趙 君，門 洪，馮玉昌，張秀宇

（東北電力大學(xué)自動化工程學(xué)院，吉林吉林 132012）

基于絕對節(jié)點坐標(biāo)法的發(fā)動機曲柄滑塊系統(tǒng)動態(tài)性能研究*

趙 君，門 洪，馮玉昌，張秀宇

（東北電力大學(xué)自動化工程學(xué)院，吉林吉林 132012）

發(fā)動機曲柄滑塊機構(gòu)是汽車中重要的傳遞力和位移的機構(gòu)。以曲柄和連桿工作過程中產(chǎn)生的柔性變形為對象，研究對發(fā)動機動力性能帶來影響。采用絕對節(jié)點坐標(biāo)法，建立系統(tǒng)柔體動力學(xué)模型，分析曲柄和連桿在工作過程中的柔性變形對活塞運動位置的影響。利用發(fā)動機壓縮比評價發(fā)動機動態(tài)性能，給出某型發(fā)動機壓縮比計算公式，找到影響發(fā)動機壓縮比的關(guān)鍵參數(shù)。利用MATLAB對曲柄滑塊系統(tǒng)進行動力學(xué)仿真，分別考慮剛體和柔性體情況，計算活塞運動到上止點的位置，進而計算發(fā)動機壓縮比。通過仿真結(jié)果比對表明，曲柄滑塊的柔性變形減小了發(fā)動機壓縮比，降低了發(fā)動機性能，不利于發(fā)動機的燃油經(jīng)濟性。

發(fā)動機曲柄滑塊；絕對節(jié)點坐標(biāo)法；壓縮比；動力學(xué)性能

0 引言

發(fā)動機是汽車的核心部件，曲柄滑塊是發(fā)動機中的重要的傳遞力和位移的機構(gòu)。燃料燃燒產(chǎn)生的力直接作用在活塞上，活塞的往復(fù)運動轉(zhuǎn)變?yōu)榍S的旋轉(zhuǎn)運動，經(jīng)由連桿傳遞到曲軸，將推力轉(zhuǎn)變?yōu)榍S對外輸出的轉(zhuǎn)矩。從而驅(qū)動車輪轉(zhuǎn)動。對曲柄滑塊進行運動學(xué)和動力學(xué)進行研究，可以更好的了解它的運動規(guī)律，分析其與發(fā)動機性能間的關(guān)系，進一步為發(fā)動機的結(jié)構(gòu)設(shè)計和優(yōu)化奠定良好基礎(chǔ)。

近半個世紀(jì)國內(nèi)外學(xué)者對曲柄滑塊系統(tǒng)進行大量的探索和研究。Khemili等［1］考慮間隙影響，建立了平面曲柄滑塊系統(tǒng)柔體動力學(xué)模型；Erkaya等［2］研究了間隙對曲柄滑塊系統(tǒng)振動和噪聲的印象，并與試驗進行對比；Erkaya等［3］進一步對平面曲柄滑塊系統(tǒng)進行運動學(xué)分析，利用遺傳算法對機構(gòu)幾何參數(shù)進行優(yōu)化；Daniel等［4］建立了考慮關(guān)節(jié)潤滑的曲柄滑塊動力學(xué)模型，并分析系統(tǒng)動力學(xué)性能；丁健等［5］考慮系統(tǒng)運動副間隙，分析其對機構(gòu)動態(tài)特性的影響；魏文杲［6］設(shè)計了新型輸送裝置，采用曲柄滑塊式驅(qū)動的結(jié)構(gòu)。

1996年，SHABANA提出了絕對節(jié)點坐標(biāo)法，該方法僅使用一個全局坐標(biāo)系，柔性體的所有坐標(biāo)均在該坐標(biāo)系下描述。同時，利用節(jié)點斜率坐標(biāo)代替有限轉(zhuǎn)動角來描述節(jié)點的方向，因此該方法對大范圍轉(zhuǎn)動、大變形問題求解具有較高的精度。OMAR等［7-8］分別研究了二維、三維梁單元模型建模方法。BERZERI等［9-10］基于不同本構(gòu)模型，建立了適用于不同條件的彈性力計算模型。YAKOUB等［11］、劉鋮等［12］都對提高動力學(xué)方程仿真計算效率和精度的方法進行了研究。

考慮曲柄和連桿的柔性，建立系統(tǒng)柔體動力學(xué)模型，提出發(fā)動機壓縮比的計算公式。利用MATLAB對系統(tǒng)進行仿真分析。以發(fā)動機壓縮比為評價指標(biāo)，基于絕對節(jié)點坐標(biāo)法分析曲柄和連桿柔性變形對發(fā)動機動力性能的影響，為發(fā)動機結(jié)構(gòu)設(shè)計和優(yōu)化提供理論依據(jù)。

1 曲柄滑塊系統(tǒng)動力學(xué)建模

曲柄活塞機構(gòu)如圖1所示。曲柄活塞機構(gòu)化簡為由三部分構(gòu)成，分別為曲柄，連桿和活塞。其中，曲柄和連桿為柔性體，活塞為剛體。利用基于絕對節(jié)點坐標(biāo)法的二維梁單元對曲柄和連桿進行離散，依據(jù)曲柄和連桿的幾何尺寸對曲柄劃分為2個單元，連桿劃分為3個單元。

圖1 發(fā)動機曲柄活塞示意圖

1.1 梁單元節(jié)點坐標(biāo)和位移描述

圖2所示為變形后的梁單元模型示意圖。其中，OXY為絕對（全局）坐標(biāo)系，梁單元的所有坐標(biāo)（位置坐標(biāo)e和斜率坐標(biāo)）皆在該坐標(biāo)系下描述。oxy為與單元固連的浮動坐標(biāo)系。每個單元包含A和B兩個節(jié)點，位于端點處。P為梁單元上任意一點，r為其在絕對坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)，r1和r2為點該坐標(biāo)在絕對坐標(biāo)系下沿X軸和Y軸方向的投影。該坐標(biāo)可利用對節(jié)點A和B的插值來進行求解，如式（1）所示。

圖2 變形后的梁單元模型示意圖

其中，ai，bi為代數(shù)多項式待定系數(shù)，可利用已知節(jié)點坐標(biāo)求解；x，y為未變形時點P在單元浮動坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；r1，r2為點P在絕對坐標(biāo)系下沿X軸和Y軸方向的坐標(biāo)；S為單元形函數(shù)；e為單元節(jié)點坐標(biāo)列陣，為時間的函數(shù)。

對于梁單元，每個節(jié)點取6個節(jié)點坐標(biāo)，則每個梁單元共包含12個節(jié)點坐標(biāo)

其中，e1、e2、e7、e8為節(jié)點絕對位移坐標(biāo)，e3-e6、e9-e12為節(jié)點斜率坐標(biāo)。利用單元節(jié)點坐標(biāo)可得到代數(shù)多項式的各項系數(shù)，進而得到單元的形函數(shù)

式中，I為2×2的單位矩陣，si定義為

1.2 梁單元質(zhì)量矩陣

將式（1）對時間求導(dǎo)，即為單元上任意點的絕對速度公式，則可得梁單元的動能為

1.3 梁單元彈性力

根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中非線性應(yīng)變-位移關(guān)系對其彈性力進行描述。當(dāng)選取梁單元初始構(gòu)型為與水平軸X軸平行時，梁單元的變形梯度

式中，J為單元變形梯度；x為梁上任意點初始時刻在單元坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；Si為單元形函數(shù)的第i行。

利用單元變形梯度，梁單元的格林-拉格朗日應(yīng)變張量

由于單元應(yīng)變張量是一個對稱張量，因此可以改寫列矢量的形式

根據(jù)材料本構(gòu)模型，單元應(yīng)力可寫為

式中，D為與材料性能有關(guān)的系數(shù)矩陣。

對于各向同性的均勻材料，D可由拉梅常數(shù)λ和μ來表示

根據(jù)虛功原理，利用式（15）、（16），系統(tǒng)由彈性力產(chǎn)生的虛功

Qe為系統(tǒng)廣義彈性力，經(jīng)整理其表達式為

2 曲柄滑塊系統(tǒng)動力學(xué)方程

2.1 系統(tǒng)約束的描述

曲柄滑塊系統(tǒng)中，各部件間由轉(zhuǎn)動副連接，如圖3所示。各部件在連接處的位移始終相同，但是存在相對轉(zhuǎn)動。因此，系統(tǒng)約束為：

圖3 系統(tǒng)約束

2.2 系統(tǒng)動力學(xué)方程

系統(tǒng)動力學(xué)方程可按照傳統(tǒng)有限元的組裝方法求得，引入約束條件，由第一類拉格朗日方程可得：

式中q為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)列陣，λ為拉格朗日乘子列陣，fq為約束方程對q的偏導(dǎo)數(shù)陣，M為系統(tǒng)質(zhì)量陣，Qe為系統(tǒng)彈性力列陣，Q為系統(tǒng)廣義外力陣。給定初始條件，利用數(shù)值計算方法對此微分方程進行求解，可以得到活塞的運動位置信息。

3 發(fā)動機壓縮比的定義與計算

發(fā)動機壓縮比為評價發(fā)動機性能的重要指標(biāo)。一個運動周期中，活塞從下止點運動到上止點。發(fā)動機的壓縮比為發(fā)動機吸入氣體壓縮前體積與壓縮后體積之比。其中，吸入氣體壓縮前體積為氣缸工作容積與燃燒室容積之和，即為氣缸總?cè)莘e；吸入氣體壓縮后體積為燃燒室容積。

圖4 發(fā)動機容積組成

如圖4所示為某型發(fā)動機的容積組成。其中，V3為剛體燃燒室容積，曲柄和連桿的柔性變形主要影響該體積。其計算公式為：

其中，d為缸筒平均直徑，l0為不考慮曲柄連桿變形時活塞位置，l′為考慮變形的位置。其余各參數(shù)含義及數(shù)值由表1直接給出。

表1 曲柄滑塊機構(gòu)中與壓縮比相關(guān)尺寸

則考慮間隙的發(fā)動機壓縮比計算公式為：

將表1數(shù)據(jù)帶入即可計算發(fā)動機壓縮比。

4 仿真計算及結(jié)果分析

利用Matlab對上述公式進行仿真編程分析，利用Matlab內(nèi)置求解器ODE45對動力學(xué)微分方程進行求解。分別將曲柄和連桿設(shè)為剛體和柔性體進行仿真分析。本文選用發(fā)動機壓縮比作為評定發(fā)動機動力學(xué)性能的標(biāo)準(zhǔn)，因此需通過動力學(xué)分析的到活塞的位移，尤其是在上止點處的位移，進而計算發(fā)動機壓縮比。初始時刻，曲柄滑塊位于豎直位置，曲柄原長 l1= 53.5mm，連桿長原l2=107.0mm，缸筒平均直徑d= 65.0mm。

4.1 剛體系統(tǒng)曲柄活塞仿真分析

曲柄以ω1=100 rad/s作勻角速度運動，分析該轉(zhuǎn)速下連桿的運動角速度變化規(guī)律和滑塊的運動速度、位移變化規(guī)律。仿真初始條件：ω1=100 rad/s，θ=0 rad，β=0 rad，l0=160.5mm。仿真時間0.14s，滑塊中心的位移l0，如圖5所示。

圖5 剛體系統(tǒng)滑塊位移曲線

當(dāng)曲柄連桿機構(gòu)作勻角速度運動時，活塞中心的位移在81.5～160.5mm區(qū)間變化，活塞在上止點處的位移為160.5mm。

4.2 柔體系統(tǒng)曲柄活塞仿真分析

為使仿真結(jié)果明顯，曲柄和連桿材料的彈性系數(shù)比真實材料小，其中，連桿的彈性系數(shù)為 0.5× 106MPa，曲柄選取兩種不同材料，彈性模量分別為107MPa和108MPa，材料密度均為7550kg/m3。系統(tǒng)幾何尺寸與剛體系統(tǒng)相同。系統(tǒng)在作用在曲柄上的力矩Mf驅(qū)動下進行運動，活塞的位移曲線如圖6所示。

圖6 活塞的位移曲線

由圖6可見，考慮柔性的曲柄滑塊系統(tǒng)與剛性系統(tǒng)有很大區(qū)別。當(dāng)活塞運動一個周期到達上止點時，其位移比剛體系統(tǒng)小，如圖中紅線所示。其中，曲柄材料彈性模量為107MPa的位移為152.8mm，彈性模量為108MPa的位移為153.4mm，彈性模量大的系統(tǒng)變形小，與實際情況相符。

4.3 壓縮比計算和性能評價

經(jīng)仿真分析得到活塞中心上止點的位置，根據(jù)式（15）和（16），可計算發(fā)動機的壓縮比。

（1）剛體系統(tǒng)壓縮比

發(fā)動機壓縮比為：

（2）柔體系統(tǒng)壓縮比

不同彈性模量系統(tǒng)壓縮比分別為：

對比計算結(jié)果（17）與（18）可得，由于曲柄連桿的柔性變形，減小了發(fā)動機的壓縮比。壓縮比的減小，會降低發(fā)動機的燃燒性能，增加了油耗，不利于發(fā)動機動態(tài)性能。

5 結(jié)論

本文基于絕對節(jié)點坐標(biāo)法，建立了發(fā)動機曲柄活塞系統(tǒng)柔體動力學(xué)模型。建立了發(fā)動機壓縮比計算公式，分析影響壓縮比的關(guān)鏈尺寸。利用MATLAB對曲柄滑塊系統(tǒng)進行動力學(xué)仿真，分別的到了剛體情況和柔性體情況下，活塞運動到上止點的位置。根據(jù)仿真結(jié)果，計算了忽略與考慮曲柄和連桿柔性變形時發(fā)動機壓縮比。結(jié)果表明曲柄和連桿的柔性會降低活塞上止點位置，減小發(fā)動機壓縮比，降低了發(fā)動機性能，為發(fā)動機結(jié)構(gòu)設(shè)計和優(yōu)化提供了理論依據(jù)。

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（編輯 趙蓉）

Dynamic Analysis of Engine Slider-crank Based on the Absolute Nodal Coordinate Formulation

ZHAO Jun，MEN Hong，F(xiàn)ENG Yu-chang，ZHANG Xiu-yu
（School of Automation Engineering，Northeast Dianli University，Jilin Jilin 132012，China）

The slider-crank in engine is one of the important mechanisms in automobiles which transports force and displacement.The flexible deformation of the crank and the connecting rod will affect the dynamic performance of the engine.The flexible dynamic model of the engine slider-crank is established base on the absolute nodal coordinate formulation（ANCF）.The influence of the flexible deformation on the displacement of the piston is studied.The equation which is used to calculate the engine compression ratio is given and the relationship between the compression ratio and the displacement of the slider is studied.The dynamic model of the system is simulated with the help of MATLAB and the engine compression ratio of both rigid and flexible system is calculated.The results show that the flexible deformation of the system reduces the engine compression ratio and is not conducive to the engine fuel economy.

engine slider-crank；ANCF；compression ratio；dynamic performance

TH132；TG659

A

1001-2265（2015）06-0001-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.06.001

2014-10-16；

2014-11-24

國家自然科學(xué)基金項目（61304013）

趙君（1963—），男，吉林大安人，東北電力大學(xué)副教授，研究方向為計算機過程控制仿真、現(xiàn)代測試技術(shù)及儀表的研究，（E-mail）neduzhaojun@163.com。