王友就

一般地，對于函數(shù)，我們把方程的實根x叫作函數(shù)的零點。求解與函數(shù)零點有關的問題，需要仔細斟酌，稍有疏忽就會出錯，下面舉例分析。

一、對零點含義理解錯誤

例1 函數(shù)的零點是（）。

A.（1.0）

B.（4，O）

C.（1，O）或（4，O） D.1或4

錯解：應選C。

錯解分析：錯解的原因是沒有理解零點概念的含義，誤認為零點就是一個點。函數(shù)的零點是一個實數(shù)，即使成立的實數(shù)z，也是函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標。

正解：令，可得x=1或x=4，應選D。

二、忽視端點值致錯

例2 若函數(shù)f（x）在區(qū)間[5，5]上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且f（x）在（-5，5）內有一個零點，則的值（）。

A.小于O

B.大于0

C.等于0

D.不能確定

錯解：由函數(shù)零點存在性定理知f（-5）.f（5）錯解分析：應該正確理解函數(shù)零點的含義及函數(shù)零點的存在性。當函數(shù)f（x）在（-5，5）內有一個零點時的符號不能確定。

正解：已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，5]上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)f（x）在（-5，5）內有一個零點，若該零點是變號零點，則有，否則有。應選D。

三、盲目運用零點存在性定理致錯

例3 判斷函數(shù)在區(qū)間[-1，1]內是否有零點。

錯解：因為，所以.可知麗數(shù)在區(qū)間[-1.1]內沒有零點。

錯解分析：上述解法錯用了函數(shù)零點存在性定理。若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)曲線，則在[a，b]內可能有零點。

正解：令可得，所以函數(shù)2015在區(qū)間[-l，1]內有兩個零點。

四、忽視二次項系數(shù)為零致錯

例4 函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)零點，則實數(shù)m的取值范圍是______。

錯解：對于函數(shù)，若即，則m=l，可知方程0有唯一實根x=1。

若△≠0，顯然x=0不是零點，這樣函數(shù)f（x）有且僅有一個正實數(shù)零點等價于方程1=0有一正根和一負根，則mf（0）<0，即m<0。

所以實數(shù)m的取值范圍是（-∞，0）U{1}。

錯解分析：錯解忽視了對m=0的討論。若m=0，則f（x）=-2x+l是一次函數(shù)。

當，此時函數(shù)f（x）有且僅有一個正實數(shù)零點。

正解：若是函數(shù)f（x）的一個正實數(shù)零點。

若m≠0，當△=O時，即可得m=l，可知方程有唯一正實根x=1；當△≠0時，顯然x=0不是零點，這樣函數(shù)f（x）有且僅有一個正實數(shù)零點等價于方程，1=0有一正根和一負根，則，mf（O）<0，即m<0。

所以實數(shù)m的取值范圍是（-∞，0]U{1}。

五、忽視特殊值x=1致錯

例5 若函數(shù) f（x）=則函數(shù)y=f（x）-x的零點為_______。

錯解：由解得所以函數(shù)y=f（x）-x的零點為

錯解分析：上述解法漏掉了

正解：函數(shù)y=f（x）-x的零點即為方程f（x）=x的根。