李興隆，賈方秀，王曉鳴，姚文進，吳巍

（1.南京理工大學智能彈藥國防重點學科實驗室，江蘇南京210094；2.63863部隊，吉林白城137001）

基于線性彈道模型的末段修正彈落點預測

李興隆1，賈方秀1，王曉鳴1，姚文進1，吳巍2

（1.南京理工大學智能彈藥國防重點學科實驗室，江蘇南京210094；2.63863部隊，吉林白城137001）

針對末段修正彈在彈道末段快速預測落點的問題，提出一種將六自由度剛體外彈道模型線性化的方法，得到線性彈道方程組并求其解析解，結合剩余飛行弧長估算公式，推導出彈道落點快速預測解析公式。以六自由度彈道為基準，通過仿真分析了不同射角不同預測點下線性彈道模型預測法的預測精度和解算時間，結果表明該方法對偏流方向的落點預測誤差小于8 m，解算速度相比三自由度數值積分落點預測法提高了一個數量級。該方法為彈載計算機進行實時快速彈道解算提供理論依據，對末段修正彈的工程應用具有參考價值。

兵器科學與技術；彈道解算；落點預測；末段修正彈；線性彈道

0 引言

傳統(tǒng)彈藥落點散布大、精度低，難以符合現代戰(zhàn)爭中的高命中精度，低附帶損傷的要求。末段修正彈是在彈道末段，由彈上傳感器測出彈道偏差，根據相應導引律，控制彈上執(zhí)行機構（如舵翼或脈沖發(fā)動機等）產生修正力和力矩，對彈道偏差進行修正，減小脫靶量。預測落點導引律是根據當前彈丸狀態(tài)作為起始點，計算在無控狀態(tài)下彈丸的落點，并與目標坐標點進行比較，得到位置偏差，以此作為反饋形成此時刻飛行器制導指令的方法［1］。采用落點預測導引律時，預測落點的精度直接關系到制導精度，因此快速并準確地預測到彈丸落點對提高導引精度有重要意義。

常思江等［2］基于三自由度（3DOF）質點彈道模型，對位置變量關于時間t進行2階泰勒展開，得到具有良好精度和較快計算速度的彈道預測解析模型，但該方法僅在有效射程較小、彈道控制量較小的防空炮彈的彈道末段效果較好。李超旺等［3］提出了基于攝動原理的實時落點預測方法，在仿真實驗和實際飛行試驗中都具有較高的預測精度，但該方法需要在彈丸發(fā)射前由地面計算機提供基準彈道和預測偏差系數。Douglas等［4］應用彈丸線性理論簡化了六自由度（6DOF）方程，并推導出在控制力作用下彈丸轉向幅值和角度的計算公式，計算結果與6DOF方程計算結果能較好地吻合，但其應用條件是平射彈道且不考慮重力和風的影響。Bradley等［5］提出了預測飛行控制導引律，利用彈丸線性理論計算當前狀態(tài)下的彈丸落點。Leonard等［6］提出了通過修正彈丸線性理論進行快速彈道預測的方法，與非線性6DOF、3DOF自由度和質點彈道數值積分進行彈道預測的方法相比，具有計算精度高，占用計算機資源少的優(yōu)點，但采用的彈丸線性理論為保證全彈道預測的精度，彈道計算必須周期性地實時更新迭代多次，數據量大，解算復雜，降低了彈道解算的實時性。

本文針對末段修正彈的末段彈道，運用線性理論，將6DOF彈道模型線性化，建立縱向和橫向運動解析模型，經過一步解算得到彈丸落點參數，結果表明該方法對偏流方向的預測精度高，且計算量小，耗時短，滿足彈道解算實時性要求，對末段修正彈控制策略設計和提高彈丸修正精度具有重要意義。

1 彈丸動力學模型

非線性6DOF剛體彈道方程是最常用的描述彈丸空中運動狀態(tài)的方法，當提供所有的氣動力、氣動力矩和初始條件，它可精確描述旋轉穩(wěn)定彈和非旋轉穩(wěn)定彈的彈道和飛行動力學現象。

1.1 非線性6DOF彈道模型

非線性6DOF彈道模型由12個非線性的微分方程組成，分別為位置變量（x，y，z），姿態(tài)角（φ，θ，ψ），彈體速度（u，v，w）和彈體轉速（p，q，r）.

設地面坐標系（OxEyEzE）為慣性坐標系，用來描述彈丸實際位置坐標。尾翼穩(wěn)定彈轉速低，彈體旋轉產生的馬格努力與其他氣動力相比幾乎可以忽略不計，因此在研究非旋轉穩(wěn)定彈時，可在彈體非滾轉坐標系下建立彈丸動力學方程組，在非滾轉坐標系下彈體不旋轉，且滾轉角φ始終為0°，并在地面系建立其運動學方程組［7］:

式中:xE、yE、zE分別為在地面坐標系下彈丸位置在3個方向上的分量；Fx、Fy、Fz分別為作用在速度坐標系下的氣動力在3個方向上的分量；Mx、My、Mz分別是作用在彈體坐標系下的氣動力矩在3個方向上的分量；g為重力加速度。相關力和力矩的表達式和坐標系的定義見文獻［7］。

1.2 彈道線性化

1.1 節(jié)中6DOF彈道方程是非線性的，無法求出解析解，常用的求解方法是采用4階龍格庫塔法通過計算機求解得到其數值解，雖然計算精度高，但計算數據量大，占用計算機資源多，且計算時間長，因此對于彈載計算機進行實時解算，實用性不高，彈道解析解計算簡單，速度快，且有助于分析影響彈道特性的力和力矩。為得到彈道方程解析解，基于線性理論對彈道方程進行線性化，做出以下假設:

1）彈丸軸向速度u相對于側向速度v、w在量級上較大，則總速度，其中上標“～”表示在彈體非滾轉坐標系［7］下的變量。繞x軸角速度p相對于繞y、z軸角速度q、r在量級上較大。

2）偏航角很小，可簡化為sin ψ≈ψ，cos ψ≈1.

4）彈丸是軸對稱體，則Ixy=Iyz=Ixz=0，Iy=Iz，其中Ixy、Iyz、Ixz為彈丸對彈體坐標系各軸的慣量積，Iy、Iz為彈丸對彈軸坐標系各軸的轉動慣量。

1.3 微分變量的替換

彈道線性化通常將微分變量由時間變?yōu)闊o量綱弧長s，則彈丸俯仰和偏航運動方程將獨立于彈丸幾何尺寸，更方便分析彈丸射程數據。無量綱弧長s為彈丸的運動弧長與彈徑d之比:

上標“·”表示對時間變量求導，上標“′”表示對無量綱弧長s求導，更改微分變量后，以符號ζ為例給出二者之間的關系:

應用以上假設和變換，可得到線性彈道模型為

式中:CD為阻力系數；CLα為升力系數；Clδ為尾翼導轉力矩系數；Clp為滾轉力矩系數；CMα為偏航阻尼力矩系數；CMq為俯仰阻尼力矩系數；ρ為大氣密度。

以上方程并不是嚴格線性的，但可得到近似解析解。

2 末段彈道落點預測

以激光半主動末段修正彈為例，由于激光探測器有效作用距離約為3 km，可認為從距離落點斜距為3 km的點開始直至彈丸落地的彈丸軌跡為末段彈道。彈丸在彈道末段速度大，剩余飛行時間短，修正能力有限，為在短時間內保證準確有效地修正彈道偏差，需要快速精確地進行落點預測，得到落點偏差，產生修正指令，通過離散的有限次脈沖發(fā)動機控制，實現彈道修正。

線性理論對平射彈道和短時間飛行彈道預測有較高精度，修正線性理論在此基礎上適用于高射角，長時間飛行彈道的預測［4］。在求解線性彈道過程中，假設氣動系數是常數，速度vtot和俯仰角θ相對其他變量緩慢變化。因此，要保證全彈道預測的準確性，彈道計算必須周期性地更新，將上一步計算結果作為下一步計算的初值進行迭代。

末段彈道飛行距離短，彈道較平直近似直線，在末段彈道起始點，假設慣性測量單元（IMU）等測量單元能精確地測出彈道數據，利用彈道諸元估算彈丸剩余飛行弧長s，再將彈道諸元作為初值代入到線性彈道解析解中，s作為迭代步長，經過一步迭代就可得到彈丸落點所有參數。

2.1 剩余飛行彈道弧長的預測

為求解彈丸剩余飛行彈道弧長，需要對彈丸剩余飛行時間進行估算。從末段彈道起點開始，假設彈丸為質點，僅考慮彈丸氣動力和重力，彈丸在地面坐標系z軸方向上的速度和氣動力分別為vEz、FEz，其表達式如下:

式中:LEz、DEz分別為彈丸升力和阻力在地面坐標系z軸方向上的分量［7］。彈丸末段彈道近似為直線彈道，由于彈道末段飛行時間較短，可假設彈丸所受氣動力為恒定值，則彈丸剩余飛行距離為l=vEztgo+ FEzt2go/（2m），從而得到剩余飛行時間為

將（20）式、（23）式代入到（24）式中得到剩余飛行時間。剩余飛行無量綱弧長s為弧長l與彈體直徑d的比值，則:

式中:Ftot=|Ftot|為彈丸所受合力大小［7］，其中，

將（26）式代入到（25）式中得剩余飛行無量綱弧長。

2.2 末段彈道落點預測計算公式

第1節(jié)所得線性彈道方程中（15）式、（16）式、（18）式、（19）式是描述彈丸周轉運動的一組耦合的非線性微分方程，假設氣動系數、速度vtot和俯仰角θ相對其他變量緩慢變化，視為常數，則4個方程為線性方程:

式中:A=［πρd3/（8m）］（CLα+CD）；B=［πρd4/（8Iy）］CMα；E=［πρd5/（8Iy）］CMq；F=［Ixd/（Iyvtot）］~p.將（27）式進行拉普拉斯變換［8］，根據克萊姆法則得到4個變量的拉普拉斯表達式，則（27）式的微分方程組化為代數方程組，求出代數方程組的解，再進行拉普拉斯逆變換，得到v、w、q、r關于剩余飛行弧長s的解析解:

式中:σF、σS為圓周運動方程特征值實部；ΦF、ΦS為圓周運動方程特征值虛部；Cv0、Cw0、Cq0、Cr0、Cvfc、Cvfs、Cvsc、Cvss、Cwfc、Cwfs、Cwsc、Cwss、Cqfc、Cqfs、Cqsc、Cqss、Crfc、Crfs、Crsc、Cvrs是計算過程中的系數，可由計算機編程計算得到，由于篇幅所限，不列出其表達式。是關于無量綱弧長的函數，代入到（12）式、（13）式中，根據梯形近似法求積分得:

代入到（8）式～（10）式中求解得:

式中:θ0、ψ0、x0、y0、z0、v0、w0、q0、r0為預測開始時各變量的初值。（34）式～（36）式即彈丸剩余飛行無量綱弧長為s時，彈丸落點位置解析解。將2.1節(jié)所求s代入到（32）式、（33）式中得到θ（s）、ψ（s），將結果代入到（34）式、（35）式中求得彈丸預測落點（x，z）.

3 彈道解算驗證

為驗證線性彈道模型預測法的準確性，以某型120 mm迫擊炮彈為例，彈體參數見文獻［9］，對比了不同預測方法的落點預測精度及其解算速度。

以非線性6DOF彈道為參考基準，對比了3DOF質點彈道預測法和線性彈道模型預測法。彈丸發(fā)射初始參數為:初速vtot=318 m/s，初始偏航角ψ=2°，初始滾轉角φ=0°，彈丸初始轉速p=31.4 rad/s，q=0 rad/s，r=0 rad/s，彈丸初始位置x=0 m，y=0 m，z=0 m.彈丸在飛行過程中，由彈載GPS和IMU等慣性測量單元對彈道參數進行實時測量，得到彈道諸元（x′，y′，z′，φ′，θ′，ψ′，u′，v′，w′，p′，q′，r′），將彈道諸元作為初始條件代入到3DOF模型［10］中，采用4階龍格庫塔法求解彈道微分方程組得到預測落點，將彈道諸元代入到線性彈道模型中，根據第2節(jié)計算步驟可得到預測落點，將二者的結果與6DOF彈道計算結果進行對比，就可得到落點預測誤差。

3.1 不同預測方法預測精度驗證

為了驗證線性彈道模型預測法在不同情況下的解算精度，從發(fā)射角和預測起始點兩個方面進行仿真研究。取發(fā)射角θ為45°、55°、65°、75°，預測起始點R為彈丸到落點的斜距，取R分別為3.0、2.5、2.0、1.5、1.0、0.5 km.圖1～圖4為落點預測精度隨著發(fā)射角和預測起始點變化的統(tǒng)計結果，預測誤差值是將3DOF預測值，線性彈道模型預測值分別與6DOF基準彈道求差得到。

對比圖1～圖4可知，3DOF預測法對射程方向的落點預測精度很高，不同射角下不同起始點開始預測誤差在2.5 m以內，對偏流方向的預測精度低，只有在小射角45°下預測誤差在5 m以內。通過分析認為，3DOF質點彈道模型中只考慮彈丸受力，未考慮彈丸滾轉和所受力矩，彈丸側偏運動主要受彈體滾轉和力矩影響，因此無法對彈丸的側向運動作精確預測。

圖1 3DOF預測法在射程方向的預測誤差Fig.1 Predicted errors of 3DOF model in range direction

圖2 3DOF預測法在偏流方向的預測誤差Fig.2 Predicted errors of 3DOF model in cross range direction

圖3 線性彈道模型預測法在射程方向的預測誤差Fig.3 Predicted errors of linear trajectory model in range direction

采用線性彈道模型預測法對偏流方向落點進行預測，對不同射角下不同起始點開始預測誤差都在8 m以內，且隨著預測點的后移，精度迅速提高，當預測點R≤2.5 km時，預測精誤差小于4 m.對射程方向的預測精度不如偏流方向的預測精度高，在射角θ≥55°且預測點R≤2.5 km情況下，預測誤差為±20 m，在射角θ≥65°且預測點R≤2.0 km情況下預測誤差減小到10 m以內。分析原因認為，線性彈道模型預測法是基于彈道線性化的假設，彈道越平直則預測越精確，彈道越彎曲則預測越不精確，由6DOF彈道仿真得知在水平面上的彈道比鉛垂面上的彈道更平直［8］，因此對偏流方向的落點預測精度更高。此外，大射角情況下鉛垂面上彈道比小射角情況下更加平直，因此采用線性彈道模型預測法對射程方向的預測在大射角情況下精度更高。影響彈道落點預測精度的因素除了彈道平直程度外，還有剩余飛行時間的預測誤差，因為剩余飛行時間直接決定了剩余飛行弧長，即彈道預測解算的迭代步長。圖5為不同時刻剩余飛行時間的預測誤差，不同射角情況下時間誤差基本一致，且隨著預測點的后移時間誤差減小，這也從另一面解釋了隨著預測點后移落點預測精度越高。

圖4 線性彈道模型預測法在偏流方向的預測誤差Fig.4 Predicted errors of linear trajectory model in cross range direction

圖5 剩余飛行時間的預測誤差Fig.5 Predicted errors of time-to-go

3.2 不同預測方法的解算速度對比

彈載計算機對彈丸落點進行實時預測，算法需同時滿足解算精度和解算速度要求。文中仿真平臺采用CPU為Inter Core主頻為3.10 GHz的計算機，3DOF彈道解算步長取5 ms，仿真參數與3.1節(jié)一致，比較兩種預測方法的解算時長如圖6所示。

圖6 兩種預測方法解算時長對比Fig.6 Comparison of solution times of the two prediction methods

對比兩種預測方法的解算時長，線性彈道預測法解算速度明顯更快。3DOF預測法解算時長在0.9～6.5 s左右，隨著預測起始點的后移，迭代步數減少，解算時長減小。線性彈道預測法解算時長基本穩(wěn)定在0.4 s以內，且不隨預測起始點和射角的變化而變化。因為線性彈道模型預測法從預測起始點開始，只需迭代一次，數據量小，解算時間短，而3DOF預測法需迭代多次，數據量大，解算時間長，因此線性彈道預測法更能滿足實時性要求。

4 結論

在6DOF彈道模型的基礎上，基于線性理論，將方程線性化，推導得出預測彈丸落點的計算模型，以6DOF彈道為基準，通過在不同射角不同預測點的情況下進行預測精度的對比，仿真結果表明:

1）在偏流方向預測精度較高，最大預測誤差不超過8 m.

2）在射程方向，射角在55°以上且預測點R≤2.5 km情況下，預測誤差為±20 m，射角在65°以上且預測點R≤2.0 km情況下預測誤差減小到10 m以內，在此范圍內滿足落點預測精度要求。

3）該方法減小了落點預測的計算量，與傳統(tǒng)的彈道積分外推落點預測法相比解算速度更快，在所有情況下解算時間均在0.4 s以內，滿足末段修正彈落點預測快速解算要求。

本文旨在提出一種快速落點預測的方法，由于在小射角范圍內，該預測方法在射程方向上的落點預測精度不高，因此還有待后續(xù)更深入的研究和完善。

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Impact Point Prediction of Terminal Correction Projectile Based on Linear Trajectory Model

LI Xing-long1，JIA Fang-xiu1，WANG Xiao-ming1，YAO Wen-jin1，WU Wei2
（1.ZNDY of Ministerial Key Laboratory，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，Jiangsu，China；2.Unit 63863 of PLA，Baicheng 137001，Jilin，China）

A method of linearizing the 6 degrees of freedom（DOF）rigid trajectory model is proposed for the rapid impact point prediction of terminal correction projectile in terminal trajectory.The linearized trajectory equations and the analytical solution are obtained，and The analytic formula for rapid impact point prediction is derived in combination with the remaining flight arc length estimation formula.With the reference of 6 DOF trajectory，the prediction accuracy and calculation time of this linear trajectory model prediction method are analyzed at different firing angles and prediction points through simulation. The results show that the impact point prediction error is less than 8 m in cross range direction，the solution speed is improved by an order of magnitude compared to 3DOF numerical integral impact point prediction method.The proposed method provides the basis for rapid ballistic calculation in real-time by onboard computer，and also provides a reference for the engineering application of terminal correction projectile.

ordnance science and technology；trajectory calculation；impact point prediction；terminal correction projectile；linearized trajectory

TJ012.3

A

1000-1093（2015）07-1188-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.07.006

2014-10-15

中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金項目（30920130122001）

李興隆（1988—），男，博士研究生。E-mail:lixinglong.sj@163.com；賈方秀（1981—），女，講師，碩士生導師。E-mail:jiafangxiu@126.com