邸昊，李柳鈴

（南開大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，天津300071）

CAPM的新模型研究——基于美國銀行信用違約互換數(shù)據(jù)的研究

邸昊，李柳鈴*

（南開大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，天津300071）

采用Jin(2011)以及Zhuo（2013）提出的新模型和新方法，對Sharpe(1964），Lintner(1965)以及Mossin(1966)論文中提出的資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）進(jìn)行了實證研究。本文使用極大似然法對新的模型參數(shù)進(jìn)行了估計。極大似然估計的程序是用MatLab編寫的。最后發(fā)現(xiàn)，對于美國銀行信用違約互換而言，非對稱指數(shù)冪分布模型（AEPD），以及標(biāo)準(zhǔn)化非對稱指數(shù)冪分布模型(SSAEPD)都適用。通過比較發(fā)現(xiàn)，基于標(biāo)準(zhǔn)化非對稱指數(shù)冪分布模型(SSAEPD)的資本資產(chǎn)定價模型具有更好的樣本適用性。

資本資產(chǎn)定價模型（CAPM)；非對稱指數(shù)冪分布模型(AEPD)；標(biāo)準(zhǔn)化非對稱指數(shù)冪分布模型（SSAEPD)；信用違約互換（CDS）

一、前言

根據(jù)馬科維茨（1959）的投資理論，Sharpe (1964)，Lintner(1965）和Mossin(1966)首度提出了資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）。作為現(xiàn)代金融模型的主要參考模型，CAMP理論解釋了股票回報率和市場回報率之間的關(guān)系。運(yùn)用CAPM模型所計算出來的斜率（通常被稱為beta或者斜率）被廣泛運(yùn)用來衡量市場風(fēng)險。例如，雅虎金融網(wǎng)站所使用的beta值便是如此。

然而，一些學(xué)者指出，CAPM具有其自身的局限性，可以從多個角度提升該模型。所以很多學(xué)者對CAPM模型進(jìn)行了修正和改進(jìn)。這些改進(jìn)可以被分為兩個大類。一類改進(jìn)不采用實證數(shù)據(jù)，比如Lucas (1978)，Breeden(1979)，Grossman和Shiller(1987)提出消費CAPM模型(CCAPM)。Black(1976)，Lee(1986)和Gweon(1986)提出了wealth CAPM(WCAPM)(見表1)。

第二類對模型的修正則使用實證數(shù)據(jù)研究。一些學(xué)者試圖找到其他因子替代市場來檢驗?zāi)Ｐ汀＠?，F(xiàn)ama和French（1993）增加了Book-to-market因子和Size因子，是CAPM模型變?yōu)槿蜃幽Ｐ汀egadeesh和Titman(1993)提出Momentum因子和數(shù)據(jù)，該模型使得股票的收益率準(zhǔn)確度在短期內(nèi)表現(xiàn)最優(yōu)。Al-Horani，Pope和Stark(2003)提出了研究和發(fā)展（R&D）因子，用于解釋英國股價收益率截面變動。He(2008)提出了State Switch因子。Lu和Gao增加了CME因子以豐富模型。Lu和Gao（2010）以及Chen，Xu和Wang（2010）發(fā)現(xiàn)交易和P/E值兩個因子加入模型后，可以更好的解釋中國股票市場的情況。

不同于之前的研究，Zhuo（2013）認(rèn)為采用非正太分布的誤差項模型，例如SSAEPD模型，可用來實證檢驗CAPM模型。他發(fā)現(xiàn)CAPM模型可適用于美國股票市場，并且CAPM-SSAEPD模型能比CAPMNormal模型更好的描述了市場狀態(tài)。Zhu和Zinde-Walsh（2009）提出了SSAPED模型，并表明了SSAEPD模型具有理想的統(tǒng)計結(jié)果，該模型可以同時嵌套幾個其他的分布，并且可以很好的和金融數(shù)據(jù)配合。對于SSAEPD模型的研究歷史，可以從表2中看到。

基于Zhuo(2013)的研究方法和模型，在本文中將實證檢驗CAPM模型。本文將檢驗以下假設(shè)：1）具有非正太分布?xì)埐畹腃APM模型是否對美國銀行業(yè)信用違約互換數(shù)據(jù)具有適用性？2）CAPMAEPD和CAPM-SSAEPD模型對比，哪個模型更好？本文使用信用違約互換數(shù)據(jù)的原因在于：自2009年金融危機(jī)之后，尤其是希臘主權(quán)債務(wù)信用評級下跌后，歐洲的主權(quán)國家的信用違約互換交易量大幅上漲。同時，主權(quán)國家信用違約互換和其他金融產(chǎn)品之間的關(guān)系引起了跟多的學(xué)者關(guān)注。例如，Ammer&Cai（20011）分析了信用違約互換利差和債券回報率之間的關(guān)系。關(guān)于主權(quán)國家信用違約互換的研究歷史見表3。

為了解答以上兩個假設(shè)問題，本文分析了美國三家銀行從2004年到2010年的信用違約互換數(shù)據(jù)，極大似然估計方法（MLE）用于估計參數(shù)。似然比檢驗用于對參數(shù)約束條件進(jìn)行檢驗，KS檢驗用于對殘差進(jìn)行檢驗，使用AIC準(zhǔn)則對比模型。

通過驗證發(fā)現(xiàn)，具有非正太分布?xì)埐畹腃APM模型對于美國銀行信用違約互換具有適用性。AEPD和SSAEPD模型的參數(shù)調(diào)整檢驗，可以刻畫偏度，非對稱性以及肥尾狀態(tài)。而CAPM-SSAEPD模型比CAPM-AEPD模型具有更好的數(shù)據(jù)適用性。

本篇文章組織結(jié)構(gòu)如下：第一部分介紹模型和估計方法，第二部分介紹實證數(shù)據(jù)檢驗結(jié)果，第三部分討論結(jié)論和將來的研究拓展。

表1　CAPM研究歷史

續(xù)前表

表3　近年來關(guān)于主權(quán)國家信用違約互換的研究

二、模型和估計方法

（一）模型

1、CAPM-AEPD模型

CAPM-AEPD如下：

此處θ＝（β1，β2，α，p1,p2,σ)為待估計的參數(shù)。rt為股票投資組合在時間的回報率。rft是無風(fēng)險資產(chǎn)收益率。r mt為整個股票市場的收益率。β1和β2為待估計系數(shù)，在模型中α∈（0，1）為偏度參數(shù)，而T為數(shù)據(jù)大小。根據(jù)Zhu和Zinde-Walsh（2009），ut為非對稱指數(shù)冪分布(AEPD)下的隨機(jī)誤差項。ut的概率密度函數(shù)（PDF）為:

γ(.)為伽馬函數(shù)。μ∈R為分布位置參數(shù)。σ＞0為尺度參數(shù)。α∈(0,1)為偏度參數(shù)。p1＞0和p2＞0分別為左尾和右尾的參數(shù)。

2、CAPM-SSAEPD模型

CAPM-SSAEPD模型如下:

此處(rt,rft,rmt,β1+β2,T,α,p1,p2)具有和CAPMAEPD一樣的參數(shù)意義。σ在回歸模型中為波動參數(shù)。殘差項zt服從SSAEPD分布,該分布是從SAEPD演變過來的。zt的密度函數(shù)是:

xt服從SAEPD分布。此處γ(.)是伽馬函數(shù)。α∈(0,1)為偏度參數(shù)。p1＞0和p2＞0分別為左尾和右尾參數(shù)。

（二）極大似然估計法(MLE)

本文運(yùn)用極大似然估計法(MLE)對下文參數(shù)進(jìn)行估計。

1、CAPM-AEPD模型的極大似然估計

CAPM-AEPD模型的極大似然估計函數(shù)為：

此處θ=(β1,β2,α,p1,p2,μ,σ)為模型中待估計的參數(shù)。

2、CAPM-SSAEPD的極大似然估計

CAPM-SSAEPD的極大似然估計函數(shù)為：

此處θ=(β1-β2,α,p1,p2,μ,σ)為模型中待估計的參數(shù)。

三、實證分析

（一）數(shù)據(jù)

本文選用了三家美國銀行信用違約互換的中間價格，包括美國銀行（BOA），花旗銀行（CITI），JP摩根（JPM），以上數(shù)據(jù)均購于CMA Vision company。計算中選用標(biāo)普500指數(shù)作為市場指數(shù)，該數(shù)據(jù)來源于Bloomberg。文中選用的數(shù)據(jù)樣本區(qū)間為2004年1月5日至2010年3月31日。銀行信用違約互換的對數(shù)收益率計算如下：

Ri,t=lnPi,t-lnpi,t-1

此處Pi，t為CDS i在時間t的差價。Ri，t為CDS i差價在時間t的回報率。樣本的描述性統(tǒng)計量是使用Eviews進(jìn)行計算的，計算結(jié)果見表4。對于每個銀行的CDS而言，偏度不為0，峰度大于3。對每個CDS的Jarque-Bera檢驗結(jié)果都低于5%的顯著性水平。以上數(shù)據(jù)意味著在顯著性水平為5%時，CDS數(shù)據(jù)不服從標(biāo)準(zhǔn)正太分布，因此可以得到結(jié)論CDS數(shù)據(jù)不服從正太分布，而服從于非正太分布。

（二）估計結(jié)果

對于CAPM-AEPD模型和CAPM-SSAEPD模型的估計結(jié)果見表表5的A欄和B欄。在A欄中，可以發(fā)現(xiàn)估計結(jié)果中偏度系數(shù)α不等于0.5。左尾和右尾的系數(shù)均小于2，呈現(xiàn)厚尾狀態(tài)。同樣的，所有的CDS數(shù)據(jù)的右尾估計值p2更下，這意味著CDS數(shù)據(jù)的分布右尾呈厚尾狀態(tài)。也就是說CAPMAEPD模型呈現(xiàn)尖峰厚尾的非對稱狀態(tài)，CAPMSSAEPD模型具有同樣的估計結(jié)果。

（三）結(jié)構(gòu)分析

三家銀行的CDS數(shù)據(jù)的β2值均大于1，這意味著美國銀行CDS數(shù)據(jù)對市場波動敏感。在CAPMSSAEPD模型中，出了BOA數(shù)據(jù)外，所有估計的值都大于CAPM-AEPD的對應(yīng)值。

表4　描述統(tǒng)計量

表5　估計結(jié)果

表6　LR檢驗的P值

（四）模型診斷

1、系數(shù)的顯著性分析

本文運(yùn)用似然比檢測（LR）對模型進(jìn)行顯著性檢驗。P值和LR值見于表6的A欄和B欄?？傻萌毅y行CDS數(shù)據(jù)具有回歸參數(shù)具有顯著性。例如在T2中LR的統(tǒng)計學(xué)值為0，小于0.05。結(jié)果表明在顯著性水平為5%的水平下，可以得出系數(shù)具有統(tǒng)計學(xué)意義并且可以反映股票的收益率水平。

同樣，可以發(fā)現(xiàn)三家銀行的β2值都具有統(tǒng)計學(xué)意義(見T3)。在CAPM-AEPD模型，6個連續(xù)的參數(shù)里有2個顯著，而在CAPM-SSAEPD模型中所有的參數(shù)均具有顯著。

2、殘差檢驗

在這個部分，利用Kolmogorov-Smirnov檢驗對兩個模型的殘差進(jìn)行檢驗?？梢园l(fā)現(xiàn)，3家銀行的CDS數(shù)據(jù)（不論senior數(shù)據(jù)或者subordinate數(shù)據(jù)）均同時服從AEPD和SSAEPD分布。

·Kolmogorov-Smirnov檢驗

KS的零假設(shè)為數(shù)據(jù)服從某個特定分布。同時設(shè)定顯著性水平位5%。如果P值大于5%，則接受零假設(shè)，否則拒絕零假設(shè)。

首先，將KS檢驗應(yīng)用于CAPM-AEPD模型，零假設(shè)為CAPM-AEPD殘差按照AEPD()分布。CAPM-AEPD的P值見表7。對于BOA而言，P值是1，大于0.05，意味著在顯著性水平為5%下，不能拒絕零假設(shè)，則殘差服從于AEPD分布。另外對于其他銀行的CDS而言，KS檢驗值均無法拒絕零假設(shè)，則可推斷CDS數(shù)據(jù)服從于AEPD分布。則CAPMAEPD模型是適用于美國銀行CDS數(shù)據(jù)的。

Then,we apply the KS test for the residuals from CAPM-SSAEPD.The null hypothesis of KS is然后對CAPM-SSAEPD模型進(jìn)行KS檢驗，零假設(shè)為CAPM-SSAEPD的殘差服從SSAEPD()。P值見表7。可以得到3家銀行的CDS數(shù)據(jù)均服從于SSAEPD分布。可見CAPS-SSAEPD模型同樣適用于美國銀行CDS數(shù)據(jù)。

·殘差的密度函數(shù)（PDF）

表7　P值

以BOA數(shù)據(jù)為例，見圖1，對比殘差的概率密度函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)服從AEPD()的和殘差正太分布非常接近，同時CAPM-AEPD更符合數(shù)據(jù)。

（五）參數(shù)約束檢驗

在這一個部分，對CAPM-AEPD和CAPMSSAEPD模型參數(shù)進(jìn)行參數(shù)約束，并且利用公式（4）中的LR檢測。所有測試結(jié)果見表6。以CITI為例，結(jié)果見表T4，均小于5%的顯著性水平，以上結(jié)果意味著殘差并不服從正太分布。以上結(jié)論同樣適用于其他兩家銀行的CDS數(shù)據(jù)。

（六）模型比較

在這一部分，本文運(yùn)用AIC檢測對CAPMAEPD和CAPM-SSAEPD兩個模型進(jìn)行比較。在表8中，計算了兩個模型的AIC值的差，結(jié)果顯示由于CAPM-SSAEPD模型的AIC值更小，所以優(yōu)于CAPM-AEPD模型。

圖1　：CAPM-AEPD模型殘差概率密度函數(shù)（BOA CDS，AEPD()）

圖2?。篊APM-SSAEPD模型殘差概率密度函數(shù)（BOA CDS，SSAEPD()）

表8?。篊APM-AEPD和CAPM-SSAEPD模型的AIC差值(DAIC)

另外，本文將有參數(shù)約束的模型和無參數(shù)約束的模型進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)CAPM-SSAEPD模型的最小AIC值比CAPM-AEPD模型的最小AIC值還要小，所以最優(yōu)。

表9　AIC值

四、結(jié)論和拓展

在本文中，使用美國三家銀行CDS數(shù)據(jù)實證檢驗了Sharpe(1964)，Lintner(1965)，Mossin(1966)提出的CAPM理論。極大似然估計法用于預(yù)測模型。三家銀行的CDS數(shù)據(jù)區(qū)間為2004年至2010年。KS檢驗用于進(jìn)行殘差檢驗，LR檢驗用于不同約束條件先的參數(shù)檢驗，以及顯著性水平檢驗。運(yùn)用AIC方法進(jìn)行了模型比較。

實證結(jié)果顯示：

1）CAPM理論在CAPM-AEPD模型的嵌套下成立。

2）在AIC準(zhǔn)則下CAPM-SSAEPD比CAPMAEPD模型更具樣本適用性。

3）用于計算美國銀行CDS利差的指數(shù)可以通過分析銀行的資產(chǎn)結(jié)構(gòu)來獲得，以獲得比S&P500更好的擬合結(jié)果。

未來拓展包括但不局限于以下幾個方面：首先，可以加入GARCH模型或者隨機(jī)波動模型(SV)進(jìn)入CAPM理論中研究，其次，可以比較模型的預(yù)測功能。最后可以和ARIMA(p,d,q)模型進(jìn)行比較。

[1]A itchison J.and Brow n J.A.C.The lognormal distribution w ith special reference to its uses in economics[M].Cambridge U niversity Press,1957,p.176.

[2]A mmer.Sovereign CD S and bond pricing dynamics in emerging markets：D ose the cheapest-to-deliver option matter?[J]Journal of international financial markets institutions and money,2011,21(3)：369-387.

[3]A yebo,A,K ozubow ski T J.A n asymmetric generalization of G aussian and Laplace law s[J].Journal of ProbabilityandStatisticalScience,2004,1(2)：187-210.

[4]A zzalini,A.Further results on a class of distributions w hich includes the normal ones[J].Statistica, 1986,46：199-208.

[5]Bartholdy J.,Peare P.Estimation of excepted return：CA PMvs Fama and French[J].International review of financial analysis,2005,14(4)：407-427.

[6]Black,S W.Rational response to shocks in a dynamic model of capital asset pricing[J].A merican Economic Review,1976,66：767-779.

[7]Carr P.,W u Liuren.Theory and evidence on the dynamic interactions betw een sovereign credit default sw aps and currency options[J].Journal of banking& Finance,2007,31(8)：2383-2403.

[8]Chen,Cathy W.S.,Simon Lin,Philip L.H.Y u.Smooth transitionquantilecapitalassetpricingmodels w ithheteroscedasticity[J].ComputationalEconomics,2012,40：19-48.

[9]Chen,Langnan,StevenLi,JinanW ang.Liquidity, skew ness and stock returns：Evidence from Chinese stock market[J].A sia-Pacific FinancialM arkets, 2011,18：405-427.

[10]D e M oivre,A braham(1738).The doctrine of chances [M].ISBN 0-8218-2103-2.

[11]D iCiccio T,M onti A C.Inferential aspects of the skew exponential pow er distribution[J].Journal of A merican Statistic A ssociation,2004,99(466)：439-450.

[12]Fama,E.F.and K.R.French.Common risk factors in the returns on stocks and bonds[J].Journal of Financial Economics,1993,33：3-56.

[13]Fernandez C,O siew alski J,Steel M F J.M odeling andinferencew ith-SphericalD istributions[J]. Jour nal of the A merican Statistical A ssociation, 1995,90(432)：1331-1340.

[14]G auss,C.F.Theoria M otus Corporum Coelestium. Perthes,H am-burg,1809.Translation reprinted as Theory of the M otions of the H eavenly Bodies M oving aboutthe Sun in Conic Sections.D over,N ew Y ork,1963.

A Study on“CAPM Theory”with Models Based on Non-normal Errors for US Bank CDS

DI Hao，LI Liu-ling
（Institute of Economics，Nankai University,Tianjin 300071，China）

This paper empirically exams“the theory of Capital Asset Pricing Model”(CAPM)presented by Sharpe(1964),Lintner(1965)and Mossin(1966)with Jin's(2011)and Zhuo's methods and models(2013).Method of Maximum Likelihood Estimation,the program of which is written with MatLab,is adopted to estimate the parameters.The results show that models with AEPD or SSAEPD errors are both adequate for US bank CDSs and CAPM model with SSAEPD errors is more suitable in sample applicability.

Capital Asset Pricing Model(CAPM)；Asymmetric Exponential Power Distribution(AEPD)；Standardized Standard Asymmetric Exponential Power Distribution(SSAEPD)；Credit Default Swap(CDS)

F224

A

2095-3763（2015）02-0116-09

2014-10-25

邸昊（1990-），男，河北唐山人，南開大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院本科生。

*通迅作者郵箱：liliuling@nankai.edu.cn