王禮明，田亞峰，李正羊，趙坤坤，葉 霞

（1.江蘇理工學(xué)院機械工程學(xué)院，江蘇常州 213001；2.常州昌隆機床制造有限公司，江蘇常州213125）

基于響應(yīng)面法的數(shù)控機床工作臺有限元分析與尺寸優(yōu)化

王禮明1，田亞峰2，李正羊1，趙坤坤1，葉 霞1

（1.江蘇理工學(xué)院機械工程學(xué)院，江蘇常州 213001；2.常州昌隆機床制造有限公司，江蘇常州213125）

工作臺是龍門數(shù)控機床的重要組成部件，對工作臺的結(jié)構(gòu)和工況進行分析；在分析的基礎(chǔ)上，通過正交試驗選取需要優(yōu)化的尺寸變量；利用ANSYS/Workbench有限元軟件進行靈敏度分析，得到分析結(jié)果；再利用二次響應(yīng)面法，對分析結(jié)果和尺寸變量進行二次回歸擬合；確定目標(biāo)函數(shù)，約束條件和設(shè)計變量，利用MATLAB優(yōu)化工具箱進行工作臺的優(yōu)化設(shè)計，得到最佳尺寸配置，并對其結(jié)構(gòu)進行有限元分析。分析結(jié)果表明，工作臺質(zhì)量減少162.4kg，最大變形量減少6.7%，最大應(yīng)力減少10%，動態(tài)特性也有明顯提升，為工作臺的優(yōu)化設(shè)計提供一種新思路。

有限元分析；正交試驗；靈敏度分析；響應(yīng)面法；尺寸優(yōu)化

0 引言

工作臺是龍門數(shù)控機床的重要組成部件，它的靜動態(tài)特性的好壞，直接影響整機的性能，提高工作臺的加工精度和抗振性對整機的性能具有重要意義［1］。目前機床研究主要采用經(jīng)驗設(shè)計和類比設(shè)計，沒有考慮工作臺結(jié)構(gòu)尺寸之間的相互聯(lián)系，以單目標(biāo)優(yōu)化的方法往往不能同時滿足機床工作臺輕量化和抗振性的要求。為解決上述研究過程中存在的不足，本文提出有限元分析和響應(yīng)面法相結(jié)合的方法確定工作臺尺寸多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，構(gòu)造工作臺質(zhì)量和工作臺固有頻率的評價函數(shù)，利用MATLAB優(yōu)化工具箱得到最佳尺寸配置，從而提高工作臺的加工精度，減少加工工件的振動變形，提升工件質(zhì)量。

1 工作臺的有限元模型建立

利用Pro/e建立工作臺三維實體模型，在不影響精度前提下，對模型進行一定簡化，除去螺紋孔、通孔以及一些細(xì)小凹槽等特征［2］。

通過Pro/e與AWB數(shù)據(jù)接口技術(shù)，將Pro/e模型直接導(dǎo)入AWB中，避免了特征數(shù)據(jù)信息的丟失，圖1為建立工作臺有限元模型。

圖1 工作臺有限元模型

定義材料并進行參數(shù)設(shè)置，工作臺采用HT300，通過查表得基本分析參數(shù)的參考值，彈性模量143GPa，泊松比0.27，密度7350kg/m3。

AWB中自動進行單元類型分析，采用默認(rèn)設(shè)置，自由網(wǎng)格劃分；施加載荷與約束，工作臺質(zhì)量施加在底面的10個滑塊連接面，在工作臺支撐底面設(shè)置為固定約束，工作臺受到的載荷為自身重力。

2 數(shù)控機床工作臺的尺寸優(yōu)化

工作臺結(jié)構(gòu)復(fù)雜，側(cè)壁的凹槽用于潤滑管路的安裝，對工作臺運動特性起主導(dǎo)影響的是工作臺筋板厚度（如圖2）以及工作臺高度等參數(shù)，為保證原有結(jié)構(gòu)的完整性，方便龍門數(shù)控機床的數(shù)控線路和潤滑管路布局，以及裝配的合理性，保證工作臺外部裝配結(jié)構(gòu)不改變，結(jié)合實際工作情況對工作臺進行設(shè)計研究。

圖2 選定的分析尺寸

工作臺承受工件重量，進行機械加工，由于加工工件安裝固夾的位置不同，對工作臺的變形影響也不相同，為了保證零件加工精度的穩(wěn)定性，需要工作臺的剛度具有均勻性，避免工作臺剛度的薄弱環(huán)節(jié)對機械加工的影響，而且剛度的均勻性也保證了工作臺在運行過程中的平衡性。“井”字型內(nèi)部筋板結(jié)構(gòu)類型符合這一要求，因此在不改變內(nèi)部筋板結(jié)構(gòu)（即筋板類型）的前提下，對工作臺底面和側(cè)壁厚度x1，工作臺內(nèi)部橫縱筋板厚度x2，工作臺高度x3進行優(yōu)化（如圖2），提高工作臺靜動態(tài)剛度，實現(xiàn)輕量化設(shè)計。

2.1 正交試驗法

如何合理的選取工作臺各參數(shù)尺寸數(shù)據(jù)，進行科學(xué)的有限元分析，從而盡快獲得最優(yōu)組合方案，在工作臺優(yōu)化設(shè)計過程中能夠減少開發(fā)時間，提高效率是非常重要的手段。

正交試驗是一種研究多水平多因素的實驗設(shè)計方法［3］。正交實驗的正交性主要表現(xiàn)為均衡搭配性，均衡搭配是指用正交表所安排的試驗方案，能均衡的分散在水平搭配的各個組合方案中，因而其試驗具有代表性。

工作臺結(jié)構(gòu)尺寸的優(yōu)化設(shè)計選取工作臺底面和側(cè)壁厚度x1，工作臺內(nèi)部橫縱筋板厚度x2，工作臺高度x3為設(shè)計變量，即正交試驗的3因素，設(shè)計變量的四組取值為正交試驗的4水平，按照正交試驗的方法（如表1），采用4水平3因素正交試驗表，進行L16（43）=16組數(shù)據(jù)的有限元靈敏度分析。

表1 正交試驗設(shè)計的因素、水平

2.2 靈敏度分析

靈敏度是一個廣泛的概念［4］，從數(shù)學(xué)意義上可理解為若一函數(shù)F（x）可導(dǎo)，其一階靈敏度可表示為

前者稱為一階微分靈敏度，后者稱為一階差分靈敏度。除一階靈敏度外，還可以有高階靈敏度，高階靈敏度的公式為

反映結(jié)構(gòu)動力特性的參數(shù)或目標(biāo)函數(shù)，一般有特征值、特征向量、傳遞函數(shù)等。可根據(jù)分析問題的要求，確定使用何種動力特性參數(shù)進行靈敏度分析。

結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計任務(wù)就是在于尋求結(jié)構(gòu)設(shè)計變量的一組最優(yōu)值，使其滿足約束條件和函數(shù)最值［5］。工作臺的靈敏度分析是指通過工作臺底壁厚度x1、橫縱筋板尺寸x2、工作臺高度x3的變化對變形、應(yīng)力以及固有頻率的影響。不同的結(jié)構(gòu)尺寸的組合對工作臺性能影響不同，即靈敏程度不同。通過分析參數(shù)的變化，尋找對工作臺性能最敏感的參數(shù)，得到動態(tài)特性響應(yīng)規(guī)律，從而更好的指導(dǎo)結(jié)構(gòu)的改進與優(yōu)化設(shè)計。

工作臺內(nèi)部是由橫縱方向的筋板構(gòu)成，和工作臺側(cè)壁共同支撐工作臺不被工件壓彎變形；工作臺底面與滑塊連接，保證工作臺在運行過程中的強度要求；而工作臺的高度則對質(zhì)量以及承受載荷能力有著較大影響，根據(jù)工作臺的結(jié)構(gòu)特點，以及工作臺靜動態(tài)性能分析結(jié)果，工作臺適于進行結(jié)構(gòu)尺寸厚度和高度的優(yōu)化，采用合理的筋板厚度和高度，即可以提高工作臺的動態(tài)特性，又能實現(xiàn)輕量化設(shè)計［6］。

尺寸x1，x2，x3的改變不會影響工作臺整體結(jié)構(gòu)的變化，而且這三個尺寸之間不存在依附關(guān)系，因此可以現(xiàn)實尺寸的靈敏度優(yōu)化。

選定的優(yōu)化尺寸的初始值由原工作臺模型決定，根據(jù)工作臺實際工作情況選定變化范圍（如表2）。由上述的工作臺模態(tài)分析可得，影響工作臺動態(tài)特性的主要是前幾階固有頻率，為滿足輕量化以及動態(tài)特性的要求，將工作臺質(zhì)量和一階、二階固有頻率作為靈敏度分析的結(jié)果。

表2 選定尺寸的變化范圍

在ANSYS/Workbench中進行相關(guān)參數(shù)設(shè)置，進行16組的正交試驗組合參數(shù)分析，最終得到工作臺靈敏度分析結(jié)果（如表3）。由表可知，三個設(shè)計變量參數(shù)相互影響，厚度過厚或者高度過高將會增加工作臺質(zhì)量，不利于輕量化設(shè)計；而厚度過薄或者高度過低將會降低工作臺固有頻率，影響工作臺動態(tài)特性，因此需要對分析結(jié)果進行進一步處理。

表3 工作臺靈敏度分析結(jié)果

2.3 響應(yīng)面法理論

響應(yīng)曲面法［7-8］（Response Surface Methodology，RSM）是數(shù)學(xué)方法和統(tǒng)計方法結(jié)合的產(chǎn)物，用于對感興趣的響應(yīng)受多個變量影響的問題進行建模和分析，以優(yōu)化這個響應(yīng)。

在工作臺優(yōu)化分析過程中，響應(yīng)和自變量之間的關(guān)系形式是未知的，尋求響應(yīng)和自變量集合之間真實函數(shù)關(guān)系的一個合適的逼近式［9］。由于工作臺系統(tǒng)有彎曲，則采用二階系統(tǒng)模型為

響應(yīng)面模型具有較高的精度，能夠滿足工程實際需要。在MATLAB中，對靈敏度分析的結(jié)果數(shù)據(jù)進行處理，以工作臺質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)，以正交試驗的3因素為設(shè)計變量，通過regress二次回歸方程的擬合，擬合函數(shù)為

得到工作臺質(zhì)量的響應(yīng)面模型方程的系數(shù)矩陣為

同理，以1st和2nd固有頻率平均值為目標(biāo)函數(shù)，得到固有頻率的響應(yīng)面模型方程的系數(shù)為

則工作臺質(zhì)量的響應(yīng)面模型方程為

固有頻率的響應(yīng)面模型方程為

通過gress函數(shù)［b，bint，r，rint，stats］=gress（y，x）分析可知，stats用于檢驗回歸模型的統(tǒng)計量，有四個數(shù)值：相關(guān)系數(shù)r2、F值、與F對應(yīng)的概率p和殘差的方差（前兩個越大越好，后兩個越小越好）。通過MATLAB對工作臺質(zhì)量的響應(yīng)面模型和固有頻率響應(yīng)面模型分析，得到stats四個數(shù)值滿足精度要求，該系統(tǒng)模型能夠表示參數(shù)變化。

2.4 尺寸多目標(biāo)優(yōu)化

為避免由于數(shù)據(jù)相差較大帶來的誤差以及不準(zhǔn)確性，在進行目標(biāo)函數(shù)確定之前進行優(yōu)化系數(shù)的確定，由表3可知，靈敏度分析的工作臺質(zhì)量矩陣為

根據(jù)有限元靈敏度分析，1st和2nd平均固有頻率矩陣為

令多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化系數(shù)為

式中，i為正交試驗編號；n為正交試驗組數(shù)，n=16；mi和pi分別為靈敏度分析的質(zhì)量與平均固有頻率，得α=18.4615。

由于涉及到兩個優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，需要對其進行權(quán)重衡量，線性加權(quán)和法是最容易理解的評價函數(shù)法，根據(jù)各目標(biāo)函數(shù)的重要程度構(gòu)造評價函數(shù)為

其中wi為權(quán)函數(shù)，滿足wi≥0，i=1，2，3，…，m，且，然后求解

考慮到工作臺在實際加工過程中的性能要求，底面和側(cè)壁厚度的范圍為25～35mm，橫縱筋板厚度為15～25mm，工作臺的高度為225～265mm。取工作臺質(zhì)量和平均固有頻率的權(quán)重值wi=wj，因此得到工作臺多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)為

利用MATLAB優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)對多目標(biāo)函數(shù)進行求解，得到工作臺最優(yōu)尺寸解為

考慮到實際鑄造過程中，需要對尺寸進行圓整，最后得到尺寸值為

2.5 優(yōu)化結(jié)果分析

為簡化工作臺模型，便于優(yōu)化分析，去除工件，保持約束條件、材料屬性以及其他設(shè)置不變的情況下，對工作臺進行單獨分析。根據(jù)優(yōu)化后的圓整尺寸，重新進行工作臺的三維實體建模，并在ANSYS/Workbench中保證材質(zhì)以及約束條件的不改變，對優(yōu)化后的工作臺進行靜態(tài)特性和動態(tài)特性分析。

由分析結(jié)果可知，在受到自身載荷的作用下，最大變形為5.33μm，主要集中在工作臺中間端面位置（如圖3），靠近與滾珠絲杠螺母相連接的區(qū)域；應(yīng)力分布均勻（如圖4），最大應(yīng)力為2.21MPa。在進行機械加工時，應(yīng)盡量避免將工件裝夾在工作臺中間端面位置，這不僅影響龍門數(shù)控機床工作臺的進給精度，而且影響工件的加工質(zhì)量，應(yīng)將工件裝夾在工作臺中間位置或者導(dǎo)軌外中間位置，使工作臺受力均勻，減少最大變量位移所承受的載荷，提高工件的加工質(zhì)量。

圖3 優(yōu)化后工作臺位移云圖

圖4 優(yōu)化后工作臺應(yīng)力云圖

由表4可知，工作臺結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化后，質(zhì)量減少162.4kg，最大變形量減少6.7%，最大應(yīng)力減少10%，對于靜態(tài)分析而言，較優(yōu)化之前，質(zhì)量減輕，性能提到提升。

表4 工作臺靜動態(tài)特性優(yōu)化前后對比表

圖5為工作臺振型圖。

圖5 改進后工作臺振型圖

工作臺進行動態(tài)性能分析，即模態(tài)分析時，在工作臺支撐底面的10個滑塊連接面設(shè)置為固定約束，由分析結(jié)果可知，一階固有頻率為224.42Hz，一階振型在xOz平面沿y方向一次彎曲振動，最大位移值在工作臺中間，最大值為1.053mm，如圖5a所示。二階固有頻率為250.04Hz，二階固有頻率在xOz平面沿y方向二次異向彎曲振動，最大位移值在工作臺中間端面位置，最大值為1.178mm，如圖5b所示。三階固有頻率為280.53Hz，三階固有頻率在xOz平面沿y方向兩端上下擺動，最大位移值在工作臺導(dǎo)軌外端面兩側(cè)，最大值為1.222mm，如圖5c所示。四、五、六階固有頻率分別為300.2Hz、322.54Hz和326.49Hz，最大位移分別為1.357mm、1.725mm和1.271mm，如圖5d，5e，5f所示。

通過動態(tài)特性分析可得，分析結(jié)果符合靜力學(xué)分析情況，在載荷與約束條件相同情況下，優(yōu)化前后的工作臺同階主振型相同。

由表5可知，工作臺結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化后，動態(tài)特性提高明顯，以前六階固有頻率為例，較優(yōu)化之前，分別提升了1.86Hz，2.21Hz，18Hz，5.87Hz，12.78Hz，13.56Hz。使工作臺在進行機械加工過程中，能夠更好的保持穩(wěn)定性，增強了抵抗振動能力，保證了工件的加工質(zhì)量和精度。

表5 工作臺動態(tài)特性優(yōu)化前后對比表

3 結(jié)束語

（1）工作臺的材質(zhì)為HT300，其最大應(yīng)力遠(yuǎn)小于材料的許用應(yīng)力，滿足工作臺的強度要求。

（2）對工作臺的結(jié)構(gòu)和工況進行分析，確定了需要進行優(yōu)化的尺寸變量，并通過響應(yīng)面法進行優(yōu)化設(shè)計，得到最優(yōu)尺寸結(jié)構(gòu)。

（3）通過對工作臺的優(yōu)化設(shè)計，不但使重量減輕了162.4kg，最大變形量減少6.7%，固定頻率也有明顯提升，不僅使工作臺的靜剛度得到提高，同時動剛度也有一定提升。

（4）以上的研究結(jié)果為工作臺的優(yōu)化設(shè)計提供了理論依據(jù)，與傳統(tǒng)的類比、經(jīng)驗設(shè)計相比，縮短了設(shè)計時間，提高了效率，更重要的是提升了產(chǎn)品的質(zhì)量和性能。

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（編輯 趙蓉）（編輯 趙蓉）

The Finite Element Analysis and Dimension Optimization of Machine Tool Based on Response Surface Method

WANG Li-ming1，TIAN Ya-feng2，LI Zheng-yang1，ZHAO Kun-kun1，YE Xia1
（1.School of Mechanical Engineering，Jiangsu University of Technology，Changzhou Jiangsu 213001，China；2.Changzhou Changlong Machine Tool Manufacturing Co.，Ltd.，Changzhou Jiangsu 213125，China）

Workbench is an integral part of gantry CNC machine tool，the structure and working conditions were taken to the finite element analysis of workbench；on the basis of the analysis，the dimension variables were selected by orthogonal experiment；with the using of ANSYS/workbench software of sensitivity analysis，the results of the analysis were gotten；and then，the analysis results and the dimension variables were taken to secondary regression by the response surface method；and meanwhile，the objective function，constraints and design variables were determined to use MATLAB optimization toolbox to optimal design of workbench，at last，the best dimension were gotten and the finite element analysis were taken.The analysis result show that the weight of the worktable was reduced by 162.4kg，and the maximum deformation and maximum stress were decreased by 6.7%and 10%，at the same time，the dynamic characteristics were also improved significantly and provided a theoretical basis for the design of worktable.

finite element analysis；orthogonal experiment；sensitivity analysis；response surface method；dimension optimization

TH122；TG659

A

1001-2265（2015）06-0028-05 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.06.008

2014-09-28；

2014-10-21

王禮明（1990—），男，浙江衢州人，江蘇理工學(xué)院碩士研究生，研究方向為先進制造技術(shù)與裝備，（E-mail）wlmbest@sina.com；通訊作者：葉霞（1973—），女，江蘇泰興人，江蘇理工學(xué)院副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向為仿生機械設(shè)計與制造；（E-mail）yexia @jstu.edu.cn。