尹建華，孟慧慧

（河北民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)系，河北承德067000）

高等數(shù)學(xué)中的一些反例

尹建華，孟慧慧

（河北民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)系，河北承德067000）

在高等數(shù)學(xué)中有一些命題或關(guān)系不成立，不需要理論證明，只需用一個反例即可說明。本文列舉一些反例僅說明多元函數(shù)中不成立的命題和關(guān)系，同時也說明從一元函數(shù)到多元函數(shù)的性質(zhì)也符合從量變到質(zhì)變的原則。

連續(xù)；極限；偏導(dǎo)數(shù)；曲線積分

在高等數(shù)學(xué)中有許多概念，通過證明可以得到一些概念之間相互關(guān)系，但也有一些概念之間相互無關(guān)，這時只需舉出反例說明即可。與之類似，定理成立要滿足一定的條件，當(dāng)條件不被滿足時，結(jié)論若不成立也只需反例說明。下面通過反例說明高等數(shù)學(xué)中一些有關(guān)多元函數(shù)部分不成立的關(guān)系及結(jié)論。

1　與概念相關(guān)的反例

1.1二元極限，連續(xù)定義相關(guān)的反例

結(jié)論1：二元函數(shù)的極限不僅與函數(shù)、點(diǎn)有關(guān)，而且與定義域有關(guān)。

【結(jié)論2：多元函數(shù)連續(xù)與定義域有關(guān)。

證明：（1）在平面R2上，當(dāng)沿(x,y)沿y=kx(k≠0)趨于(0,0)時，有，說明沿不同斜率的直線趨于原點(diǎn)(0,0)，對應(yīng)極限值不同，極限不存在，所以f(x,y)在(0,0)不連續(xù)。

1.2關(guān)于極限關(guān)系反例

結(jié)論3：二重極限與累次極限的存在沒有必然的聯(lián)系.

當(dāng)動點(diǎn)(x,y)沿拋物線y=x2趨于(0,0)時，有二重極限

∴累次極限不存在，同理另一順序累次極限也不存在。

結(jié)論4：沿任何方向的方向極限都存在，重極限也不一定存在。

1.3多元函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)關(guān)系反例

結(jié)論5：函數(shù)在某區(qū)間一致連續(xù)，則在該區(qū)間一定連續(xù)，但函數(shù)在某區(qū)間連續(xù)卻不一定一致連續(xù)。

因此，函數(shù)f(x,y)在D非一致連續(xù)。

1.4多元函數(shù)可微、偏導(dǎo)存在、連續(xù)關(guān)系反例

一元函數(shù)中有關(guān)系：f(x)在某點(diǎn)可導(dǎo)充要條件是f(x)在該點(diǎn)可微；f(x)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則f(x)在該點(diǎn)連續(xù)，但是f(x)在某點(diǎn)連續(xù)，卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。從一元函數(shù)理論到多元函數(shù)的理論，也符合哲學(xué)道理，不僅有量的變化，而且有質(zhì)的變化。

結(jié)論6：在多元函數(shù)理論中，可以證明結(jié)論：可微?偏導(dǎo)存在；可微?連續(xù)；其他關(guān)系都不具備。

【例7函數(shù)f(x)=｜x-3｜在x=3點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)。

∴f(x,y)在(0,0)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在。

1.5可微與方向?qū)?shù)關(guān)系反例

結(jié)論7函數(shù)在一點(diǎn)可微，則任何方向?qū)?shù)存在，反之不一定。點(diǎn)的方向?qū)?shù)及可微性。

解對于從原點(diǎn)出發(fā)的任何方向射線上l:y=kx上，都有充分小的一段包含在原點(diǎn)的某鄰域U(O)內(nèi)，在U(O)內(nèi)有y=kx＞x2＞0或y=kx≤0，∴在這一段上f≡0，f(0,0)=0，，即在(0,0)點(diǎn)沿任何方向的方向?qū)?shù)都存在，但顯然f(x,y)在(0,0)不連續(xù)，∴f(x,y)在(0,0)不可微。

2　與定理相關(guān)的反例

2.1偏導(dǎo)連續(xù)可與微關(guān)系定理反例

結(jié)論8定理?xiàng)l件只是充分條件，不是必要條件。

但是f(x,y)在(0,0)可微。事實(shí)上

由定義知f(x,y)在(0,0)可微。

2.2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則反例

定理若函數(shù)x=φ(s,t)，y=φ(s,t)在點(diǎn)(s,t)∈D偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，則復(fù)合函數(shù)z= f[φ(s,t),φ(s,t)]在(s,t)可微，且有

結(jié)論9若定理?xiàng)l件外函數(shù)f(x,y)不可微，公式不成立。

故定理?xiàng)l件外函數(shù)f(x,y)可微不可缺。

2.3有關(guān)格林公式反例

結(jié)論10函數(shù)在曲線圍區(qū)域不連續(xù)，格林公式不成立。

根據(jù)題目所給條件，路線C可分為兩種情況：

（1）C不經(jīng)過原點(diǎn),且原點(diǎn)不在以C為邊界的區(qū)域D內(nèi)。

這時P(x,y)，Q(x,y)滿足定理?xiàng)l件，∴由格林公式

（2）C不經(jīng)過原點(diǎn)，但原點(diǎn)在以C為邊界的區(qū)域D內(nèi)。

這時在（0,0）點(diǎn)，P(x,y)，Q(x,y)無意義（不連續(xù)），不滿足格林公式條件，計算結(jié)果如下：以原點(diǎn)為心，充分小半徑δ＞0為半徑做元域D′：x2+y2≤δ2，其邊界記C′，使D′完全含于D，則在環(huán)域D-D′內(nèi)滿足格林公式條件，C′為順時針方向。由格林公式

由二型積分計算公式

與格林公式計算結(jié)果不同，公式不成立。

2.4曲線積分與路線無關(guān)的反例

定理：設(shè)D是單連通閉區(qū)域，P(x,y),Q(x,y)在D具有一階連續(xù)偏導(dǎo)，則有下列結(jié)論等價：（1）沿D內(nèi)任何按段光滑封閉曲線C，有∮cPdx+Qdy=0；（2）對D內(nèi)任一按段光滑曲線C，積分C∫Pdx+Qdy與路線無關(guān)，只與C的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)；（3）Pdx+Qdy是D內(nèi)某一函數(shù)u(x,y)的全微分；（4）在D內(nèi)處處成立。

結(jié)論11：在曲線積分與路線無關(guān)的定理中，區(qū)域D必為單連通區(qū)域，否則結(jié)論不等價。

關(guān)于反例的作用不可輕視，它可以很快判定一個命題不成立。在其他學(xué)科仍存在這樣的反例，如線性代數(shù)中矩陣乘法運(yùn)算不滿足交換律、消去律等。

On Counter Examples in Higher Mathematics

YIN Jian-hua,MENG Hui-hui
(Department of Mathematics and Computer Science,Hebei Normal University for Nationalities, Chengde,Hebei 067000,China)

Counter examples are preferred than theoretical argumentation in proving some false propositions or relational expressions in higher mathematics.Employing counter examples,this paper first illustrates some false propositions and relational expressions in multivariate function and then demonstrates that the properties from univariate function to multivariate function conform to the change from quantitative to qualitative.

continuity;limit;partial derivatives;line integral

O13

A

2095-3763（2015）02-0070-04

2014-12-10

尹建華（1963-），女，滿族，河北隆化人，河北民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)系教授。