張 燕，楊 彬，王林山

（1.中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100；2.青島大學(xué)，山東 青島 266071）

0 引言

競(jìng)爭(zhēng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種無監(jiān)督學(xué)習(xí)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在模式識(shí)別、信號(hào)處理、優(yōu)化計(jì)算和控制理論中有著廣泛應(yīng)用。從生物學(xué)角度出發(fā)，人類記憶分為短期記憶（STM）和長(zhǎng)期記憶（LTM），STM描述網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)瞬時(shí)變化的動(dòng)力學(xué)行為；LTM描述網(wǎng)絡(luò)受外部刺激而誘發(fā)的無師指導(dǎo)下突觸緩慢變化的動(dòng)力學(xué)行為。由此，文獻(xiàn)［1］提出如下一類具有不同時(shí)間尺度的競(jìng)爭(zhēng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在運(yùn)行過程中，神經(jīng)元之間的突觸反應(yīng)不可避免地出現(xiàn)時(shí)間延遲效應(yīng)，因此人們研究了含有離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的競(jìng)爭(zhēng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力行為［2－4］。特別是，包含離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的S－ 分布時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力行為的研究更加引人注目［5－7］。另外，網(wǎng)絡(luò)在信號(hào)傳輸過程中易受噪聲干擾，噪音往往影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性［8－10］，因此，研究S－ 分布時(shí)滯隨機(jī)競(jìng)爭(zhēng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為不僅是應(yīng)用的需要，而且理論上也有重要意義。本文研究了一類S－分布時(shí)滯隨機(jī)競(jìng)爭(zhēng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的適定性和全局指數(shù)魯棒穩(wěn)定性。給出了易于驗(yàn)證的穩(wěn)定性判據(jù)，推廣了文獻(xiàn)［15-16］中的結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下S-分布時(shí)滯隨機(jī)競(jìng)爭(zhēng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

定義 1設(shè)x＝（x1，x2，…，xN）T，φ（θ）＝（φ1（t），φ2（t），…，φN（t））∈C（ （－ ∞，0］，RN）和D＝（dij）N×N，則其范數(shù)分別定義為：

定義2［12］設(shè)＝（0，0）T，i＝1，2，…，N為系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)，對(duì)于任意的有界的初始函數(shù)φ（θ）＝（φ1（θ），…，φN（θ））T，ψ（θ）＝（ψ1（θ），…，ψN（θ））T∈C（（－ ∞，0］，RN），zi（t）＝（xi（t），Si（t））T是系統(tǒng)（2）滿足條件（t）＝（φi（t），ψi（t））T，i＝1，2，…，N，－∞ ＜t≤0，的解。若存在常數(shù)λ＞0，K＞0，使得

則稱系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)＝（0，0）T，i＝1，2，…，N是全局均方指數(shù)穩(wěn)定的。

定義3［13］如果對(duì)每個(gè)A∈Al，B∈Bl，C∈Cl，D∈Dl，M∈Ml，且系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)z＊＝（0，0）T是全局均方指數(shù)穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)（2）在均方意義下是全局指數(shù)魯棒穩(wěn)定的。

引理1［14］考慮完備概率空間 （Ω，｛Ft｝，Ρ） 上的自治泛函微分方程：

其中：

若f，G滿足Lipschitz條件：

則系統(tǒng)（5）在［t0，T］上存在唯一連續(xù)的全局解。

引理2［11］（It定理）令u＝u（t，x1，x2，…，xd）是定義在［t0，T］×Rd上的連續(xù)函數(shù)且存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)ut，uxi，uxixj，i，j＝1，2，…，d，若d維隨機(jī)過程xi（t）在［t0，T］滿足：

則隨機(jī)過程u＝u（t，x1（t），x2（t），…，xd（t））的隨機(jī)微分為：

引理3［14］若系統(tǒng)的平衡點(diǎn)在均方意義下是全局指數(shù)穩(wěn)定的，那么網(wǎng)絡(luò)是幾乎必然一致指數(shù)穩(wěn)定。

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)下列條件成立：

（H1）：存在常數(shù)lj＞0，ξij＞0，i，j＝1，2，…，N，使得對(duì)任意x，y∈RN有：

（H2）存在常數(shù)μ＞0，使得

為證明方便，將系統(tǒng)（1）可化為：

由條件（H1）可以證明系統(tǒng)（14）等式右端系數(shù)滿足Lipschitz條件，證明如下：

設(shè)

顯然，由條件（H1），（15）和（16）可得

由（17）和引理1知系統(tǒng)（2）存在唯一滿足初值條件xi（θ）＝φi（θ），Si（θ）＝ψi（θ），i＝1，2，…，N，θ∈（－ ∞，0］解Z（t）＝（X（t），S（t））T，且以概率1連續(xù)。再證：平衡點(diǎn)z＊＝（0，0）T在均方意義下全局指數(shù)穩(wěn)定。

定義映射：

則由條件（H3）得：

定義Lyapunov泛函

根據(jù)引理2得：

由H（u）≥0，得

因此LV（t，x（t），S（t））≤0。

又因LV（t，x（t），S（t））≤0，所以有：

則根據(jù)定義3，系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)z＊＝（0，0）T在均方意義下是全局指數(shù)穩(wěn)定的，并且對(duì)每個(gè)A∈Al，B∈Bl，C∈Cl，D∈Dl，M∈Ml，系統(tǒng)（1）在均方意義下是全局指數(shù)魯棒穩(wěn)定的，依據(jù)引理3，平衡點(diǎn)z＊＝（0，0）T也是幾乎必然指數(shù)一致穩(wěn)定的。即網(wǎng)路幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定。注：由文獻(xiàn)［5］知，S-分布時(shí)滯的系統(tǒng)包含了離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的系統(tǒng)，反之不成立。因此，文獻(xiàn)［2-4］研究的問題是本文研究問題的特例，本文推廣了這些文獻(xiàn)中的有關(guān)結(jié)果。另外，S-分布時(shí)滯還包含了無窮分布時(shí)滯［18］的情形。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

考慮如下S－分布時(shí)滯隨機(jī)競(jìng)爭(zhēng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（N＝2）：

其 中fj（xj（t））＝sin（xj（t）），σij（xj）＝sin（xj（t）），ηj（t）＝，λj＞0，i，j＝1，2，

取pi＝1，i＝1，2，則滿足定理1中的條件，從而系統(tǒng)在均方意義下是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

取初值條件 （2，－1，－3，2） 得仿真圖像：

圖1 初值取 （2，－1，－3，2）T時(shí)系統(tǒng)的仿真結(jié)果Fig．1 The simulation results of the system at initial value （2，－1，－3，2）T

［1］Meyer-Baese A，Pilyugin S S，Chen Y.Global exponential stability of competitive neural networks with different time scale［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，2003，14：716-719.

［2］Wei Xuerui.Exponential stability of competitive neural networks with different time-varying delays［J］.Journal of Biomathematics，2012，27（3）：455-462.

［3］Xiaobing Nie，Jinde Cao.Multistability of competitive neural networks with time-varying and distributed delays［J］.Nonlinear A-nalysis：Real World Applications，2009，26（3）：928-942.

［4］Kwon O，Lee S，Park J.Improved delay-dependent exponential stability for uncertain stochastic competitive neural networks with time-varying delays［J］.Phys Lett，2008（A374）：219-233.

［5］王林山.時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［M］.北京：科學(xué)出版社，2008：86-96.

［6］Wang L S，Xu D Y.Global asymptotic stability of bidirectional associative memory neural networks with s-type distributed delays［J］.International Journal of Systems Science，2002，33（11）：869-877.

［7］張偉偉，王林山.S－分布時(shí)滯隨機(jī)區(qū)間細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)魯棒穩(wěn)定性［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)，2012：47（3），87-92.

［8］Qintao Gan，Renxi Hu，Yuhua Liang.Adaptive synchronization for stochastic competitive neural networks with mixed time-varying delays［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2012，17：3708-3718.

［9］Haibo Gu，Haijun Jiang，Zhidong Teng.Existence and global ex-ponential stability of equilibrium of competitive neural networks with different time scale and multiple delays［J］.Journal of Franklin Institute，2010，347：719-731.

［10］Huabin Chen.New delay-dependent stability criteria for uncertain stochastic neural networks with discrete interval and distributed delays［J］.Neurocomputing，2012（101）：1-9.

［11］Ludwig Arnold.Stochastic Differential Equation Theory and Applications［M］.Hoboken：A wiley-interscience publication，1971：88-92.

［12］Xuerong Mao.Stochastic Differential Equation and Applications［M］.Berlin：Springer-verlag，1997：149-152.

［13］Ruojun Zhang，Linshan Wang.Global exponential robust of interval cellular neural networks with s-type distributed delays［J］.Mathematical and Computer Modelling，2009（50）：380-385.

［14］鄭祖庥.泛函微分方程［M］.合肥：安徽教育出版社，1994.

［15］鐘守銘，劉碧森，王曉梅，等.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性理論［M］.北京：科學(xué)出版社，2008：208-301.

［16］Tolga Ensari，Sabri Arik.New results for robust stability of dynamical neural networks with discrete time delays［J］.Expert Systems with Applications，2010，37：5925-5930.

［17］Liao Wentong，Wang Linshan.Existence and global attractability of almost periodic solution for competitive neural networks with time-varying delays and different time scales［J］.Advances in Neural Networks，2006，3971：297-302.

［18］Bing Li，Daoyi Xu.Mean square asymptotic behavior of stochastic neural networks with infinitely distributed delays［J］.Neurocomputing，2009，72：3311-3317.