房曉蘭

教材是指引教學(xué)的主要依據(jù)和重要資源，數(shù)學(xué)是一門(mén)具有嚴(yán)密邏輯性的學(xué)科，教師對(duì)教材應(yīng)持有科學(xué)的質(zhì)疑態(tài)度、深究教學(xué)細(xì)節(jié)，更能打造高效靈動(dòng)的數(shù)學(xué)課堂。

一、現(xiàn)狀點(diǎn)擊：“一圖”和“兩式”的沖突

“圖式結(jié)合”是在“數(shù)學(xué)圖形”與“數(shù)量關(guān)系”之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系并互相轉(zhuǎn)換的教學(xué)思想，它在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用很廣泛。蘇教版二年級(jí)下冊(cè)“有余數(shù)的除法”中有很多“一圖兩式”練習(xí)。

（1）根據(jù)圖形寫(xiě)出不同的除法算式。

學(xué)生由上面的圖意會(huì)得到兩道有余數(shù)的除法算式：11÷5=2（盤(pán)）……1（個(gè)）和11÷2=5（個(gè)）……1（個(gè)），并能把這兩道算式和兩種表述對(duì)應(yīng)起來(lái)：11個(gè)蘋(píng)果，每盤(pán)5個(gè)，可以放2盤(pán)，還剩1個(gè);11個(gè)蘋(píng)果，平均分成2盤(pán)，每盤(pán)5個(gè)，還剩1個(gè)。

在一次練習(xí)課上，我無(wú)意中向?qū)W生出示了如下一道題目。

（2）根據(jù)圖形寫(xiě)出不同的除法算式。

我們班有50名學(xué)生，有49名學(xué)生根據(jù)圖意寫(xiě)出的兩道算式是：13÷5=2（盤(pán)）……3（個(gè)）和13÷2=5（個(gè)）……3（個(gè)）。這就引起了我的思考：“一圖”為什么不能寫(xiě)出“兩式”？

二、追根溯源：“圖形”和“算式”的對(duì)應(yīng)

小學(xué)生進(jìn)行“圖式結(jié)合”學(xué)習(xí)的前提是“數(shù)學(xué)圖形”與“數(shù)量關(guān)系”之間存在著一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。然而，圖2只與算式“13÷5=2（盤(pán)）……3（個(gè)）”有對(duì)應(yīng)關(guān)系，與正確的算式“13÷2=6（個(gè)）……1（個(gè)）”間沒(méi)有對(duì)應(yīng)關(guān)系，與算式“13÷2=5（個(gè)）……3（個(gè)）”不能說(shuō)完全沒(méi)有對(duì)應(yīng)關(guān)系，但它不能體現(xiàn)平均分成2份的最終結(jié)果，這個(gè)除法算式在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中被看作是錯(cuò)誤的。所以，第二道題目中的“一圖”無(wú)法寫(xiě)出“兩式”。

出現(xiàn)上面這種現(xiàn)象的原因是沒(méi)有關(guān)注到兩種不同的“有剩余的平均分”之間的異同，而學(xué)生對(duì)“有余數(shù)的除法算式”的認(rèn)識(shí)是建立在對(duì) “有剩余的平均分”的理解基礎(chǔ)之上的。“有剩余的平均分”和“沒(méi)有剩余的平均分”一樣有兩種最基本的類型：一是“按每幾個(gè)一份進(jìn)行平均分”，二是“按平均分幾份進(jìn)行平均分”，這是兩種完全不同，又有一定聯(lián)系的動(dòng)手操作和思維過(guò)程。它們的區(qū)別在于：按已知“幾個(gè)一份”平均分時(shí)，先確定每份的個(gè)數(shù)，13個(gè)蘋(píng)果，每次取出5個(gè)為一盤(pán)，要夠5個(gè)時(shí)才可以平均分一份，不足5個(gè)的數(shù)量為余數(shù);按已知“平均分成幾份”平均分時(shí)，先確定份數(shù)，對(duì)分的每份個(gè)數(shù)不做任何猜測(cè)，且要保證最少有和份數(shù)相同的個(gè)數(shù)才可以繼續(xù)平均分，13個(gè)蘋(píng)果，平均放在2個(gè)盤(pán)子里，每次只要有2個(gè)就可以平均分到每盤(pán)1個(gè)，不足2個(gè)的數(shù)量為余數(shù)。它們的聯(lián)系是：總個(gè)數(shù)是一樣的，每份個(gè)數(shù)乘份數(shù)加上余數(shù)都等于總個(gè)數(shù)。

為什么有時(shí)候“一圖”能對(duì)應(yīng)著“兩式”呢？通過(guò)圖1能看出來(lái)，當(dāng)余數(shù)同時(shí)小于除數(shù)和商的情況下，“一圖”和“兩式”之間就都存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系。用字母表示會(huì)看得更清楚， “a÷b=c……d”與“a÷c=b……d”同時(shí)成立，“d”必須同時(shí)小于“b”和“c”。這就引出了一個(gè)新的話題：“有余數(shù)的除法”中的“一圖兩式”練習(xí)無(wú)形中向?qū)W生滲透了一種錯(cuò)誤的數(shù)量關(guān)系模型“被除數(shù)÷商=除數(shù)……余數(shù)”;學(xué)生把圖2的算式簡(jiǎn)單地寫(xiě)為“13÷5=2（盤(pán)）……3（個(gè)）”和“13÷2=5（個(gè)）……3（個(gè)）”不能不說(shuō)是負(fù)遷移的作用。二年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)的“表內(nèi)除法”中，也有“一圖兩式”的練習(xí)。由于是沒(méi)有剩余的“平均分”，所以一個(gè)圖可以表示不同的平均分法，滲透正確的數(shù)量關(guān)系模型。仍以“分蘋(píng)果”為例，“10個(gè)蘋(píng)果，每盤(pán)放5個(gè)，可以放2盤(pán)”和“10個(gè)蘋(píng)果，平均分成2盤(pán)，每盤(pán)放5個(gè)”是一種可逆推的過(guò)程;除法算式“10÷5=2”就能推出“10÷2=5”，數(shù)量關(guān)系式體現(xiàn)為“被除數(shù)÷商=除數(shù)”。

綜上所述，“有余數(shù)的除法”中的“一圖兩式”習(xí)題設(shè)置存在著一定的片面性和局限性。那么，如何克服這些缺點(diǎn)呢？

三、改造構(gòu)想：“圖式結(jié)合”本質(zhì)內(nèi)涵的把握

“有余數(shù)的除法”中的“一圖”和“兩式”有時(shí)有對(duì)應(yīng)關(guān)系，有時(shí)卻只和“一式”有對(duì)應(yīng)關(guān)系。只保留單一的“一圖兩式”練習(xí)又會(huì)給學(xué)生滲透錯(cuò)誤的數(shù)量關(guān)系模型。筆者認(rèn)為解決的方法是：在準(zhǔn)確把握“圖式結(jié)合”本質(zhì)內(nèi)涵的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)開(kāi)放的“圖式結(jié)合”練習(xí)。

其實(shí)，這里的“圖形”表示的內(nèi)涵是“有剩余的平均分”的操作過(guò)程，“圖式結(jié)合”練習(xí)的本質(zhì)目的是：以“直觀的平均分圖形”作為“具體的操作”和“抽象的有余數(shù)的除法算式”之間的橋梁，從實(shí)際操作到直觀圖形，再到抽象的算式，循序漸進(jìn)地發(fā)展學(xué)生的思維能力，同時(shí)滲透 “有余數(shù)的除法算式”中的各種數(shù)量關(guān)系模型。所以教學(xué)時(shí)，首先要把“數(shù)學(xué)圖形”和“操作過(guò)程”對(duì)應(yīng)起來(lái)，再把“數(shù)學(xué)圖形”和“數(shù)學(xué)算式”對(duì)應(yīng)起來(lái)，讓學(xué)生深入理解“有余數(shù)的除法算式及余數(shù)”的概念、“余數(shù)比除數(shù)小”的規(guī)律。

下面是筆者執(zhí)教“有余數(shù)的除法”一課時(shí)的兩個(gè)“圖式結(jié)合”練習(xí)教學(xué)片段：片段一的教學(xué)重點(diǎn)突出的是“數(shù)學(xué)圖形”和“操作過(guò)程”的對(duì)應(yīng)關(guān)系;片段二的教學(xué)重點(diǎn)突出的是“數(shù)學(xué)圖形”和“數(shù)學(xué)算式”的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

[教學(xué)片段1]

師出示：分一分，填一填。

（1）11顆小星星，每份2顆，平均分成（ ?）份，還剩（ ? ）顆。

師：這幾種分法都可以嗎？

生5：第四種不可以，因?yàn)槲覀儾⒉恢烂糠菔菐讉€(gè)。

師：不能對(duì)每份幾個(gè)進(jìn)行假設(shè)，是嗎？不錯(cuò)，如果我們能準(zhǔn)確知道每份是幾個(gè)，那我們就不需要分了。比較上面兩道題目，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：有時(shí)能成一個(gè)圖形。

師：把11顆小星星按“平均分成5份”和“每份2個(gè)”來(lái)分都可以用同一個(gè)圖記錄，但是它們表示的平均分法是不同的。

學(xué)生對(duì)“平均分”的操作有了具體認(rèn)識(shí)后，可以上升到用圖形符號(hào)表示的思維階段，允許學(xué)生用多種圖形記錄操作過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)比體驗(yàn)到：“一式”可以和“多圖”間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，“一圖”也可以和“多式”間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，圖形不過(guò)是記錄的形式，寫(xiě)出什么樣的除法算式主要取決于操作的過(guò)程。為后面學(xué)生正確解答由“圖”到“式”的練習(xí)提供了基礎(chǔ)。

[教學(xué)片段2]

師出示：能寫(xiě)出幾道有余數(shù)的除法算式就寫(xiě)出幾道。

生：11÷5=2（盤(pán)）……1（個(gè)）和11÷2=5（盤(pán)）……1（個(gè)）。

師：怎樣想到這兩道除法算式的呢？

生：11個(gè)蘋(píng)果，每盤(pán)5個(gè)，可以放2盤(pán)，還剩1個(gè);11個(gè)蘋(píng)果，平均分成2盤(pán)，每盤(pán)5個(gè)，還剩1個(gè)。

師：具體是怎么分的呢？分到剩下幾個(gè)就不分了呢？

生：第一種是每次拿過(guò)5個(gè)放在一個(gè)盤(pán)子里，分到不夠5個(gè)時(shí)就不分了;第二種是每次拿出2個(gè)，每盤(pán)放1個(gè)，分到不夠2個(gè)時(shí)就不分了。

生1：13÷5=2（盤(pán)）……3（個(gè)）和13÷2=5（個(gè)）……3（個(gè)）。

生2：第二道算式不對(duì)，只有兩個(gè)盤(pán)子，如果剩下3個(gè)還可以再分。

師：想象一下，再分以后，會(huì)呈現(xiàn)什么樣的結(jié)果。

生3：每盤(pán)6個(gè)，還剩1個(gè)。

師：這個(gè)圖能寫(xiě)出幾道有余數(shù)的除法算式？

生：一道。

根據(jù)操作過(guò)程寫(xiě)除法算式，讓學(xué)生把“圖”的本質(zhì)內(nèi)涵和“式”的數(shù)量關(guān)系真正對(duì)應(yīng)起來(lái)，深入體驗(yàn)“有余數(shù)的除法算式及余數(shù)”的概念、“余數(shù)比除數(shù)小”的規(guī)律。其實(shí)，此類題目還能進(jìn)一步開(kāi)放，要求為“能寫(xiě)出幾道算式就寫(xiě)出幾道”，不僅讓學(xué)生寫(xiě)出有余數(shù)的除法算式，還可以寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的乘加算式，讓學(xué)生在思辨中進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的區(qū)別與聯(lián)系。

伴隨著教學(xué)改革的腳步，“數(shù)學(xué)思想方法”已經(jīng)被視為新課程背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)，可是為了“教”而“學(xué)”的現(xiàn)象比比皆是，很多教師只知道“教”，卻不知“為什么教”。這是一個(gè)值得每個(gè)數(shù)學(xué)教師深思的問(wèn)題——“形”和“質(zhì)”之間，哪一個(gè)的準(zhǔn)確掌握更重要？