造性思維能力

首先，數(shù)學(xué)中很多問(wèn)題的解決靈感來(lái)自幾何直觀，大數(shù)學(xué)家尚且如此。這是因?yàn)閹缀沃庇^為問(wèn)題解決者提供一種創(chuàng)造性思維和科學(xué)研究方式。

其次，幾何直觀在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，可讓學(xué)生更容易和直接地理解抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，開(kāi)啟解決問(wèn)題的思路。這說(shuō)明幾何直觀在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)中的重要性，也為學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的創(chuàng)新思維準(zhǔn)備條件。

最后，幾何直觀可通過(guò)揭示研究對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)形成過(guò)程中的創(chuàng)造性過(guò)程，激發(fā)創(chuàng)造激情，提升思維想象力，向著更高的抽象空間形式發(fā)展，發(fā)揮出更大的創(chuàng)新思維能力。

在大多數(shù)的情況下，數(shù)學(xué)結(jié)果是“看”出來(lái)的，而不是“證”出來(lái)的。以利用平面圖形認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的乘法為例。所謂的“看”是一種直接判斷，是建立在長(zhǎng)期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上的靈感和頓悟，是思維過(guò)程的高度簡(jiǎn)化。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中保護(hù)學(xué)生先天的幾何直觀的潛質(zhì)，培養(yǎng)和不斷提高幾何直觀水平，成為數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要價(jià)值追求。

（二）幾何直觀促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解

幾何直觀在數(shù)學(xué)中無(wú)處不在。數(shù)學(xué)家依賴(lài)直觀推動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)的思考，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解。它不僅是一切幾何學(xué)的基礎(chǔ)，而且貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。所以，幾何首先用到的是最直接的形象思維來(lái)洞察，借助圖形生動(dòng)形象地描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，直觀反映分析問(wèn)題的思路，這是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。例如，借助地圖理解比例、利用直觀圖理解正方形邊長(zhǎng)和面積的關(guān)系、借助數(shù)軸認(rèn)識(shí)小數(shù)的意義、借助“線路圖”理解行程問(wèn)題、借助網(wǎng)絡(luò)圖理解單元知識(shí)等。

（三）幾何直觀能夠幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)美，不僅美在抽象簡(jiǎn)約，也美在直觀多姿，而幾何直觀能夠充分凸顯其結(jié)構(gòu)美。例如，利用直觀感悟圓的對(duì)稱(chēng)美，理解圓的基本結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。所以，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，不僅能提高基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而且可以把圖形美的直觀、對(duì)稱(chēng)、奇異、統(tǒng)一等特征融入整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生在美的享受中發(fā)現(xiàn)知識(shí)和理解知識(shí)，在潛移默化中感受數(shù)學(xué)美。

所以，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng)，而且可以將幾何美的直觀、對(duì)稱(chēng)、奇異、統(tǒng)一等特征融入整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，使學(xué)生在美的享受中發(fā)現(xiàn)知識(shí)、理解知識(shí)，在潛移默化中感受數(shù)學(xué)美。

三、幾何直觀能力培養(yǎng)的途徑探析

（一）尋找直觀模型，發(fā)展幾何直觀能力

在小學(xué)教學(xué)實(shí)際中，找尋數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀模型，恰當(dāng)運(yùn)用直觀的模型教具，尤其是恰當(dāng)應(yīng)用幾何圖形，可以幫助低齡兒童體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的意義，強(qiáng)化學(xué)生感受數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。

（二）擴(kuò)張自主操作空間，積累幾何直觀體驗(yàn)

教學(xué)中只靠教師的講演，并不能讓學(xué)生真正掌握幾何直觀的意義及操作方法。只有真正參與其中，才能積累更多的幾何直觀體驗(yàn)。

小學(xué)生學(xué)習(xí)幾何初步知識(shí)時(shí)，往往有錯(cuò)用公式的現(xiàn)象，為了闡明原因，我們做過(guò)許多實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)公式進(jìn)行感知時(shí)缺乏正確的表征，未將計(jì)算公式與圖形聯(lián)系起來(lái)，不清楚公式是怎樣產(chǎn)生的，為什么要學(xué)習(xí)公式，才會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)用公式的情況。要想改變這一現(xiàn)象，行之有效的方法是組織學(xué)生動(dòng)手操作，推導(dǎo)公式。

例如，對(duì)“三角形的面積公式”這一課時(shí)的安排，可以在學(xué)生學(xué)具袋中準(zhǔn)備兩兩完全一樣的銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，準(zhǔn)備正方形、長(zhǎng)方形和平行四邊形。課上讓學(xué)生做出三角形的高，回顧已學(xué)的幾何圖形面積公式，讓每位學(xué)生找一找、拼一拼、折一折、剪一剪、拆一拆，小組合作，點(diǎn)燃學(xué)生的探索欲望，參與數(shù)學(xué)活動(dòng)。經(jīng)過(guò)討論，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形的面積與它等底等高的四邊形（正方形、長(zhǎng)方形或平行四邊形）的面積存在一定的聯(lián)系。

（三）運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，感受幾何直觀的作用

在教學(xué)中合理使用現(xiàn)代信息技術(shù)和多媒體技術(shù)呈現(xiàn)教學(xué)案例，如圓的面積公式推導(dǎo)，教學(xué)效果會(huì)更佳。同時(shí)，開(kāi)發(fā)新的教學(xué)軟件，讓學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)生動(dòng)和直觀視覺(jué)化，可以更好地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

（四）增強(qiáng)教材整合，適時(shí)安排幾何直觀教學(xué)

幾何直觀的內(nèi)容如果只在“圖形與空間”部分，按照教材所提供的材料來(lái)教學(xué)，是與課程目標(biāo)相悖的，因此，幾何直觀應(yīng)滲透在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的每個(gè)時(shí)期。

（五）加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合教學(xué)，提高應(yīng)用圖形解決問(wèn)題的意識(shí)

在小學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)將“幾何問(wèn)題代數(shù)化”或“代數(shù)問(wèn)題幾何化”來(lái)促進(jìn)數(shù)學(xué)的理解和數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決。幾何直觀是指“利用圖形描述分析問(wèn)題”，其核心是以“形”思“數(shù)”，由此可見(jiàn)幾何直觀與數(shù)形結(jié)合兩個(gè)概念間的內(nèi)在聯(lián)系。教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)充分采取數(shù)形結(jié)合的教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生依托直觀的“形”去思考抽象的“數(shù)”。久而久之，就會(huì)切身體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中利用圖形解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要意義。需要注意的是，數(shù)形結(jié)合并不是屬于簡(jiǎn)單的組合，關(guān)鍵在于挖掘兩者間的本質(zhì)關(guān)系，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

（六）重視幾何直觀的合情推理教學(xué)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生利用他們自己的幾何直觀對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題做出判斷，引導(dǎo)他們借助對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀理解探索解題思路及預(yù)測(cè)解題方法的正確性與可行性等。

比如，在小學(xué)數(shù)學(xué)中講到圓的公式，教師在推導(dǎo)過(guò)程中往往采用把圓分割成全等小扇形，再將這些小扇形拼成近似的長(zhǎng)方形的方法。同時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，分割成的扇形越小，數(shù)量越多，所拼成圖形越接近長(zhǎng)方形，作為教師要引導(dǎo)學(xué)生去觀察和發(fā)現(xiàn)，利用合情推理，推導(dǎo)出圓的面積公式。這樣的教學(xué)，就是利用圖形語(yǔ)言帶領(lǐng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測(cè)等發(fā)展合情推理能力。

四、對(duì)幾何直觀教學(xué)的建議

小學(xué)生處于形象思維階段，讓學(xué)習(xí)者了解數(shù)學(xué)知識(shí)，必須使用幾何直觀方法。雖然幾何教學(xué)的目的是重視邏輯推理，但不排除直觀實(shí)驗(yàn)，因?yàn)橹庇^實(shí)驗(yàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)中是了解數(shù)學(xué)本質(zhì)的手段，是邏輯推理的工具。例如，小學(xué)教科書(shū)“看一看”、“剪一剪”、“做一做”、“拼一拼”等直觀實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，在小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的初始階段非常重要。

1.選擇直觀教具，提供感性認(rèn)識(shí)。

2.重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，積累表象。小學(xué)幾何知識(shí)屬于直觀幾何范疇，大多數(shù)的幾何圖形性質(zhì)是組織學(xué)生經(jīng)過(guò)做實(shí)驗(yàn)來(lái)發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證的，這既是教學(xué)內(nèi)容的需要，也符合小學(xué)生數(shù)學(xué)的心理規(guī)律。研究表明，成功的學(xué)生幾何學(xué)習(xí)必須經(jīng)過(guò)從兒童動(dòng)手操作活動(dòng)構(gòu)造的系統(tǒng)中，主動(dòng)建造知識(shí)。在觀察、測(cè)量、畫(huà)圖等實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，運(yùn)用各種感官，既可豐富幾何表象，又能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題要素之間的聯(lián)系，從而從直觀的表象中抽象出幾何圖形的特征，抽象出事物之間的數(shù)量關(guān)系，加強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀思維能力。

3.直觀圖形的變式，加深對(duì)問(wèn)題的理解。對(duì)圖形的觀察是一種多樣化、多側(cè)面的數(shù)學(xué)活動(dòng)。如果說(shuō)“標(biāo)準(zhǔn)圖形”可以使學(xué)生更直觀、更準(zhǔn)確地概括數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)的話(huà)，那么運(yùn)用“變式圖形”進(jìn)行觀察，就會(huì)更好地幫助學(xué)生將“標(biāo)準(zhǔn)圖形”中所獲得的性質(zhì)應(yīng)用到概括與它同一類(lèi)的圖形中去。但要注意兒童空間思維水平發(fā)展的階段性。

4.加強(qiáng)交流和想象?？臻g想象能力包含對(duì)圖形的再造、對(duì)圖形的分解、對(duì)圖形的重組，以及對(duì)平面圖形透視的能力。想象是形象思維的表現(xiàn)之一，想象力越豐富，越能促進(jìn)學(xué)生大膽猜想，它是拓展學(xué)生幾何直觀思維空間的主要通道，是發(fā)展幾何直觀的重要手段。兒童能正確地運(yùn)用幾何語(yǔ)言，而幾何語(yǔ)言的發(fā)展也離不開(kāi)對(duì)圖形操作實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)空間操作，它是發(fā)展幾何語(yǔ)言的基礎(chǔ)。

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