■方　草

運用幾何畫板的深度迭代功能展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美

■方草

隨著新課程改革在全國的推進，信息技術(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用越來越廣泛，幾何畫板憑著簡單直觀的操作界面和強大的作圖、運算、編程、拓展能力，無疑成為了我們數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用得最為廣泛的軟件。幾何畫板中的深度迭代功能強大，能夠?qū)?shù)學(xué)之美表現(xiàn)得淋漓盡致。但是大多數(shù)教師只會簡單地運用幾何畫板展現(xiàn)圖形或者動畫，這些應(yīng)用遠遠不能發(fā)揮幾何畫板的強大功效，更不能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)之美，也無助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣。那么幾何畫板如何才能較好地在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用呢？如何運用幾何畫板和多媒體技術(shù)展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美呢？本文就這些問題展開探討。

一、什么是深度迭代

迭代在幾何畫板的“變換”下拉菜單中，深度迭代需要按住shift鍵再點開“變換”菜單才能顯示出來，那么什么是迭代，什么是深度迭代呢？這是很多幾何畫板學(xué)習者所困惑的一個問題。迭代就像數(shù)學(xué)中的函數(shù)。函數(shù)是數(shù)到數(shù)的映射，例如：若給定y=f（x），參數(shù)a，計算f（a），其中a→f(a)就是迭代。若將函數(shù)值再代入函數(shù)計算f（f（a）），這就是按照上述方法進行兩重迭代。在幾何畫板中選中參數(shù)a,選擇迭代到f（a），然后設(shè)置迭代次數(shù)為兩次即可完成上述操作。這是一個靜態(tài)演示的過程，如果再新建一個參數(shù)n，先選中a，再選中n，按住shift點開“變換”選擇“深度迭代”，將原象a對應(yīng)到初象f（a）,最后選擇的參數(shù)n即為迭代次數(shù)。對于參數(shù)n設(shè)置動畫按鈕，參數(shù)n的變化就能引起迭代相關(guān)對象的動態(tài)變化，配合相關(guān)圖形，即能對學(xué)生形成視覺刺激，留下深刻的影響，奇妙的變化也能讓學(xué)生產(chǎn)生探索的欲望。從上面我們可以看到幾何畫板中迭代的控制方式分為兩種，一種是沒有參數(shù)的迭代，另一種是帶參數(shù)的迭代，我們稱為深度迭代。兩者沒有本質(zhì)的不同，但前者需要手動改變迭代的深度，后者可通過修改參數(shù)的值來改變迭代深度，因此我們可以制作參數(shù)的動畫按鈕來產(chǎn)生迭代的動畫。

二、在中學(xué)教學(xué)中如何運用深度迭代

深度迭代比較適合在中學(xué)數(shù)學(xué)的大多數(shù)板塊中應(yīng)用，比如：平面幾何、立體幾何、函數(shù)、數(shù)列、概率模擬、微積分等等。

1.用深度迭代展示“二分法”求函數(shù)的零點

在我們平常的教學(xué)中大多是列表用計算器來算二分法表格中的函數(shù)值，不僅計算速度慢，而且枯燥乏味，不能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣和學(xué)習熱情。教材中給出了通過EXCEL利用二分法求函數(shù)零點的方法，由于界面不夠形象美觀，也很難激起學(xué)生的興趣。如果我們用幾何畫板的迭代工具通過二分法求零點，不僅過程動態(tài)可見，而且能夠較好地將數(shù)學(xué)之美通過幾何畫板展現(xiàn)出來，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習熱情。

2.利用幾何畫板的深度迭代模擬撒豆子估算圓周率

圓周率的認識歷史實際上是一部數(shù)學(xué)發(fā)展史。我們可通過對前人研究圓周率的歷程和方法介紹，引起學(xué)生對未知知識的探究興趣。我們也可用計算機快速模擬撒豆子計算圓周率，這樣在向?qū)W生展示現(xiàn)代信息技術(shù)魅力的同時，也可通過這個動畫過程的演示向?qū)W生展示數(shù)學(xué)之美。

3.利用幾何畫板的深度迭代畫樹形圖

（1）在垂直方向上畫線段AB，在AB左上區(qū)域任取一點C。

（2）度量CB，AB的長度，計算CB/BA；度量∠CBA的大小。

（3）雙擊C點作為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角度為∠CBA，旋轉(zhuǎn)B得到點E；繼續(xù)以CB/BA為縮放比例。

（4）雙擊線段AB作為標記鏡面，得到C、F、G關(guān)于線段AB的對稱點D、H、I，連接GC、FC、ID。

（5）新建參數(shù)n=3。順次選擇A、B、C三點和參數(shù)n，作深度迭代，(A,B,C)?(B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。

（6）移動C點的位置，改變樹枝的形狀。

深度迭代的過程是：

（1）順次選擇原像和參數(shù)n。（注意順序）

（2）按住shift不放，單擊菜單【變換】【深度迭代】（出現(xiàn)對話框后可以松開shift鍵）。

（3）依次選取初像。（注意順序）添加映射的方法是按鍵盤“Ctrl+A”。

從上面的例子我們可以看到，利用幾何畫板的深度迭代，可以直接改變由聽數(shù)學(xué)、練數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)教學(xué)模式為看數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)實驗的新型數(shù)學(xué)教學(xué)模式。這種方法既解決了教學(xué)的難點，突出了重點，優(yōu)化了課堂，又能夠極大地激發(fā)學(xué)生做數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué)的興趣，使得學(xué)生不僅能夠體會到學(xué)習新知的愉悅，還能體驗到數(shù)學(xué)的美妙與信息技術(shù)的神奇之處，同時這也可以作為我們教改的一個有效的切入點。

數(shù)學(xué)美無論是概念之美、公式之美，還是圖象之美、結(jié)構(gòu)之美，都是一種自然的、真實的美。它不像藝術(shù)美那么外顯，也就是說，數(shù)學(xué)美的信息是隱藏在數(shù)學(xué)知識、教學(xué)方法、教學(xué)語言之中的，是隱形的。數(shù)學(xué)教師的責任就是要努力挖掘、精心提煉數(shù)學(xué)教材中各種各樣的美，讓學(xué)生通過享受數(shù)學(xué)之美，從而真正熱愛上數(shù)學(xué)學(xué)習。

（作者單位：武漢市第十九中學(xué)）

責任編輯王愛民