張 旻，張宇功，張建強(qiáng)

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州730000)

在非線性系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)內(nèi)部相互作用而產(chǎn)生一種非周期行為，我們把這種行為就稱為混沌.混沌是不可測(cè)的，這和外在表象與隨機(jī)運(yùn)動(dòng)類似.但在動(dòng)力學(xué)中，混沌是確定的，而他的不可測(cè)主要來(lái)自于運(yùn)動(dòng)的不穩(wěn)定性.這種不穩(wěn)定性主要表現(xiàn)為對(duì)無(wú)論多小的擾動(dòng)在經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后，會(huì)使系統(tǒng)很大的偏離初始狀態(tài).因此，混沌也是非線性系統(tǒng)普遍存在的動(dòng)力學(xué)行為.

自從1963年美國(guó)氣象學(xué)家 Lorenz［1］在研究氣象預(yù)報(bào)時(shí)提出Lorenz系統(tǒng)以來(lái)，混沌理論得到了迅猛的發(fā)展，也成為迄今為止研究最為深入的混沌吸引子.通過(guò)對(duì)Lorenz系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)的研究，使得許多新的自治混沌系統(tǒng)也相繼提出并得到了很多有趣的結(jié)果.例如:Rossler系統(tǒng)，Chen［2］吸引子，呂氏吸引子［3］等.

本文主要研究了一個(gè)類Lorenz系統(tǒng)的混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.利用非線性動(dòng)力學(xué)的方法，通過(guò)理論推導(dǎo)，以及時(shí)序圖、相圖、Lyapunov指數(shù)圖［4-10］、Poincare截面圖、分支圖［11-14］等數(shù)值模擬的方法研究了該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.并分析了系統(tǒng)在不同參數(shù)時(shí)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，從數(shù)值和理論上分析了系統(tǒng)的混沌特性.

1 Lorenz系統(tǒng)及其動(dòng)力學(xué)行為

1.1 類Lorenz系統(tǒng)的模型

著名的 Lorenz系統(tǒng)［1］為

其中(x，y，z)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，a，b，c為系統(tǒng)參數(shù)，且a≠0.系統(tǒng)(1)中含有2個(gè)非線性項(xiàng) xy，xz，當(dāng)參數(shù) a=10，b=8/3，c=28，該系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài).

本文研究的系統(tǒng)如下:

取參數(shù) a=7，b=2，c=25，系統(tǒng)存在一個(gè)混沌吸引子，如圖1所示.

1.2 系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

由系統(tǒng)(2)可知，若bc≤0，則系統(tǒng)(2)只有1個(gè)平衡點(diǎn)E0(0，0，0);若bc≥0，則系統(tǒng)有3個(gè)平衡點(diǎn)E0

定理1 當(dāng)a＞0，b＞0，c＜0時(shí)，平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.

證明:因?yàn)橄到y(tǒng)(2)在原點(diǎn)處的Jacobian矩陣為

對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)在原點(diǎn)處的特征方程為

可求得一特征根為λ1=-b，其余2根由方程

決定.

由Hurwitz判據(jù)，特征方程的全部根都在左半復(fù)平面的充分必要條件是Jacobian行列式的各階主子式均大于0，即

解得a＞0，c＜0.所以，當(dāng) a＞0，b＞0，c＜0 時(shí)，平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.

引理1 Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)必要條件［15］:系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部(即系統(tǒng)穩(wěn)定)的必要條件是特征方程中各項(xiàng)系數(shù)為正數(shù).

定理2 當(dāng)b≠0，ac同號(hào)時(shí)，平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定.

證明:當(dāng)b≠0，ac同號(hào)，則特征方程(λ +b)(λ2+aλ-ac)=0無(wú)零解.若有零解，則有b=0或ac=0，這與條件矛盾.且無(wú)純虛根，不然a=0與ac＞0矛盾.其他兩個(gè)根由方程(λ2+aλ-ac)=0決定，因?yàn)閍c＞0，故由引理1得知這兩個(gè)根不全具有負(fù)實(shí)部.而(4)式又無(wú)零根或純虛根，所以具有正實(shí)部，故平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定.

定理3 當(dāng) bc＞0，a＞0，a+b＞c＞0，時(shí)，平衡點(diǎn)E1，E2為局部漸近穩(wěn)定.

證明 現(xiàn)證明E2，E1可類似推出.系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)E2處Jacobian矩陣為

求得系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)E2處Jacobian矩陣的特征方程為

根據(jù)Hurwitz判據(jù)，式(5)的所有根都在復(fù)平面左半部的充分必要條件是各項(xiàng)系數(shù)所構(gòu)成的主行列式及其順序主子式全部為正，即

可得 a+b＞0，a+b＞c，(a+b)c＞0，又因?yàn)楫?dāng)bc≥0 時(shí)，存在平衡點(diǎn) E1，E2.所以，當(dāng) bc＞0，a ＞0，以及a+b＞c＞0，平衡點(diǎn)E2漸近穩(wěn)定.

同理可知，當(dāng) bc＞0，a＞0，以及 a+b＞c＞0，平衡點(diǎn)E1漸近穩(wěn)定.

綜上所述，當(dāng) bc＞0，a＞0，以及 a+b＞c＞0時(shí)，平衡點(diǎn)E1，E2為漸近穩(wěn)定.

1.3 平衡點(diǎn)的分支

由平衡點(diǎn)E0處Jacobian矩陣的特征方程(λ+b)(λ2+aλ -ac)=0 可知，不論參數(shù) a，b，c如何變化，特征方程只有零解，而不會(huì)出現(xiàn)純虛根，故此平衡點(diǎn)不會(huì)發(fā)生Hopf分岔.下面對(duì)平衡點(diǎn)E1的Hopf分支進(jìn)行討論，E2的分支類似.

定理4 當(dāng)bc＞0，ab＞0，c=a+b時(shí)，平衡點(diǎn)E1產(chǎn)生Hopf分支.

證明:當(dāng)bc≥0時(shí)，E1的Jacobian矩陣的特征方程為(5)，有一對(duì)共軛純虛根λ1，2= ±iω(ω ＞0)，與另一實(shí)根 λ3.易知 λ3=-(a+b)，而 λ1，2滿足特征方程式(5)，代入得 ω=，c=a+b，且 bc＞0，ab＞0.

當(dāng)c=c0=a+b時(shí)，

代入c0=a+b得

所以，當(dāng) bc＞0，ab＞0，c=a+b時(shí)，平衡點(diǎn) E1產(chǎn)生Hopf分岔.

1.4 系統(tǒng)的耗散性

對(duì)系統(tǒng)(2)，由于其散度

若 b＞0，a＞0，則 p為負(fù)值，此時(shí)，系統(tǒng)(2)描述的是一個(gè)耗散系統(tǒng)，并以指數(shù)形式=ep收斂.也就是當(dāng)t→∞時(shí)，初始體積為V0的體積元收縮為體積元包含系統(tǒng)軌線的每個(gè)小體積元以指數(shù)速率縮減為0，最終系統(tǒng)的軌線會(huì)被收縮在一個(gè)體積為0的極限子集中，說(shuō)明系統(tǒng)確實(shí)存在吸引子.

由圖2及圖5可看出，系統(tǒng)在c取0到13時(shí)Lyapunov指數(shù)小于0，為一周期運(yùn)動(dòng).在c=13時(shí)Lyapunov指數(shù)大于0進(jìn)入混沌，當(dāng)c=135時(shí)開始作六周期運(yùn)動(dòng)，到137開始Hopf分支進(jìn)入三周期，到151開始Lyapunov指數(shù).

2 數(shù)值仿真

采用四階Runge-Kutta方法數(shù)值模擬求解該方程，使用四階Runge-Kutta方法時(shí)，需要先給出初值和步長(zhǎng)，系統(tǒng)的初值選取為(0.1，0.1，0.1)，步長(zhǎng)選取0.000 1，通過(guò)數(shù)值模擬，系統(tǒng)顯示出有豐富的混沌動(dòng)力學(xué)行為.

1)當(dāng)參數(shù)a=10，b=8/3，c=28時(shí)，對(duì)系統(tǒng)(2)發(fā)生分支的數(shù)值仿真.

(a)參數(shù) b=8/3，a=10，改變 c，c∈［0，300］.(如圖2所示)當(dāng)參數(shù)c在［0，300］變化時(shí)，系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)、分支圖如圖2，圖5所示，從Lyapunov指數(shù)譜、分支圖可以比較直觀地反映非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)隨參數(shù)變化的動(dòng)態(tài)特性.我們知道，只要有一個(gè)Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)便處于混沌狀態(tài).

再次大于0進(jìn)入混沌，到225進(jìn)入四周期，再經(jīng)過(guò)兩次分支，回到單周期運(yùn)動(dòng).

(b)固定參數(shù) a=10，c=28，改變 b，b∈［0，15］.(如圖 3 所示)系統(tǒng)在(0，5.3)為混沌運(yùn)動(dòng)，在(5.3，15)之間作單周期運(yùn)動(dòng)

2)取參數(shù) a=7，b=2，c=25，對(duì)系統(tǒng)(2)進(jìn)行分支的數(shù)值仿真(見圖6-9).

固定參數(shù)b與a，對(duì)參數(shù)c在(0，300)之間進(jìn)行分支(如圖6)，當(dāng)參數(shù)在(0，300)上變化時(shí)，由相圖(圖1)知道，其軌線已形成了奇怪吸引子，其截面圖(圖9)上的點(diǎn)不再是少數(shù)離散的，而是由一些密集點(diǎn)連成的弧線，由這些方法所表現(xiàn)的特性可知，系統(tǒng)(2)此時(shí)是處于混沌狀態(tài)的.

3)選取參數(shù)c為控制參數(shù)時(shí)，固定另2個(gè)參數(shù)a和b的值，此時(shí)系統(tǒng)(2)隨參數(shù) c變化，x方向上的分支圖(如圖8).從圖2中可以看到，參數(shù)c=0是系統(tǒng)(1)發(fā)生平衡點(diǎn)分支的臨界參數(shù)值.當(dāng)c＜0時(shí)，系統(tǒng)(1)沒(méi)有平衡點(diǎn);c=0時(shí)，系統(tǒng)(1)只有一個(gè)平衡點(diǎn)，即原點(diǎn);當(dāng)c＞0時(shí)，系統(tǒng)(1)有3個(gè)平衡點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別為O，E1和E2，點(diǎn)H表示Hopf分支臨界點(diǎn).系統(tǒng)(1)固定(a=10，b=8/3)當(dāng)參數(shù)c取值逐漸增大，經(jīng)過(guò)相應(yīng)的臨界值時(shí)，發(fā)生Hopf分支，生成穩(wěn)定極限環(huán)或原有的極限環(huán)消失.參數(shù)取值與推論的結(jié)論相符合，驗(yàn)證了理論分析的正確性.

3 結(jié)語(yǔ)

本文構(gòu)造了一個(gè)三維連續(xù)類Lorenz混沌系統(tǒng)，通過(guò)利用非線性動(dòng)力學(xué)的理論推導(dǎo)得到了系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性及其動(dòng)力學(xué)行為一些有趣的結(jié)果.選擇不同的參數(shù)值，進(jìn)一步通過(guò)相圖、分支圖、Lyapunov指數(shù)圖、Poincare截面圖研究了系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)，得出該系統(tǒng)在不同參數(shù)下的豐富的動(dòng)力學(xué)行為.

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