唐軍，趙波

（1.河南理工大學(xué)機械與動力工程學(xué)院，河南焦作454000；2.新鄉(xiāng)學(xué)院機電工程學(xué)院，河南新鄉(xiāng)453003）

分離型縱-扭復(fù)合超聲銑削的穩(wěn)定性分析

唐軍1，2，趙波1

（1.河南理工大學(xué)機械與動力工程學(xué)院，河南焦作454000；2.新鄉(xiāng)學(xué)院機電工程學(xué)院，河南新鄉(xiāng)453003）

基于運動合成原理，分析了分離型縱-扭復(fù)合超聲銑削加工的運動特點，闡明了其具有降低切削力、促進(jìn)切屑排出以及延長刀具使用壽命的實質(zhì)；基于結(jié)構(gòu)動力學(xué)原理，考慮縱-扭復(fù)合超聲振動對銑削系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，建立了分離型縱-扭復(fù)合超聲銑削加工的動力學(xué)模型和穩(wěn)定域的解析模型，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用MATLAB 7.1軟件進(jìn)行數(shù)值分析獲得了切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性預(yù)測圖譜（即葉瓣圖）；利用碳纖維復(fù)合材料進(jìn)行分離型縱-扭復(fù)合超聲振動銑削試驗研究，試驗結(jié)果與數(shù)值計算結(jié)果基本一致，驗證了理論模型與穩(wěn)定性葉瓣圖的正確性。

機械制造工藝與設(shè)備；超聲波加工；縱扭復(fù)合振動；穩(wěn)定性；葉瓣圖

0 引言

在傳統(tǒng)的銑削加工過程中，由于刀具對工件的不連續(xù)切削，刀具前一次切削形成的振動紋理與本次切削位移之間存在一定的相位差，導(dǎo)致刀具的瞬態(tài)切削厚度產(chǎn)生改變引起銑削系統(tǒng)的自激振動，進(jìn)而在工件表面上留下明顯的振紋，這種系統(tǒng)失穩(wěn)現(xiàn)象就是再生顫振［1］。其中，再生顫振被公認(rèn)為是引起切削系統(tǒng)失穩(wěn)、降低零件加工質(zhì)量的最主要因素之一［2］。因此，針對切削系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究就凸顯尤為重要。

通常情況下，為了提高切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性，人們常采用超聲加工法［3-4］、變速切削法［5-6］、變刀具幾何角度法［7］、主動控制法［8］以及智能控制法［9］等。其中，超聲加工法是近代興起的一門技術(shù)，它改變了傳統(tǒng)的切削加工過程，具有一系列的優(yōu)良特性。20世紀(jì)90年代，于勁等針對分離型單向超聲波振動加工進(jìn)行研究，建立了切削系統(tǒng)的動力學(xué)模型和傳遞函數(shù)表達(dá)式［10］，分析了切削顫振的抑制機理，并得出顫振抑制效果由切削系數(shù)唯一確定的結(jié)論［11］。

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，研究學(xué)者發(fā)現(xiàn)超聲波復(fù)合振動加工（縱-彎、縱-扭和雙彎曲）在改善切削系統(tǒng)動態(tài)特性等方面比單向超聲加工更具優(yōu)勢。文獻(xiàn)［12-13］通過對超聲波橢圓振動車削加工的動態(tài)特性進(jìn)行分析研究，闡明了其抑制再生性切削顫振、提高系統(tǒng)穩(wěn)定切削剛度的本質(zhì)。之后，Liu等［14］、皮鈞等［15］、Hassan等［16］以及Andrea等［17］通過將超聲橢圓加工技術(shù)（縱-彎、縱-扭以及雙彎曲）和旋轉(zhuǎn)超聲加工技術(shù)有機結(jié)合，解決了一些工程實際問題。通過工程應(yīng)用，人們還發(fā)現(xiàn)分離型縱-扭復(fù)合超聲加工更有利于刀具進(jìn)行旋轉(zhuǎn)銑削［18］。然而，關(guān)于分離型縱-扭復(fù)合超聲銑削加工穩(wěn)定性的研究尚屬空白，這極大束縛了分離型縱-扭復(fù)合超聲銑削加工的工程應(yīng)用。

本文基于運動合成原理，分析了分離型縱-扭復(fù)合超聲加工過程中刀具的運動特性，之后，基于結(jié)構(gòu)動力學(xué)原理，建立了分離型縱-扭復(fù)合超聲銑削的動力學(xué)模型，推導(dǎo)了切削系統(tǒng)穩(wěn)定性圖譜的繪制方法，最后通過切削試驗證明了理論推導(dǎo)的正確性。

1 縱-扭復(fù)合超聲銑削的動態(tài)特性分析

依據(jù)刀具相對于工件的運動特點，縱-扭復(fù)合超聲銑削加工可以分為兩種類型［19-20］，即分離型縱-扭復(fù)合超聲銑削（K＜1）和不分離型縱-扭復(fù)合超聲銑削（K≥1）。其中，速度系數(shù)K是區(qū)分這兩種類型的關(guān)鍵參數(shù)，它可以表示為

式中:v為刀具相對于工件的瞬時切削線速度；vc為臨界切削速度；Amax為切削方向上的最大振幅；f為超聲波振動頻率。

圖1（a）為縱-扭復(fù)合超聲銑削的銑刀運動模型。在整個加工過程中，銑刀在進(jìn)行回轉(zhuǎn)運動的同時還被施加了縱-扭復(fù)合高頻振動。由于立銑刀的回轉(zhuǎn)速度、縱振速度與扭振速度都遠(yuǎn)大于工件的直線進(jìn)給速度，所以可以在Oxy平面沿銑刀的圓周方向進(jìn)行展開，得到縱-扭復(fù)合超聲銑削的切削模型，如圖1（b）所示。

圖1 縱-扭復(fù)合超聲振動系統(tǒng)銑削機理模型Fig.1 The milling mechanism model of longitudinal-torsional composite ultrasonic vibration system

由圖1（b）可知，刀尖的周向與軸向位移為

立銑刀刀尖的周向與軸向速度為

式中:ω為超聲波換能器的激振角頻率；α表示縱向振動與扭轉(zhuǎn)振動的相位差；δz、δθ分別表示刀具的縱向振動與扭轉(zhuǎn)振動的幅值；vr0表示銑刀切向速度。

由（2）式可知，在縱振與扭振的相位差為90°時，立銑刀刀尖的運動軌跡如圖2所示。從圖2可以清晰看出，在縱-扭復(fù)合超聲振動切削的一個周期內(nèi)，銑刀刀尖是從P0點開始經(jīng)P1、P2、P3、P4、P5點最后到達(dá)P′0點。整個振動切削周期由切入階段（P0-P1-P2）、切出階段（P2-P3-P4-P5）以及分離階段（P5-P′0）三部分組成。值得指出，在P0-P1和P5-P′0階段，刀具與工件處于分離狀態(tài)，而在P1-P2-P3-P4-P5階段，刀具與工件處于接觸狀態(tài)。其中，刀具與工件的摩擦力方向的反轉(zhuǎn)將出現(xiàn)在P4點。這種摩擦力反轉(zhuǎn)特性會降低切削力，促進(jìn)切屑排出。同時由于刀具與工件的分離特性，切削液就可以進(jìn)入到切削區(qū)，充分潤滑和冷卻刀具，延長刀具使用壽命。

圖2 刀尖的運動軌跡Fig.2 The trajectory of milling tip

2 分離型縱-扭復(fù)合超聲銑削動力學(xué)建模

2.1 動力學(xué)建模

由于縱-扭復(fù)合振動施加于懸伸的立銑刀之上，銑削系統(tǒng)的動力學(xué)模型可以簡化成質(zhì)量-阻尼-彈簧系統(tǒng)，如圖3所示。其中，Ω為主軸的轉(zhuǎn)速（r/min）；vz與vl分別為超聲波縱振與扭振的振速。

式中:mti、cti、kti（i=x，y，z）分別表示系統(tǒng)在x、y和z方向上的質(zhì)量、阻尼和剛度；Fti（t）則表示t時刻作用于刀具上總切削力在x、y和z方向上對應(yīng)的分力。

在縱-扭復(fù)合超聲銑削過程中，縱向振動（即:沿軸線方向的振動）對于切削系統(tǒng)的影響主要歸于切削深度變化，而它對切削厚度影響比較小。考慮銑削加工過程中進(jìn)給速度方向和法線方向兩自由度所建立的動態(tài)切削模型如圖4所示。其中，φj為第j個刀齒的角位移，φj（t）=（2πΩ/60）t-（j-1）2π/Nt，Nt為銑刀的刀齒數(shù)；Ftj（t）與Frj（t）分別表示第j個刀齒所受到的切向與徑向切削力分量。

作用在立銑刀x和y方向上的切削力可以分別表示為

圖3 縱-扭復(fù)合超聲銑削系統(tǒng)Fig.3 Longitudinal-torsional ultrasonic milling system

圖4 動態(tài)銑削模型Fig.4 Dynamic milling model

作用在第j個刀齒上的動態(tài)切向力和徑向力分別為

式中:Kt為切向切削力系數(shù)；Kr為徑向切削力系數(shù)；Thj（t）為考慮了再生效應(yīng)的瞬時切削厚度；αp表示靜態(tài)軸向位移；為動態(tài)軸向位移，分別為超聲波軸向振動（即:縱向振動）的振幅與圓頻率，φ為超聲波縱向振動與扭轉(zhuǎn)振動之間的相位差；g（φj）為判斷第j個刀齒是否參于切削的窗函數(shù)。

式中:φst與φex分別為第j個刀齒的切入角和切出角。順銑時，φst=arccos（2ae/D-1），且φex=π rad；逆銑時，φex=arccos（1-2ae/D），且φst=0 rad.ae/D為刀具的徑向浸入比。

式中:Thst（t）為系統(tǒng)切削厚度的靜態(tài)組成部分Thst（t）=αtsin（φj），αt為每齒的進(jìn)給量；r（t）為當(dāng)前切削刃的徑向振紋軌跡，r（t）=xsin（φj）+y· cos（φj）；r（t-T）為前一切削刃在工件徑向殘留下來的振紋軌跡；lu（t）為扭轉(zhuǎn)超聲振動的切削表征函數(shù)，如圖5所示，

式中:當(dāng)lu（t）=1時，刀具的前刀面與切屑之間的摩擦力與切屑流出方向相反，阻礙切屑的流出；當(dāng)lu（t）=0時，刀具的前刀面與切屑進(jìn)行分離，刀具處于非切削狀態(tài)。

圖5 表征扭轉(zhuǎn)振動切削的切削狀態(tài)函數(shù)Fig.5 Function representing the cutting state in torsional vibration cutting

對（9）式所示的扭轉(zhuǎn)超聲振動特征函數(shù)進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開:

式中:tlc表示在超聲波扭振作用下切削刃參與切削的時間，tlc=tls-tli；Tlu與ωlu分別表示超聲波扭轉(zhuǎn)的振動周期與圓頻率；

根據(jù)分離型超聲振動切削的特點，相比于（10）式中的諧波項，常數(shù)項對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性有更為重要的影響，所以將諧波作用部分進(jìn)行忽略不計。此外，由于切削厚度中的靜態(tài)部分對系統(tǒng)的再生型切削效應(yīng)不起作用，所以可將（8）式中的Thst（t）部分忽略。此時，（8）式可以改為

將（6）式、（11）式代入（5）式中，并將其化為矩陣形式:

矩陣A為文獻(xiàn)［8］中的“時變方向動力學(xué)系數(shù)”。為了使矩陣A與時間因素?zé)o關(guān)，將其依傅里葉級數(shù)進(jìn)行展開，并忽略其多重諧波形式的高階項，僅保留零階常數(shù)項。此時，矩陣A的零階項A0為

2.2 穩(wěn)定性研究

在銑削加工過程中，機床-刀具加工區(qū)域的結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)Φ（iω）可以表示為

式中:Φxx（iω）與Φyy（iω）分別為x、y方向的直接傳遞函數(shù)；Φxy（iω）與Φyx（iω）分別為x、y方向的交叉?zhèn)鬟f函數(shù)。

考慮刀具當(dāng)前時刻t的振動與前一個刀齒切削周期t-T的振動，系統(tǒng)運動方程的頻域表達(dá)式為

在此處引入一個新的Λ變量:

此時，方程（15）式可以表示為

考慮刀具進(jìn)給方向及法線方向兩個自由度，并忽略系統(tǒng)“時變方向動力學(xué)系數(shù)”傅里葉展開的高階項與結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)的交叉項，可得系統(tǒng)運動方程中關(guān)于Λ的兩個特征值:

式中:a0=Φxx（iωc）Φyy（iωc）（ThxxThyy-ThxyThyx）；a1=ThxxΦxx（iωc）+ThyyΦyy（iωc）.

由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)為復(fù)數(shù)，所以參數(shù)Λ包含實部ΛR與虛部ΛI(xiàn)兩部分，即Λ=ΛR+iΛI(xiàn).將e-iωcT=cos（ωcT）-isin（ωcT）代入（16）式中進(jìn)行整理，可以得到ΛR與ΛI(xiàn)的關(guān)系為

式中:軸向臨界切削深度為

對應(yīng)于引起顫振頻率的主軸臨界轉(zhuǎn)速為

式中:ωc為系統(tǒng)發(fā)生顫振的角頻率；k為系統(tǒng)產(chǎn)生的波紋數(shù)。

3 縱-扭復(fù)合超聲銑削的穩(wěn)定性預(yù)測與驗證

3.1 穩(wěn)定性預(yù)測圖譜

根據(jù)上述分析可知，機床-刀具加工區(qū)域的結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)是分析加工系統(tǒng)動態(tài)特性的關(guān)鍵。其中，此結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)的確定采用模態(tài)試驗分析法。模態(tài)分析的試驗原理如圖6所示。

圖6 模態(tài)試驗原理圖Fig.6 Schematic diagram of modal test

模態(tài)試驗機床選擇上海第四機床廠的XH714B立式加工中心，銑刀選直徑φ12 mm，銑刀螺旋角為35°，刀齒數(shù)為4；測試的設(shè)備主要有:丹麥B&K公司生產(chǎn)的7700 Pulse數(shù)據(jù)采集分析儀，4506B型內(nèi)置放大電路的加速度傳感器，以及8207型激振力錘。利用上述設(shè)備對銑刀進(jìn)行錘擊激振試驗，獲得圖7所示銑刀刀尖的頻響曲線。

在試驗?zāi)B(tài)分析過程中，通常使用相干函數(shù)來判斷測試的可靠性。相干函數(shù)指的是輸入、輸出互譜的模平方與其自譜之積的比值。在實際測量過程中，由于存在儀器誤差和外界振動的干擾，所以相關(guān)系數(shù)總是小于1.此相關(guān)系數(shù)通常作為系統(tǒng)頻響函數(shù)的評價指標(biāo)，其大小直接反應(yīng)激勵信號與響應(yīng)信號的相關(guān)度。一般認(rèn)為相關(guān)系數(shù)大于0.8時，測量的頻響曲線是真實可信的。圖8所示為敲擊銑刀得到的相干曲線。

圖7 刀尖的頻響曲線Fig.7 The frequency response curve of milling tip

圖8 相干曲線Fig.8 The coherence curve

在獲取了加工系統(tǒng)的主模態(tài)后，選擇與之相鄰近的顫振頻率，求解系統(tǒng)運動方程的特征值，進(jìn)而獲得銑削加工過程中軸向臨界切削深度與主軸轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系（即葉瓣圖譜）。其中，超聲波縱-扭復(fù)合振動系統(tǒng)的頻率為f=36.5 kHz，縱振振幅為7.5 μm，扭振振幅為0.138×10-3rad.根據(jù)第2節(jié)穩(wěn)定性分析的相關(guān)理論內(nèi)容，并結(jié)合數(shù)控機床主軸的實際工作轉(zhuǎn)速范圍（即:分離型縱-扭復(fù)合切削）500～700 r/min，選擇顫振波紋數(shù)k為90～96，最終繪制出普通銑削與縱-扭復(fù)合銑削的穩(wěn)定性葉瓣圖，如圖9所示。

圖9 穩(wěn)定性葉瓣圖Fig.9 The stability lobes diagram

由圖9所示的穩(wěn)定性葉瓣圖可知:相比于普通銑削，縱-扭復(fù)合超聲銑削不僅可以提高系統(tǒng)切削極限深度的極限值，而且能夠增大穩(wěn)定性區(qū)域。這主要是因為:超聲波扭轉(zhuǎn)振動使得銑刀前刀面與切屑間摩擦力方向發(fā)生“反轉(zhuǎn)”。這不僅能夠促進(jìn)切屑排出，進(jìn)一步磨光刀具的表面，而且能夠抑制再生型切削顫振的發(fā)生。此外，超聲波縱向振動則會使得銑刀刀尖對工件表面進(jìn)行高頻“點壓”，進(jìn)而提高工件表面的加工質(zhì)量和抗疲勞強度。

3.2 穩(wěn)定性試驗

為了充分驗證穩(wěn)定性葉瓣圖的準(zhǔn)確性，下面根據(jù)表1中“主軸轉(zhuǎn)速—切削深度”組合參數(shù)進(jìn)行試驗驗證，同時記錄數(shù)控機床切削過程中的力信號。表1中給出了數(shù)控機床在切削參數(shù)下，主軸的振動量。

ATLAS求解器基于開源代碼Adventure二次開發(fā)。Adventure結(jié)構(gòu)力學(xué)分析軟件基于高速并行原理開發(fā)，計算收斂速度提升相當(dāng)明顯，求解速度較常規(guī)有限元軟件求解速度快一個數(shù)量級以上。

表1 不同切削參數(shù)下主軸振動量Tab.1 Vibrations of spindle due to different machining parametersg

值得指出的是，表1雖然給出了機床主軸的振動量，但是它并不能作為判斷穩(wěn)定性的依據(jù)。一般情況下，準(zhǔn)確判穩(wěn)還需要借助所采集的切削力信號。圖10中給出了根據(jù)切削力信號判斷試驗點穩(wěn)定性的標(biāo)記，其中“○”表示該試驗點進(jìn)行穩(wěn)定切削，“□”表示該試驗點發(fā)生顫振，“?”表示該點切削穩(wěn)定性無法判斷。其中，在進(jìn)行普通銑削時，圖10中的B、C、D、E、F點均發(fā)生了顫振。然而，在縱-扭復(fù)合超聲銑削時，B、E、F點轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定切削點，C點與D點也轉(zhuǎn)化為臨界點。

圖10 穩(wěn)定性預(yù)測邊界與試驗驗證參數(shù)點Fig.10 The comparison of stabilities of predicted and experimental results

為了方便比較，選擇圖10中更具有代表性的B點（575 r/min，0.7 mm）進(jìn)行研究，并給出在施加縱-扭復(fù)合超聲振動前后的切削力時域信號與相應(yīng)的頻譜信號，如圖11、圖12所示。

為了進(jìn)一步研究縱-扭復(fù)合超聲振動下刀具的振動情況，分別選取位于顫振區(qū)域的A點和位于穩(wěn)定區(qū)域的B點進(jìn)行時域仿真分析，得到刀具動態(tài)位移的仿真結(jié)果，如圖13所示。

由圖13可知，位于穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)B點最大振幅為1.842×10-5m，刀具的振動信號呈收斂趨勢，然而位于顫振區(qū)域內(nèi)A點最大振幅為1×10-4m，振動信號則呈發(fā)散趨勢。在實際切削過程中，這種顫振現(xiàn)象極易引起刀具的損壞和工件表面加工質(zhì)量的降低。

4 結(jié)論

1）通過分析分離型縱-扭復(fù)合超聲加工過程中刀具運動特性，揭示了加工過程中刀具—工件的“分離特性”和“摩擦力反轉(zhuǎn)特性”具有降低切削力，促進(jìn)切屑排出與延長刀具使用壽命的本質(zhì)。

2）綜合考慮縱-扭復(fù)合超聲振動對銑削系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，同時基于結(jié)構(gòu)動力學(xué)原理，建立了分離型縱-扭復(fù)合超聲銑削系統(tǒng)的動力學(xué)模型和穩(wěn)定域解析模型，并得出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性預(yù)測圖譜（葉瓣圖）。

3）通過分離型縱-扭復(fù)合超聲銑削試驗，驗證了文中理論模型和穩(wěn)定性葉瓣圖圖譜的準(zhǔn)確性。

圖11 普通銑削條件下B點的切削力與頻譜Fig.11 The cutting force and frequency spectrum of Point B under normal milling conditions

圖12 縱-扭復(fù)合超聲銑削條件下B點的切削力與頻譜Fig.12 Cutting force and frequency spectrum of Point B under longitudinal-torsional ultrasonic milling conditions

圖13 刀具動態(tài)位移仿真結(jié)果Fig.13 The simulated results of dynamic cutting displacement

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Stability Analysis of the Separated Longitudinal-torsional Composite Ultrasonic Milling

TANG Jun1，2，ZHAO Bo1
（1.School of Mechanical and Power Engineering，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 45400，Henan，China；2.College of Mechanical and Electrical Engineering，Xinxiang University，Xinxiang 453003，Henan，China）

The motion characteristics of separated longitudinal-torsional composite ultrasonic milling are analyzed based on the kinematics synthesis principle，and the essential characteristics of reducing the cutting force，promoting the chip removing and improving the tool life are elucidated.The dynamic model and the stability region analytical model of the separated longitudinal-torsional composite ultrasonic milling are constructed based on the theory of structural dynamics by considering the effects of longitudinaltorsional composite ultrasonic vibration.On the basis of that，the stability lobe diagram of cutting system is obtained by using the software MATLAB 7.1.the carbon fiber composite material is used for the experimental study.The experimental results show a good agreement with the numerical results，thus confirming the correctness of theoretical model and stability lobe diagram.

manufaturing technology and equipment；ultrasonic machining；longitudinal-torsional composite vibration；stability；lobe diagram

TB115；TB552

A

1000-1093（2015）07-1318-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.07.022

2014-07-15

國家“863”計劃項目（2013AA040103）

唐軍（1982—），男，博士研究生。E-mail:TangJun13915929095@163.com；趙波（1956—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:zhaob@hpu.edu.cn