周海軍，賀才春，李玩幽

（1.株洲時(shí)代新材料科技股份有限公司，湖南 株洲 412007；2.哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源工程學(xué)院，哈爾濱150001）

波傳播方法在任意邊界桿梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)中的應(yīng)用

周海軍1，賀才春1，李玩幽2

（1.株洲時(shí)代新材料科技股份有限公司，湖南 株洲 412007；2.哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源工程學(xué)院，哈爾濱150001）

采用波傳播方法對(duì)任意邊界桿梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。并且通過(guò)設(shè)置邊界彈簧系數(shù)為零或無(wú)窮大可以得到所有的傳統(tǒng)邊界條件。桿梁位移被表示為包含波數(shù)的波傳播形式。得到了一個(gè)由不同支撐和連接剛度邊界的三跨梁結(jié)果，并且與文獻(xiàn)進(jìn)行了比較。同時(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)被人為斷開(kāi)成兩段剛性耦合的懸臂桿梁模型，及一個(gè)直角耦合兩端固支桿梁模型。通過(guò)與ANSYS模型所得結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證了方法的正確性。

振動(dòng)與波；波傳播法；多跨梁；耦合結(jié)構(gòu)；任意邊界

梁結(jié)構(gòu)在工程結(jié)構(gòu)中被廣泛應(yīng)用，也引起了眾多學(xué)者對(duì)其振動(dòng)特性的研究。文獻(xiàn)[1]—文獻(xiàn)[5]對(duì)各種多跨的，軸向不均勻的以及任意邊界的梁結(jié)構(gòu)，進(jìn)行了固有及動(dòng)態(tài)特性研究。文獻(xiàn)[6]—文獻(xiàn)[7]提出了一種改進(jìn)型傅里葉展開(kāi)級(jí)數(shù)，描述了梁的位移形式，研究了任意支撐及連接邊界的單一、多跨梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。方法新穎，但其理論推導(dǎo)過(guò)于繁瑣；文獻(xiàn)[8]采用此方法分析了軸系的橫向振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[9]采用傳播、反射及透射波的波傳播方法分析了兩跨不均勻梁的結(jié)構(gòu)特性。文獻(xiàn)[10]采用波傳播方法分析研究了兩端固支軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)，指出波傳播方法能從物理角度解釋軸向運(yùn)動(dòng)梁的振動(dòng)本質(zhì)。

采用文獻(xiàn)[11]—文獻(xiàn)[13]所采用的波傳播方法，將桿梁位移寫成波傳播形式，代入控制微分方程之后得到波數(shù)與圓頻率之間的關(guān)系，并回代回位移形式，然后求解滿足邊界及耦合條件的桿梁模型結(jié)果。

1 控制方程及位移形式

基于歐拉—伯努利理論的梁的控制微分方程為

桿的控制微分方程為

其中w，u，E，I，A，ρ分別為梁的橫向位移，桿的縱向位移，彈性模量，慣性矩，截面積，密度。

將梁的位移形式表示為

其中Aw，kw，ω分別為振幅，波數(shù)，圓頻率。將式(3)代入式(1)，可得

式(4)的根即梁的波數(shù)，可得：

此時(shí)，解的形式可以寫為

同理，將桿的位移形式表示為

將式(6)代入式(2)，可得

式(7)的根即桿的波數(shù)，可得

此時(shí)，解的形式可以寫為

2 邊界條件及求解

2.1 多跨梁結(jié)構(gòu)的耦合條件

如圖1所示的多跨梁結(jié)構(gòu)模型。ki,j和Ki,j分別是梁i和j之間連接處的線性和扭轉(zhuǎn)彈簧系數(shù)；分別是梁i左右兩端的線性和扭轉(zhuǎn)彈簧系數(shù)。N為梁段數(shù)。

圖1 多跨梁結(jié)構(gòu)模型

其任意邊界條件為：

在xi=0處(式中簡(jiǎn)略時(shí)間變量t)，

在xi=Li處，

在第一段梁的左端

在第N段梁的右端

將式(5)代入邊界條件式(9)-式(16)，可以整理得到一個(gè)關(guān)于解的幅值的矩陣形式的方程

其中

其有非零解的條件為： ||B=0，即可得多跨梁結(jié)構(gòu)的固有頻率。

2.2 桿梁結(jié)構(gòu)的耦合條件

如圖2所示的桿梁耦合結(jié)構(gòu)模型。kw0，kw1，ku0，ku1分別是左右兩端線性彈簧系數(shù)，下標(biāo)w和u分別表示橫向和縱向；K0，K1分別是左右兩端的扭轉(zhuǎn)彈簧系數(shù)。θ為兩段梁的夾角，橫向和縱向位移會(huì)在兩段梁之間耦合。

其邊界條件為：

在第一段梁x=0處

在第二段梁x=L2處

如圖3所示，在其連接處，其位移與力的連續(xù)協(xié)調(diào)條件為

圖3 位移、力和力矩示意圖

其中M=EIw(x)'',Q=EIw(x)''',N=EAu(x)'。

將式(5)和式(8)代入式(18)—式(23)以及式(24)—式(30)共12個(gè)邊界條件方程，可以整理寫成矩陣形式的特征方程如下

其中

其有非零解的條件為： ||B=0，即可得耦合結(jié)構(gòu)的固有頻率。

3 結(jié)果與分析

3.1 三跨梁結(jié)構(gòu)

首先引用文獻(xiàn)[7]中的三跨梁模型作為算例，其梁段、支撐和連接參數(shù)見(jiàn)表1和表2。

表1 梁段參數(shù)

從表2梁1支撐參數(shù)可以看出，其左端彈簧系數(shù)模擬的是固支邊界，同時(shí)可以看出梁3右端為簡(jiǎn)支邊界。梁段之間為彈性連接。在MATLAB軟件中編程計(jì)算，表3為本文結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比，結(jié)果吻合很好。

表2 支撐和連接參數(shù)

表3 前10階頻率對(duì)比

3.2 懸臂梁結(jié)構(gòu)

如圖4所示的懸臂梁模型。梁段總長(zhǎng)為1.5，將其人為斷開(kāi)為1:0.5的兩段剛性耦合的梁。耦合角度取為90°。梁段取為圓形截面，直徑為0.01，密度和彈性模量分別取7 850和2.1×1011。左邊界彈簧剛度取為無(wú)窮大模擬剛性固支，本文數(shù)值取為1× 1010，右邊彈簧剛度取為零模擬自由邊界。

圖4 懸臂梁模型

表4為本文結(jié)果與ANSYS軟件所得結(jié)果的對(duì)比。ANSYS中采用Beam 3單元，自由劃分網(wǎng)格。通過(guò)ANSYS振型看出第1階—10階為單一橫向固有頻率，第11和19階為縱向固有頻率。雖然橫縱振動(dòng)在線性直梁模型中沒(méi)有耦合，本文方法也能準(zhǔn)確的計(jì)算出固有頻率。

3.3 直角桿梁結(jié)構(gòu)

如圖5所示的直角桿梁模型。兩段梁均長(zhǎng)0.5，梁段參數(shù)同3.2節(jié)，耦合角度為0°。左右邊界彈簧剛度均取為無(wú)窮大模擬固支邊界，本文數(shù)值取為1× 1010。表5為本文結(jié)果與ANSYS結(jié)果的對(duì)比，可見(jiàn)也吻合得很好。

表4 與ANSYS結(jié)果對(duì)比

圖5 直角桿梁模型

表5 與ANSYS結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

采用波傳播方法研究了多跨梁、耦合桿梁結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性。將桿梁位移形式寫成波傳播形式，代入控制微分方程之后可以求得波數(shù)與結(jié)構(gòu)固有頻率之間的關(guān)系，最后求解滿足邊界條件的波數(shù)方程即可求得固有頻率。與文獻(xiàn)及有限元方法的對(duì)比驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。而在求解耦合桿梁結(jié)構(gòu)時(shí)出現(xiàn)的漏根現(xiàn)象，還有待進(jìn)一步研究。

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Application of Wave Propagation Method to VibrationAnalysis of Rod-and-Beam Structures withArbitrary Boundary Conditions

ZHOU Hai-jun1,HE Cai-chun1,LI Wan-you2
(1.Zhuzhou Times New Material Technology Co.Ltd.,Zhuzhou 412007,Hunan China; 2.College of Power and Energy Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

Wave propagation method was used for vibration analysis of rod-and-beam structures with arbitrary boundary conditions.In this method,all the conventional boundary conditions of the structures can be included by setting the stiffness of the boundary springs to be infinity or zero.The displacements of rods and beams can be expressed in the wave propagation form including wave numbers.A three-span beam with different supporting conditions and connecting stiffness was analyzed with this method and the results were compared with those shown in published literatures.Meanwhile,two additional models were presented.One was a cantilever beam divided into two rigidly connected beams.The other was a right-angle rod-and-beam combined structure.The results were compared with those obtained from ANSYS software.The correctness of this method was verified.

vibration and wave;wave propagation method;multi-span beam;combined structure;arbitrary boundary conditions

O 32

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2015.02.008

1006-1355(2015)02-0032-04

2014－07－18

周海軍(1984－)，男，湖南益陽(yáng)人，博士，主要從事船舶振動(dòng)噪聲控制研究工作。E-mail:zhouhj2@teg.cn