李華昱+張千

摘 要 離散數(shù)學(xué)是計算機專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課，在課堂講授理論知識的同時，它的實驗教學(xué)環(huán)節(jié)往往被忽視。本文結(jié)合目前離散數(shù)學(xué)課堂授課和實驗教學(xué)現(xiàn)狀，闡述了實驗教學(xué)的重要性，并從實驗教學(xué)模式、實驗效果評價、案例教學(xué)和實驗內(nèi)容等方面，對提高實驗教學(xué)效果的方法進(jìn)行了分析與研究，并給出了具體的實現(xiàn)方案。

關(guān)鍵詞 離散數(shù)學(xué) 實驗教學(xué) 案例教學(xué) 實驗內(nèi)容

中圖分類號：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.10.025

Experimentation Platform Construction and Method

Research of Discrete Mathematics

LI Huayu， ZHANG Qian

（College of Computer and Communication Engineering， China University of Petroleum， Qingdao， Shandong 266580）

Abstract Discrete mathematics is an important foundation course in computer science. In the course of teaching theoretical knowledge， experimental teaching is often ignored.Compared with present situation of classroom instruction and experimental teaching， this paper described the importance of experimental teaching， and from teaching mode， effect evaluation and case teaching aspects， methods of improving experimental teaching effect are analyzed and researched. Moreover，implementation scheme is also given in this paper.

Key words discrete mathematics; experimental teaching; case teaching; experimental contents

0 引言

離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，在計算機科學(xué)中有著極其廣泛的應(yīng)用，已經(jīng)成為計算機科學(xué)與技術(shù)專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程。通過離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，能夠幫助學(xué)生掌握處理離散結(jié)構(gòu)的描述工具和方法，為后續(xù)的“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)”、“數(shù)據(jù)庫原理”、“操作系統(tǒng)”和“編譯原理”等專業(yè)課程的學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件，還可提高學(xué)生抽象思維和邏輯推理能力，為將來參與創(chuàng)新性的研究和開發(fā)工作打下堅實的基礎(chǔ)。①

離散數(shù)學(xué)是建立在大量定義之上的邏輯推理學(xué)科，對概念、定義的理解是學(xué)習(xí)這門課程的核心。離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容分為數(shù)理邏輯、集合與關(guān)系、代數(shù)系統(tǒng)和圖論四部分，涵蓋了計算機科學(xué)與工程實踐所需要的數(shù)學(xué)理論和方法。每一部分概念、定理繁多，都具有一定的理論抽象性，各部分之間具有一定的關(guān)聯(lián)關(guān)系，既涉及具體內(nèi)容，又包含思維方法。目前，由于課時限制，教師在教學(xué)過程中只重視理論教學(xué)，忽視了實驗教學(xué)環(huán)節(jié)，絕大部分課時用于課堂教學(xué)，講授抽象的定義描述和定理證明，不注意整理分散的知識點，導(dǎo)致部分學(xué)生認(rèn)為離散數(shù)學(xué)是枯燥、如同散沙一般的課程。同時，針對離散數(shù)學(xué)的教學(xué)研究，也只側(cè)重于教學(xué)內(nèi)容探討和理論教學(xué)方法的改進(jìn)，對實踐教學(xué)討論不多。這種教學(xué)模式極大地降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，削弱了離散數(shù)學(xué)作為計算機學(xué)科基礎(chǔ)理論課的地位，對培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題能力也起不到應(yīng)有的作用。

因此，為了更好地提高離散數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，增強學(xué)生學(xué)習(xí)效果，一方面需要精選教學(xué)內(nèi)容、改進(jìn)教學(xué)方法;另一方面需要加強實驗教學(xué)環(huán)節(jié)，通過合理的實驗課時安排、上機操作和實驗案例，將課堂講授的定義、定理、性質(zhì)和各個上機實驗結(jié)果聯(lián)系起來，使學(xué)生對抽象的理論知識有一個感性和直觀的理解。

1 改進(jìn)實驗教學(xué)方法

1.1 構(gòu)建基于網(wǎng)絡(luò)的實驗教學(xué)平臺

傳統(tǒng)的實驗教學(xué)主要采用基于單機的應(yīng)用模式。授課教師通過單機版實驗程序進(jìn)行課堂演示，或者由學(xué)生自行下載并安裝實驗程序，完成實驗教學(xué)。在目前離散數(shù)學(xué)實驗課時緊張的情況下，這種單機版應(yīng)用模式使得學(xué)生只能夠在有限的實驗授課時才可以進(jìn)行上機操作，限制了與授課教師進(jìn)行交流的有效時間;此外，單純的實驗室上機環(huán)境也制約了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

隨著高校實驗設(shè)備、硬件設(shè)施和網(wǎng)絡(luò)環(huán)境的不斷提高與改進(jìn)，為構(gòu)建基于校園局域網(wǎng)的離散數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)實驗教學(xué)平臺提供了有利條件。為此，可以將實驗教學(xué)擴展為基于網(wǎng)絡(luò)的B/S（Browser/Server）的網(wǎng)絡(luò)實驗?zāi)Ｊ?。該模式打破了以往授課的時間和地域限制，學(xué)生既可在實驗室進(jìn)行上機操作，也可借助網(wǎng)絡(luò)，針對特定的實驗案例與教師進(jìn)行在線或者離線交談，屏蔽了教師和學(xué)生之間的地點和時間差異，使教師可以隨時對學(xué)生進(jìn)行在線輔導(dǎo)，為提高課堂教學(xué)效果提供了有效的輔助作用。

離散數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)實驗教學(xué)平臺采用3層架構(gòu)進(jìn)行構(gòu)建，如圖1所示：（1）數(shù)據(jù)庫服務(wù)器層：主要存儲和管理實驗案例的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)、計算分析數(shù)據(jù)和用戶信息，并為其它兩層提供有效的數(shù)據(jù)服務(wù);（2）Web服務(wù)層：該層存放實驗教學(xué)平臺所有的實驗案例程序、Web頁面文件和系統(tǒng)配置文件，該層通過校園局域網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行服務(wù)發(fā)布，能夠及時響應(yīng)并處理用戶提交的實驗操作請求;（3）應(yīng)用層：通過分配的賬號信息，學(xué)生登錄網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺并進(jìn)入主界面;然后，根據(jù)教師布置的實驗案例任務(wù)選擇相關(guān)的子頁面;最后，進(jìn)行案例選擇、模擬演示、編制程序和提交作業(yè)等操作。endprint

圖1 離散數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)實驗教學(xué)平臺體系結(jié)構(gòu)

1.2 實驗教學(xué)效果實時評價與反饋

目前，離散數(shù)學(xué)通常采用“布置任務(wù)—演示講解—輔導(dǎo)”的實驗教學(xué)模式，即教師首先根據(jù)課堂教學(xué)進(jìn)度布置實驗任務(wù)，然后對實驗涉及的關(guān)鍵內(nèi)容、操作步驟和程序設(shè)計思想進(jìn)行演示和講解，最后，安排學(xué)生上機練習(xí)，并針對若干問題對學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)。然而，教師布置任務(wù)和演示講解會占用一定的時間，當(dāng)班級學(xué)生人數(shù)較多時，沒有時間和精力對每個學(xué)生進(jìn)行細(xì)致的輔導(dǎo)，而且學(xué)生對知識的理解和接受能力往往不同，單純通過教師的演示講解，無法在有限的實驗課時內(nèi)達(dá)到較好的效果。

為此，在當(dāng)前實驗教學(xué)模式基礎(chǔ)之上，需要提供有效的教學(xué)效果評價和反饋渠道，②使學(xué)生能夠?qū)崟r對教學(xué)效果進(jìn)行實名或者匿名評價，授課教師通過對提交的評價信息進(jìn)行整理與分析，發(fā)現(xiàn)與了解代表性和針對性強的問題，并及時將解決方法反饋給學(xué)生。這種實時評價方式可以借助網(wǎng)絡(luò)實驗教學(xué)平臺進(jìn)行實現(xiàn)，學(xué)生通過提供的效果評價功能在線提交效果評價數(shù)據(jù)，并可以及時查詢教師的反饋信息，使學(xué)生能夠在上課之余得到有效的輔導(dǎo)。

例如，針對集合論中的實驗，學(xué)生可以按照自己的理解程度，從“理論知識理解”、“演示過程”、“程序設(shè)計思想”和“程序語言”四個方面選擇理解困難的項目，并連同具體的問題提交到評價系統(tǒng)數(shù)據(jù)庫中，評價結(jié)果經(jīng)過匯總后，按照圖2所示的方式顯示提交學(xué)生的人數(shù)分布情況。借助該評價圖例，教師可以直觀、形象地獲取量化信息，并且能夠針對選定的評價項目，進(jìn)一步查看具體的評價數(shù)據(jù)。

1.3 注重案例教學(xué)法

案例教學(xué)是通過具有一定典型意義的事情發(fā)生、發(fā)展的過程，使學(xué)生深刻理解理論知識的教學(xué)方法。案例教學(xué)改變以往以教師為主的課堂教學(xué)模式，更加注重學(xué)生的過程參與。通過在實踐教學(xué)中引入案例教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)定義和定理對案例進(jìn)行分析討論，不但能夠開拓知識，又能活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

在選擇實驗案例時，應(yīng)該注重離散數(shù)學(xué)與其它專業(yè)課程的相關(guān)性。例如：集合論中的序偶和笛卡爾積兩個概念分別在《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》和《數(shù)據(jù)庫原理》中有所涉及，在設(shè)計該部分的實驗案例時，不僅需要結(jié)合定義和定理，而且還應(yīng)該讓學(xué)生了解兩個概念在以上課程中的應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)的針對性和目的性。為此，結(jié)合“斗獸棋”游戲進(jìn)行案例設(shè)計：③“斗獸棋”共有16 顆棋子，可以看成是由A={紅，藍(lán)}、B={象，獅，虎，豹，狼，狗，貓，鼠}兩個集合的笛卡爾積AB的一個子集C構(gòu)成，C={<紅，象>，<紅，獅>，<紅，虎>，<紅，豹>，<紅，狼>，<紅，狗>，<紅，貓>，<紅，鼠>， <藍(lán)，象>，<藍(lán)，獅>，<藍(lán)，虎>，<藍(lán)，豹>，<藍(lán)，狼>，<藍(lán)，狗>，<藍(lán)，貓>，<藍(lán)，鼠> }，每個棋子是C中的一個序偶元素，該案例能夠使學(xué)生借助演示程序?qū)π蚺己偷芽柗e有具體形象的理解。關(guān)系數(shù)據(jù)模型中表結(jié)構(gòu)、關(guān)系操作的查詢與連接都涉及到笛卡兒積的理論，為此，還可以從數(shù)據(jù)庫中的關(guān)系數(shù)據(jù)模型角度設(shè)計“笛卡兒積”的相關(guān)案例。

在設(shè)計實驗案例時，不需要詳細(xì)、深入地進(jìn)行算法分析和代碼描述，而是應(yīng)該結(jié)合理論知識，側(cè)重講解其應(yīng)用背景，使學(xué)生深刻離散數(shù)學(xué)課程的實用價值，激發(fā)自主學(xué)習(xí)的積極性。

2 實驗內(nèi)容設(shè)計

離散數(shù)學(xué)的實驗教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該依托于課堂授課內(nèi)容，但不能簡單地成為理論知識的教學(xué)實踐。實驗教學(xué)必須拓展理論教學(xué)，作為理論課的補充和加強。在設(shè)計離散數(shù)學(xué)四部分的實驗教學(xué)內(nèi)容時，應(yīng)該從提高計算機專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和程序設(shè)計能力方面出發(fā)，結(jié)合各分支的最新研究成果，以培養(yǎng)學(xué)生運用離散數(shù)學(xué)知識進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和解決工程應(yīng)用問題的能力為目標(biāo)。

針對不同的教學(xué)內(nèi)容，需要設(shè)計不同類型的實驗，在具體實驗教學(xué)中，需要根據(jù)實驗學(xué)時安排，進(jìn)行選做或全做。

2.1 數(shù)理邏輯實驗設(shè)計

可以從課堂授課的理論知識和實際應(yīng)用領(lǐng)域兩方面進(jìn)行設(shè)計。針對計算機專業(yè)特點，安排VB或者C編程求解命題公式的真值與范式、公式等價證明和命題演算等實驗，讓學(xué)生進(jìn)一步熟練各個聯(lián)結(jié)詞和等價公式的求解方法。針對數(shù)理邏輯的實際應(yīng)用，可以通過高低電平表示的信號運算與二進(jìn)制運算之間的聯(lián)系，利用數(shù)字邏輯電路理論來設(shè)計數(shù)理邏輯方面的實驗，如表決器、搶答器等電路實驗。④

2.2 集合論實驗設(shè)計

二元關(guān)系是集合論的主要內(nèi)容，可以要求學(xué)生利用數(shù)組、向量等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，采用C++、Java等編程語言實現(xiàn)集合的并、交、補、差等運算。此外，針對關(guān)系的自反、反自反、對稱、反對稱和傳遞五種性質(zhì)判定等，進(jìn)行相關(guān)的實驗題目設(shè)計。⑤對于理論知識扎實和接受能力強的學(xué)生，可以進(jìn)一步安排求解關(guān)系閉包和商集的算法實驗。

2.3 代數(shù)結(jié)構(gòu)與代數(shù)系統(tǒng)實驗設(shè)計

代數(shù)結(jié)構(gòu)與代數(shù)系統(tǒng)包括半群、群、環(huán)和布爾代數(shù)等概念，在密碼學(xué)、通信系統(tǒng)等領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛，但具體內(nèi)容非常抽象。因此，在設(shè)計實驗時，應(yīng)該圍繞基本定義和定理，安排一些較簡單的實驗，例如，判斷某個集合關(guān)于二元運算是否構(gòu)成半群、獨異點或群。同時，可以針對代數(shù)結(jié)構(gòu)（下轉(zhuǎn)第52頁）（上接第50頁）在網(wǎng)絡(luò)信息安全中的應(yīng)用，設(shè)計演示為主、練習(xí)為輔的實驗，如DSA簽名算法等，使學(xué)生對抽象的理論知識有一個直觀的認(rèn)識。

2.4 圖論實驗設(shè)計

圖論涉及歐拉圖、哈密爾頓圖、平面圖和樹等。在設(shè)計實驗時，應(yīng)該結(jié)合圖在計算機中的表示和運算規(guī)律，首先設(shè)計一些基礎(chǔ)的實驗內(nèi)容，如求鄰接矩陣和可達(dá)性矩陣等，并根據(jù)這些矩陣找出強分圖、單側(cè)分圖和弱分圖;然后，再針對圖論的實際應(yīng)用，設(shè)計與歐拉圖、哈密爾頓圖和樹有關(guān)的編程實驗，如獲取城市之間最短通信路徑的算法，哈夫曼編碼問題等。如果課時允許，還可以設(shè)置最優(yōu)二叉樹構(gòu)造和圖的著色算法實驗。

3 結(jié)束語

作為計算機專業(yè)的一門重要課程，離散數(shù)學(xué)具有理論性強和內(nèi)容抽象等特性。由于離散數(shù)學(xué)課時安排緊張，課堂授課主要圍繞理論知識進(jìn)行講解，很少介紹其應(yīng)用背景，難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為此，需要重視實驗教學(xué)環(huán)節(jié)，在實驗課時有限的情況下，通過多種實驗教學(xué)方法，圍繞授課內(nèi)容和應(yīng)用領(lǐng)域，建立有效和可行的實驗教學(xué)模式和實驗內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣，提高離散數(shù)學(xué)教學(xué)效果。

注釋

① 譚作文.離散數(shù)學(xué)課程中實驗教學(xué)探討[J].計算機教育，2010（17）：106-109.

② 姜春茂，黃春梅.“離散數(shù)學(xué)”實踐教學(xué)研究[J].計算機教育，2008（18）：100.

③ 徐杏芳，夏浩波.案例教學(xué)法在《離散數(shù)學(xué)》中的應(yīng)用[J].福建電腦，2007（7）：213.

④ 郭詠梅，張劍妹.離散數(shù)學(xué)研究性實驗的探索與實踐[J].現(xiàn)代計算機，2014（24）：31-33.

⑤ 鐘敏，時念云.改革課程實驗，提高離散數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量[J].計算機教育，2008（18）：29-30.endprint