李曉宇，田康生，鄭玉軍，陳立

（空軍預(yù)警學(xué)院，武漢430019）

單星觀測下彈道導(dǎo)彈狀態(tài)估計與預(yù)測誤差分析*

李曉宇，田康生，鄭玉軍，陳立

（空軍預(yù)警學(xué)院，武漢430019）

如何利用預(yù)警衛(wèi)星提供的彈道導(dǎo)彈主動段狀態(tài)信息，以及被動段的預(yù)測信息引導(dǎo)預(yù)警雷達及時捕獲彈道導(dǎo)彈目標，是反導(dǎo)預(yù)警信息系統(tǒng)的一項重要功能。為此，需要準確獲取目標的狀態(tài)估計與預(yù)測誤差。針對單星觀測下基于標準模板的彈道導(dǎo)彈主動段狀態(tài)估計算法，獲得了關(guān)機點狀態(tài)參數(shù)以及估計誤差，為改善狀態(tài)估計提供了依據(jù)。在此基礎(chǔ)上建立了預(yù)測誤差估計模型，為優(yōu)化設(shè)定預(yù)警雷達搜索區(qū)域奠定了基礎(chǔ)。

單星，彈道導(dǎo)彈，關(guān)機點，狀態(tài)估計，預(yù)測誤差估計模型

0　引言

如何利用預(yù)警衛(wèi)星提供的彈道導(dǎo)彈主動段狀態(tài)信息以及被動段的預(yù)測信息引導(dǎo)預(yù)警雷達及時捕獲彈道導(dǎo)彈目標，是反導(dǎo)預(yù)警信息系統(tǒng)的一項重要功能。單星觀測預(yù)警作為預(yù)警系統(tǒng)必然歷經(jīng)的重要過程，即使在多顆預(yù)警衛(wèi)星全面部署后，也可作為一項及時有效的應(yīng)急預(yù)案以應(yīng)對突發(fā)情況［1］。單星觀測下彈道導(dǎo)彈狀態(tài)估計與預(yù)測誤差作為影響預(yù)警衛(wèi)星能否獲得彈道導(dǎo)彈實時運動狀態(tài)的重要指標，關(guān)系到能否有效引導(dǎo)預(yù)警雷達及時捕獲彈道導(dǎo)彈目標并最終部署攔截。

針對預(yù)警衛(wèi)星觀測彈道導(dǎo)彈問題，國內(nèi)外學(xué)者進行了相應(yīng)研究。文獻［2-3］針對預(yù)警衛(wèi)星觀測下的彈道導(dǎo)彈主動段問題，分別對發(fā)射點、關(guān)機點參數(shù)進行估計。文獻［4］建立了單級彈道導(dǎo)彈的動力學(xué)和運動學(xué)模型，但缺少模型的驗證。文獻［5-6］針對單星觀測下的彈道導(dǎo)彈射向研究，缺少對預(yù)測誤差的分析。文獻［7］在理論數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上建立了具有通用性的預(yù)測誤差估計模型，但沒有考慮關(guān)機點時間誤差這一重要因素。

本文針對單星觀測，通過基于標準模板的彈道導(dǎo)彈主動段狀態(tài)估計算法，獲得目標關(guān)機點相應(yīng)參數(shù)以及估計誤差，并在此基礎(chǔ)上建立單星預(yù)測誤差估計模型，為優(yōu)化設(shè)定預(yù)警雷達搜索區(qū)域奠定了基礎(chǔ)。

1　基于標準模板的主動段運動描述

單星觀測由于具有單一觀測時刻無法定位的不完全特性，不能充分利用逐點定位算法進行參數(shù)迭代，給目標狀態(tài)的準確估計與預(yù)測帶來了困難?；跇藴誓０宓膹椀缹?dǎo)彈主動段狀態(tài)估計算法是通過利用導(dǎo)彈目標的主動段先驗信息，對標準彈道模板庫進行匹配來獲得目標主動段狀態(tài)估計［8］。

1.1主要坐標系

基于標準模板法的主動段運動涉及的主要坐標系為發(fā)射坐標系、地心直角固定坐標系和衛(wèi)星天東北坐標系。

發(fā)射坐標系以發(fā)射點中心為原點，OX軸由原點O指向?qū)椛湎蚍较颍籓Y軸取過坐標系原點的鉛垂線，向上為正；OZ軸位于過坐標系原點的水平面內(nèi)，與OX軸、OY軸構(gòu)成右手坐標系。

地心直角固定坐標系（ECF）與地球固連在一起，隨地球一起轉(zhuǎn)動，其原點與地心重合并以地球旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，取正北方向為Z軸正向。ECF坐標系描述彈道導(dǎo)彈的運動狀態(tài)較為方便。

衛(wèi)星天東北坐標系（UEN）以衛(wèi)星傳感器S的中心位置為OU坐標原點，N軸指向正北，取正北方向為N軸正向，E軸指向正東，地心OE與OU連線的延長線作U軸。

圖1　ECF坐標系與衛(wèi)星UEN坐標系的關(guān)系

1.2測量模型

測量模型建立在UEN坐標系中，如圖1所示。參數(shù)λ、φ分別表示預(yù)警衛(wèi)星的經(jīng)度和緯度，s是衛(wèi)星到地心的距離。對于地球同步預(yù)警衛(wèi)星，φ=0，則衛(wèi)星的位置矢量s為：

在UEN坐標系內(nèi)，參數(shù)e和a分別為由衛(wèi)星指向目標的俯仰角和方位角?；诖?，UEN坐標系中衛(wèi)星指向目標TBM的矢量為u=［U，E，N］T，則

預(yù)警衛(wèi)星的紅外傳感器按一定角度掃描，現(xiàn)假定主動段時導(dǎo)彈發(fā)動機的尾焰被預(yù)警衛(wèi)星依次探測，共有M組觀測值，分別對應(yīng)T1，T2，…，TM時刻，導(dǎo)彈發(fā)射時刻為T0，關(guān)機點時間為Tbo，則有

預(yù)警衛(wèi)星通過角測量對目標進行觀測，設(shè)Tk時刻目標的狀態(tài)變量為ξ，則預(yù)警衛(wèi)星測量方程表示如下：

二維矢量hk（·）包括從預(yù)警衛(wèi)星sk到導(dǎo)彈目標的方位角ak（·）和俯仰角ek（·），由式（5）得：

1.3主動段運動描述

本文假定已根據(jù)標準彈道模板庫確定了導(dǎo)彈類型，利用四次多項式對目標彈道進行擬合。t表示目標飛行時間，hp和dp表示當前時刻目標距發(fā)射點的垂直高度和水平距離，則

已知彈道導(dǎo)彈的先驗信息后，結(jié)合發(fā)射點參數(shù)（發(fā)射時間T0、發(fā)射點的經(jīng)度λ0和緯度φ0、發(fā)射點的海拔高度h0、導(dǎo)彈射向α0）即可確定其主動段彈道。在實際飛行中，同一種導(dǎo)彈根據(jù)實際作戰(zhàn)應(yīng)用可采用高/低彈道（Lofted/Depressed Trajectory）飛行。因此，引入L～（-0.25，+0.25）對彈道進行修正，如下頁圖2所示。

式中，d、h分別表示彈道導(dǎo)彈的實際飛行距離和高度。

圖2　某彈道導(dǎo)彈飛行軌跡

已知觀測時刻Tk，則導(dǎo)彈飛行時間tk為

代入式（7）～式（10）可得dk、hk。如圖3所示，設(shè)θk是以地心為頂點，發(fā)射點與導(dǎo)彈當前位置的夾角，即：

圖3　地心角示意圖

根據(jù)球面三角關(guān)系，結(jié)合目標發(fā)射點參數(shù)后可得到目標在k時刻的緯度φk、經(jīng)度λk以及離地高度altk分別為：

根據(jù)ECF坐標系下衛(wèi)星與彈道目標TBM的轉(zhuǎn)換矩陣，ECF坐標系中彈道目標TBM的位置rk為：

2　彈道導(dǎo)彈關(guān)機點狀態(tài)估計

在彈道目標主動段，預(yù)警衛(wèi)星通過紅外探測器捕獲目標尾焰實施探測，但由于關(guān)機時刻目標發(fā)動機關(guān)機，目標尾焰大大減弱，給預(yù)警衛(wèi)星探測造成了極大困難，只能通過估計獲取目標關(guān)機點狀態(tài)。

2.1關(guān)機點時間估計

在已知彈道方程的條件下，關(guān)機點的位置和速度取決于關(guān)機點時間。關(guān)機時間的確定主要是利用衛(wèi)星最后觀測時刻Tlast，目標最大關(guān)機時間tmax以及衛(wèi)星采樣率Sn進行推算。設(shè)估計的導(dǎo)彈發(fā)射時間為T0，Tmax為先驗的最大關(guān)機時刻，則

如果Tmax-Tnest≥Sn，則

如果Tmax-Tnest

關(guān)機時間的估計受客觀條件所限往往存在較大誤差，主要與衛(wèi)星傳感器的采樣率Sn有關(guān)，即衛(wèi)星傳感器的采樣率Sn越高，關(guān)機點時間的估計精度也就越高。

2.2關(guān)機點位置及速度估計

關(guān)機點位置與速度的估計分為3個步驟進行：①根據(jù)衛(wèi)星最后觀測時刻的角測量信息推算目標位置信息；②根據(jù)位置信息求解最后觀測時刻的速度信息；③結(jié)合最后觀測時刻的位置與速度外推關(guān)機點時刻的位置與速度。

利用式（13）～式（15）可得關(guān)機點的緯度φbo、經(jīng)度λbo及海拔高度altbo，將上述參數(shù)轉(zhuǎn)換到ECF坐標系下，則彈道導(dǎo)彈目標TBM關(guān)機點的位置rbo為：

關(guān)機點的速度矢量用速率vbo、當?shù)厮絻A角γbo及方位角αbo來表示，則

當φbo-φ0≥0時

當φbo-φ0＜0時

2.3關(guān)機點狀態(tài)估計誤差

關(guān)機點位置是h0、L、T0和Tbo的函數(shù)，記：

其全微分為：

上式中h0、L、T0和Tbo的方差矩陣可從文獻［8］得到：

其中對角線元素為方差，其余為協(xié)方差。為了便于計算，協(xié)方差均取0，則根據(jù)誤差傳播率可得到關(guān)機點位置的標準差為：

關(guān)機點速度矢量（vbo，γbo，αbo）T的估計誤差方差同理可得：

至此，完成了單星觀測下彈道導(dǎo)彈主動段狀態(tài)估計研究，為后文建立預(yù)測誤差估計模型奠定了基礎(chǔ)。

3　預(yù)測誤差估計模型

目標在關(guān)機后完全依靠慣性飛行，關(guān)機點位置以及時間一定的情況下，在關(guān)機速度的影響下被動段預(yù)測軌跡與真實軌跡誤差越來越大，最終形成彈道誤差管道［9］?；诖耍疚脑趩涡怯^測的基礎(chǔ)上建立預(yù)測誤差估計模型，旨在增強預(yù)警雷達及時捕獲彈道目標的及時性與有效性。

預(yù)測誤差估計模型（如圖4所示）用于確定預(yù)警雷達搜索區(qū)域的體積邊界，對實施初始段攔截、實現(xiàn)落點預(yù)測具有很大幫助。預(yù)測誤差管道半徑為E，則

圖4　預(yù)測誤差估計模型

誤差管道半徑增長率c（%）表示衛(wèi)星預(yù)測目標軌跡的不確定區(qū)域大小隨時間變化的函數(shù)，是衡量衛(wèi)星引導(dǎo)性能的重要因素。

式中，σvc為關(guān)機點橫向速度誤差，Tim為關(guān)機點到落點的飛行時間，p為保證不確定區(qū)域大小的概率。

4　仿真分析

本文采用單顆地球同步衛(wèi)星進行觀測，目標為射程300 km的近程彈道導(dǎo)彈，發(fā)射點參數(shù)分別為T0=0 s、L=0、λ0=51 E、φ0=35 N、h0=0 km、射向α0=30°，穿云飛行時間為20 s，主動段關(guān)機最大時間為64.5 s。假定衛(wèi)星到目標的距離reff=37 911 km，衛(wèi)星觀測周期Sn=0.1。

圖5ECF下的主動段彈道軌跡

圖5是基于標準模板法的彈道導(dǎo)彈主動段運動軌跡。在觀測誤差的影響下，目標主動段真實彈道軌跡與觀測彈道軌跡會受到影響，從而關(guān)機點狀態(tài)估計存在誤差。

表1　關(guān)機點誤差參數(shù)

表1為目標關(guān)機點誤差參數(shù)，預(yù)測誤差管道半徑增長率c（%）取決于關(guān)機點速度以及橫向速度誤差。

第13頁圖6、圖7表示由表1建立的預(yù)測誤差管道平面圖，關(guān)機點狀態(tài)矢量通過標準模板法得出。圖7中關(guān)機點位于25.3 km處，在此之前的點劃線表示目標主動段運動軌跡，實線表示真實彈道軌跡，兩條虛線為預(yù)測彈道軌跡，構(gòu)成預(yù)測誤差管道。

圖6　水平平面的預(yù)測誤差管道

圖7　豎直平面的預(yù)測誤差管道

目標在關(guān)機后的254 s飛行至落點335 km處，預(yù)測誤差管道的半徑不斷增大。仿真得到的目標射程與理想射程大致相近，說明基于標準模板的彈道導(dǎo)彈主動段狀態(tài)估計算法有一定的可行性。

在已知預(yù)警雷達的位置和效能后，預(yù)測誤差管道為引導(dǎo)雷達實現(xiàn)搜索區(qū)域的劃分提供了依據(jù)，為預(yù)警雷達及時捕獲彈道目標提供了幫助。

5　結(jié)束語

本文首先通過標準模板的彈道導(dǎo)彈主動段狀態(tài)估計算法獲取了關(guān)機點狀態(tài)估計參數(shù)，并對關(guān)機點狀態(tài)估計誤差進行分析，在此基礎(chǔ)上建立預(yù)測誤差估計模型，一定程度上增強了反導(dǎo)預(yù)警信息系統(tǒng)的實時性及有效性。

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Error Analysis of Single Satellite Observe Ballistic Missile State Estimation and Forecast

LI Xiao-yu，TIAN Kang-sheng，ZHENG Yu-jun，CHEN Li
（Air Force Early Warning Academy，Wuhan 430019，China）

It is important aspect of the anti-ballistic early warning information system to cue warning radars to promptly capture ballistic missiles by using boost-phase state information and passive-phase prediction information of ballistic missiles provided by warning satellites.To this end，it is needed to obtain the state estimation and prediction error of targets.Based on the algorithm for estimating boost-phase states of ballistic missiles Nominal Profile templates when the single satellite is used for observation，burnout state parameters and estimation errors are obtained，which can be used to benefit state estimation.In addition，the forecast error estimation model is established to form a basis for optimizing the setting of warning radar search region.

single satellite，ballistic missile，burnout，state estimation，forecast error estimation model

TJ761.3

A

1002-0640（2015）08-0005-04

2014-06-15

2014-07-17

國家自然科學(xué)基金（61271451）；空軍研究生創(chuàng)新基金資助項目（KJ2010199）

李曉宇（1990-），男，河南平頂山人，碩士。研究方向：彈道導(dǎo)彈預(yù)警仿真。