蔡華輝， 彭永康， 柳炳祥

(景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院信息工程學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn) 333403)

DP基關(guān)于L2內(nèi)積的對偶函數(shù)及其應(yīng)用

蔡華輝， 彭永康， 柳炳祥

(景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院信息工程學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn) 333403)

給出DP基關(guān)于L2內(nèi)積對偶函數(shù)的顯示表示公式。首先介紹了計算機輔助幾何設(shè)計中多項式對偶函數(shù)的一般理論；然后根據(jù)兩組多項式基的轉(zhuǎn)換公式，給出了相應(yīng)對偶函數(shù)的轉(zhuǎn)換公式。隨后利用此轉(zhuǎn)換公式和Bernstein基對偶函數(shù)的表示公式，推導(dǎo)出DP基關(guān)于L2內(nèi)積對偶函數(shù)的顯示表示。討論了對偶函數(shù)在計算機輔助幾何設(shè)計中的應(yīng)用。

DP基；對偶函數(shù)；L2內(nèi)積；廣義De Boor-Fix公式；逼近

在計算機輔助幾何設(shè)計(computer aided geometric design, CAGD)中，自由曲線曲面的表示經(jīng)常利用控制頂點與相應(yīng)基函數(shù)的乘積和來實現(xiàn)。由于不同的基函數(shù)具有不同的特性，所以由其構(gòu)造的曲線也會有相應(yīng)的特性。因此，為了滿足不同設(shè)計需求，提出用多種曲線表示的方法，其中在CAGD領(lǐng)域中最為常用的多項式曲線是利用Bernstein基表示的Bézier曲線[1]。除此之外，Sánchez-Reyes[2]為了克服冪基和Hermite插值多項式的缺點利用對稱冪基表示多項式曲線，王國瑾[3]與Said[4]分別借助三次Ball曲線提出了Wang-Ball曲線和Said-Ball曲線，Wu[5]利用增加位置參數(shù)的方法，進(jìn)一步推導(dǎo)得到了兩類廣義 Ball曲線，即Wang-Said 型 廣 義 Ball (Wang-Said type generalized Ball, WSGB)曲線與Said-Bézier型廣義Ball (Said-Bézier type generalized Ball,SBGB) 曲線，汪志華和朱曉臨[6]利用類似方法，定義了Wang-Bézier 型 廣義 Ball (Wang-Bézier type generalized Ball, WBGB)曲線，沈莞薔和汪國昭[7]通過加入多個參數(shù)也構(gòu)造了一類廣義 Ball曲線。Delgado和Pe?a[8]在2003年也提出了一類新的多項式曲線表示方法，即DP曲線，它既擁有Bézier曲線的保形性，又擁有廣義Ball曲線的計算效率。

在曲線曲面逼近等應(yīng)用中，對偶函數(shù)是一類有效的工具。關(guān)于多項式基的對偶函數(shù)的討論在CAGD中有2類。

第1類是利用加權(quán) L2內(nèi)積獲得。令Pn是次數(shù)不超過n的多項式構(gòu)成的 n+1維實線性空間，定義加權(quán)L2內(nèi)積：

式中，f(x)，g(x)是pn中的任意多項式，ω(α,β,x)是在上的Jacobi權(quán)函數(shù)。

若在pn上存在兩組基和滿足：

則可在pn的對偶空間pn*中定義線性算子：

第2類是利用廣義De Boor-Fix公式獲得。令f(x)， g(x)是 pn中的任意多項式，定義廣義 De Boor-Fix公式[12]：

式中，右邊是與τ無關(guān)的常量。若存在 pn上的兩組基滿足：

則在 pn的對偶空間 pn*中定義線性算子：

成立。奚梅成[13]與Othman和Goldman[14]各自獨立得到了Said-Ball基的對偶基，Wu[15]討論了SBGB基的對偶基，Jiang等[16]得到了WSGB的對偶基，Zhang等[17-18]分別討論了對稱冪基和WBGB基的對偶基。

DP曲線方面，盡管許多學(xué)者對其與Bézier曲線的相互轉(zhuǎn)換[19-20]和曲線降階算法[21-22]等進(jìn)行了廣泛討論，但對 DP基的對偶函數(shù)還沒有加以研究。為了便于求解任意曲線的最佳逼近DP曲線，本文研究DP基關(guān)于L2范數(shù)對偶函數(shù)的顯示表示。

1 兩組基與對偶基的關(guān)系

利用已知多項式基的對偶函數(shù)討論另一組多項式基的對偶函數(shù)是一種獲得對偶函數(shù)顯示表示的常用方法。因此，首先給出兩組基和對偶基之間的一個基本定理。

則對偶函數(shù)滿足：

證明. 設(shè)μjkvjk分別是和兩組基轉(zhuǎn)換公式的系數(shù)，即滿足：

要證明定理1，即要證明系數(shù)滿足：

由式(3)，得：

利用上面兩式可得：

利用式(1)、(3)和(4)，可得：

再利用式(5)~(6)，可得：

實質(zhì)上，利用定理1的方法可以證明關(guān)于廣義De Boor-Fix公式的對偶函數(shù)也滿足定理1的結(jié)論。下面就利用定理1和Bernstein基的相應(yīng)結(jié)論給出DP基關(guān)于L2內(nèi)積對偶函數(shù)的顯示表示。

2 DP基關(guān)于L2內(nèi)積的對偶函數(shù)

以pi(i=0,1,…,n)為控制頂點的n次DP曲線[8]：

式中：

式中：

為了利用定理 1，還需要知道 Bernstein基到DP基的轉(zhuǎn)換公式，文獻(xiàn)[20]給出了相應(yīng)轉(zhuǎn)換公式。

分別是Bernstein基到DP基，則：

當(dāng)n為偶數(shù)時：

式中：

當(dāng)n為奇數(shù)時：

因此，可以得到如下定理。

式中：

其中，aij和cij(i, j=0,1,… ,n)分別有式(8)~(9)給出。

當(dāng) n=3時，利用定理2，可以得到三次DP基的對偶函數(shù)的表達(dá)式：

圖1給出了三次DP基和對偶基的實例。圖1(a)是三次DP基：圖1(b)是關(guān)于L2范數(shù)的對偶函數(shù)：

實質(zhì)上利用定理1和Bernstein基也非常容易得到其他多項基關(guān)于加權(quán)L2內(nèi)積對偶函數(shù)的顯示表示，如文獻(xiàn)[11]利用構(gòu)造兩個向量內(nèi)積矩陣的方法得到的WBSG基關(guān)于加權(quán)L2內(nèi)積的對偶函數(shù)，證明過程繁瑣，利用本文定理 1也可以得到相同的結(jié)論。

圖1 三次DP基和對偶基實例

3 任意曲線的DP曲線逼近

給定任一函數(shù) p(t),尋求 p(t)的最佳多項式逼近是CAGD中的一個基本問題確定了DP基的對偶函數(shù)后，尋求 p(t)最小平方逼近意義下的最佳DP多項式是非常容易的。

證明. 不妨設(shè)函數(shù) p(t)的n次DP逼近多項式為：

由于pn(t)是 p(t)關(guān)于L2范數(shù)的最小平方逼近，因此要滿足：

極小。對上式中的 pi ,(i=0,1,… ,n)求偏導(dǎo)，應(yīng)滿足：

由上式，可知：

可得：

即，可證定理3。

由于圓弧不能精確表示為多項式曲線，給出圓弧的多項式逼近表示是非常重要的，例如圓弧：

利用式(11)，分別對x和y分量求得三次 DP曲線逼近控制頂點依次為(0.9973,–0.0023), (1.4926, 0.0553), (0.0553, 1.4926), (–0.0023, 0.9973)，逼近結(jié)果如圖2所示。

4 結(jié) 束 語

本文介紹了CAGD領(lǐng)域中的兩類多項式對偶函數(shù), 并給出了兩組多項式基和對偶基之間滿足的相互關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，給出了 DP基關(guān)于L2范數(shù)對偶函數(shù)的顯示表示，同時把對偶函數(shù)用于任意曲線的最小平方逼近問題。但是，在對偶函數(shù)的顯示表示式(10)中 dij計算復(fù)雜，且在曲線逼近應(yīng)用中沒有考慮端點約束，因此，如何簡化 dij計算和利用對偶函數(shù)獲得滿足端點約束的最佳逼近DP曲線是今后必須研究的重要問題。

圖2 圓弧及其三次逼近DP曲線

[1] 王國瑾, 汪國昭, 鄭建民. 計算機輔助幾何設(shè)計[M].北京: 高等教育出版社, 2001: 18-33.

[2]Sánchez-Reyes J. TheSymmetric analogue of the polynomial power basis [J]. ACM Transactions on Graphics, 1997, 16(3): 319-357.

[3] 王國瑾. 高次Ball曲線及其幾何性質(zhì)[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報, 1987, 2(1): 126-140.

[4]Said H B. A generalized Ball curve and its recursive algorithm [J]. ACM Transactions on Graphics, 1989, 8(4): 360-371.

[5] Wu Hongyi. Unifying representation of Bézier curve and generalized Ball curves [J]. AppliedMathematics-A Journal of Chinese Universities, 2000, 15(1): 109-121.

[6] 汪志華, 朱曉臨. Bézier曲線與Wang-Ball曲線的統(tǒng)一表示[J]. 計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報, 2008, 20(7): 888-893.

[7] 沈莞薔, 汪國昭. 一類新的廣義Ball基及其相應(yīng)曲線[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報: 工學(xué)版, 2011,45(3):435-439.

[8] Delgado J, Pe?a JM. AShape preserving representation with an evaluation algorithm of linear complexity [J]. Computer Aided Geometric Design, 2003, 20(1): 1-20.

[9] Jüttler B. The dual basis functions for the Bernstein polynomials [J]. Advances in ComputationalMathematics, 1998, 8(4): 345-352.

[10] Rababah A, Al-NatourM. The weighted dual functional for the univariate Bernstein basis [J]. AppliedMathematics and Computation, 2007, 186(2): 1581-1590.

[11] Zhang Li, Tan Jieqing, Wu Hongyi, et al. The weighted dual functions for Wang-Bézier type generalized Ball bases and their applications [J]. AppliedMathematics and Computation, 2009, 215(1): 22-36.

[12] Goldman R N. Dual polynomial bases [J]. Journal of Approximation Theory, 1994, 79(3): 311-346.

[13] 奚梅成. Ball基函數(shù)的對偶基及其應(yīng)用[J]. 計算數(shù)學(xué), 1997, 19(2): 147-153.

[14] Othman W A N, Goldman R N. The dual basis functions for the generalized Ball basis of odd degree [J]. Computer Aided Geometric Design, 1997, 14(6): 571-582.

[15] Wu Hongyi. Dual bases for a new family of generalized Ball bases [J]. Journal of ComputationalMathematics, 2004, 22(1): 79-88.

[16] Jiang Pin, Wu Hongyi, Tan Jieqing. The dual functionals for the generalized Ball basis of Wang–Said type and basis transformation formulas [J]. NumericalMathematics, A Journal of Chinese Universities (EnglishSeries), 2006, 15(3): 248-256.

[17] Zhang Li, Wu Hongyi, Tan Jieqing. Dual basis functions for the NS power and their applications [J]. AppliedMathematics and Computation, 2009, 207(2):434-441.

[18] Zhang Li, Wu Hongyi, Tan Jieqing. Dual bases for Wang–Bézier basis and their applications [J]. AppliedMathematics and Computation, 2009, 214(1): 218-227.

[19] JiangSurong, Wang Guojin. Conversion and evaluation for two types of parametricSurfaces constructed by NTP bases [J].Mathematical and ComputerModelling, 2005,49(2-3): 321-329.

[20] 成 敏, 王國瑾. 均勻 B 樣條基與 DP-NTP 基之間的轉(zhuǎn)換與應(yīng)用[J]. 軟件學(xué)報, 2006, 17(增刊): 38-45.

[21] Aphirukmatakun C, Dejdumrong N.Multiple degree elevation and constrainedMultiple degree reduction for DP curves andSurfaces [J]. Computers andMathematics with Applications, 2011, 61(8): 2296-2299.

[22] Liu Gang, Wang Guojin. Optimal constrained explicitMulti-degree reduction approximation of DP curves [J]. Journal of Information and ComputationalScience, 2011, 8(6): 869-876.

Dual Functions onL2Inner Product for DP Basis and Their Applications

Cai Huahui, peng Yongkang, Liu Bingxiang
(School of Information Engineering, Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezhen Jiangxi 333403, China)

An explicit formula for the dual functions of DP basis onL2inner product is derived. The general theory of polynomial dual functions in computer aided geometric design is first introduced, and by using conversion formulas between two polynomial basis, the conversion formulas between two corresponding dual functions are deduced. Then with this conversion formulas and the dual functions of Bernstein basis, the dual functions of DP basis onL2inner product are obtained. Finally, the application of this result in computer aided geometric design is discussed.

DP basis; dual functions;L2inner product; generalized De Boor-Fix formula; approximation

TP 391

A

2095-302X(2015)02-0166-06

2014-10-08；定稿日期：2014-10-24

國家自然科學(xué)基金資助項目(61262038, 61164014)；江西省自然基金資助項目(2012BAB201044)；景德鎮(zhèn)市科技局資助項目

蔡華輝(1975–)，男，浙江東陽人，副教授，博士。主要研究方向為計算機輔助幾何設(shè)計、計算機圖形學(xué)。E-mail：huahuicai@gmail.com