錢長國

摘 要：基本活動經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要從學(xué)生的基本活動經(jīng)驗(yàn)入手，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生通過觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納、類比、聯(lián)想等方法，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。

關(guān)鍵詞：基本活動經(jīng)驗(yàn)；合情推理

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）18-073-2

《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》在課程的具體目標(biāo)中指出：“培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的合情推理能力?！焙锨橥评碜钤缡敲兰?dāng)?shù)學(xué)家波利亞在30年代提出的概念，它是指“觀察、歸納、類比、實(shí)驗(yàn)、猜測、矯正和調(diào)控等日常生活中積累的知識、經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過非演繹（非完全演繹）的思維而得到的合乎情理、理想化的一種推理方法。

波利亞說：“有效地應(yīng)用合情推理是一種實(shí)際技能”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從學(xué)生的基本活動經(jīng)驗(yàn)入手，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。

一、從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)入手，溝通算理聯(lián)想推理

蘇教版教材第7冊中教學(xué)乘除混合運(yùn)算時(shí)，有這樣一道題，讓學(xué)生計(jì)算56÷4÷7與56÷（4×7）的結(jié)果進(jìn)行比較。教師讓學(xué)生先猜想，然后通過計(jì)算得出：56÷4÷7=2，56÷（4×7）=56÷28=2。所以推理出56÷4÷7=56÷（4×7）。教學(xué)到此程度，不少教師都會讓學(xué)生記住：在三個(gè)數(shù)連除算式中可以把后兩個(gè)數(shù)用小括號括起來，括號里除號變乘號。它們的結(jié)果是一樣的。事實(shí)上，我們可以根據(jù)學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步幫助學(xué)生理清算理，明了意義，更有助于學(xué)生理解、記憶。教師可以通過編生活中的應(yīng)用題來理解算理。如：學(xué)校為了倡導(dǎo)足球文化，把56只足球平均分給三至六年級4個(gè)年級，每個(gè)年級7個(gè)班，平均每班分得足球多少只？學(xué)生有兩種列式理由，一是根據(jù)數(shù)量關(guān)系式先求出平均每個(gè)年級分得足球多少只？（56÷4），再求平均每班分得足球多少只？（56÷4÷7）。第二種求法是先求出三至六年級共有幾個(gè)班？（4×7），再求平均每班分得足球多少只？56÷（4×7）。最后讓學(xué)生比較算理，思考所求問題，進(jìn)一步得出：56÷4÷7與56÷（4×7）都是求平均每班分得足球多少只，它們是相等的。

二、借助線段圖讓學(xué)生觀察，直觀推理

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，巧妙借助線段圖教學(xué)，可以化難為易，變抽象為具體，可以有效地幫助學(xué)生合情推理。

如：“學(xué)生問老師多少歲，老師說：‘當(dāng)我像你這么大時(shí)，你剛3歲。當(dāng)你像我這么大時(shí)，我已經(jīng)39歲。那么，老師今年多少歲？”

這個(gè)問題，如果不借助線段圖來直觀觀察，多數(shù)學(xué)生很難理解題目中隱藏的隱蔽條件，從而很難去推理。如果用線段圖來表示，便于學(xué)生在頭腦中形成正確的表征。

從0歲開始畫起，學(xué)生3歲，老師是學(xué)生現(xiàn)在的年齡。中間存在著一個(gè)年齡差。而今年老師與學(xué)生的年齡也同樣存在著相同的年齡差。當(dāng)學(xué)生長到老師的年齡時(shí)，老師已39歲了。又相隔一段年齡差。也就是說，39-3=36歲實(shí)際上就是師生之間年齡差的3倍，所以年齡差應(yīng)該是（39-3）÷3=12歲。這樣可以推理出老師今年的年齡就是39-12=27歲。

又如：“甲、乙、丙、丁和小明一共五人進(jìn)行羽毛球比賽，每兩人比賽一場，比賽中途做了一次統(tǒng)計(jì)：甲比了4場，乙比了3場，丙比了2場，丁比了1場。這時(shí)小明比賽了幾場？”這道題如果老師不借助描點(diǎn)畫圖連線，學(xué)生在理解上就會無從下手，丈二和尚摸不著頭腦。根據(jù)題意可以用點(diǎn)來代替甲、乙、丙、丁、小明5人，用連線法畫圖如下：

甲比了4場，說明甲與其他4人分別比賽了1場。根據(jù)丁比了1場，說明丁只能跟甲比一場，其余都沒有比。根據(jù)乙比了3場，可知乙與甲、丙、小明各比了1場。丙比了2場，很明顯從圖中可以看出丙與甲、乙各比賽了1場。由圖可以推理出，此時(shí)小明只與甲、乙各比了1場，即小明在中途統(tǒng)計(jì)時(shí)只比賽了2場。

三、通過枚舉，合情推理

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，一一枚舉，可以清楚地看出一些數(shù)量前后變化規(guī)律，有助于問題的解決。如“張大伯用一根39米長的草繩靠一面墻圍成了一個(gè)長方形籬笆，長與寬都取整米數(shù)，當(dāng)長=（ ）米，寬=（ ）米時(shí)，圍成的長方形籬笆面積最大？

教師可啟發(fā)學(xué)生通過列表枚舉去自主探究。

長m151719212325……

寬m121110987……

面積m2180187190189184175……

通過列表，可以看出，當(dāng)長等于15米，寬等于12米時(shí)，長方形面積是180平方米。當(dāng)長等于19米，寬等于10米時(shí)，長方形籬笆的面積最大是190平方米。當(dāng)長分別為21米、23米、25米，長方形面積由189平方米逐步減少到175平方米。

有些題目，在枚舉時(shí)，要適時(shí)地進(jìn)行調(diào)控、矯正、推理要合乎情理。

如：“將“1～9”九個(gè)數(shù)分別填入下面的九宮格中，使九宮格中橫排、豎排、對角線上的三個(gè)數(shù)之和分別都相等。”

要把“1～9”九個(gè)數(shù)填入右圖中，使橫、豎、對角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等。可以先求出1+2+3+……+9的和是45，每一排之和是45÷3=15。我們可以來枚舉一下，1～9九個(gè)數(shù)哪三個(gè)數(shù)相加的和等于15呢？

①枚舉如下：1+9+5=15 2+8+5=15 3+7+5=15 4+6+5=15，與5相加的另外兩個(gè)數(shù)只有這四組。由此可以推理出九宮格中中間一個(gè)數(shù)是5。也只有5在中間才能保證四種情況即橫、豎排及兩條對角線上三個(gè)數(shù)之和都等于15。

②枚舉：9+2+4=15 8+1+6=15 8+3+4=15 7+6+2=15；

通過觀察思考：可以知道以上8組數(shù)中，與5相加的數(shù)有4組，與8相的數(shù)有3組，與6相加的數(shù)也有3組；分別是A組2+8+5=15，8+1+6=15，8+3+4=15；B組4+6+5=15，7+6+2=15，8+1+6=15。這樣我們可以大膽推斷8與6都在九宮格的四角上。只有在角上，才能保證橫排、豎排及一條對角成上的三個(gè)數(shù)之和都等于15。但是8與6又不能在一條對角線的兩個(gè)角上，因?yàn)檫@樣6+8+5=17，和就不等于15了，不符合要求。為此，8與6在一排上的兩個(gè)角上，中間只能是1。這樣一推理，就很快推理出8、5、2一組，6、5、4一組，1、5、9一組。填起來就很容易了。顯然，列舉時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生不重復(fù)，不遺漏，重視培養(yǎng)學(xué)生有序列舉的習(xí)慣。

四、建立模型，猜測推理

數(shù)學(xué)習(xí)題中，有些題要思考路徑，讓學(xué)生在頭腦中先建立模型，再順藤摸瓜，猜測推理。

如：在等號左邊填上合適的運(yùn)算符號和括號，使計(jì)算結(jié)果等于右邊的數(shù)。

（一）3 3 3 3=1， （二）3 3 3 3=2。

我們在解這類題目時(shí)，可以從結(jié)果入手，通過建立模型來解決問題。

先看“3 3 3 3=1”，要使4個(gè)3的運(yùn)算結(jié)果等于1，可以這樣想，3與1之間有什么關(guān)系？很顯然：3-2=1，這就是模型。我們只需要將最前面的3留下，剩下的3個(gè)3湊成2就行了。即：3-（3+3）÷3=1。當(dāng)然也可以建立模型“0+1=1”，即3-3+3÷3=1。也可以建立模型“1×1=1”，即（3÷3）×（3÷3）=1。再來看“3 3 3 3=2”，可以建立模型1+1=2，即3÷3+3÷3=2；也可以建立模型5-3=2，但是前三個(gè)3湊不成5，這樣的模型在實(shí)踐探究中需要調(diào)整。

五、演示歸納，類比推理

杜威說：“經(jīng)驗(yàn)就是教育的創(chuàng)造或改組?！睌?shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生的思維訓(xùn)練有時(shí)可以先借助實(shí)物演示，然后根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知水平與生活經(jīng)驗(yàn)歸納、類比，讓學(xué)生合情推理。

如教學(xué)：“有一個(gè)大正方體，在它的表面涂上顏色，然后將大正方體切割成棱長是1厘米的小正方體，已知兩面都涂色的小正方體共有60個(gè)，求原大正方體的體積是多少立方厘米？”

教者可先讓學(xué)生觀察實(shí)物圖，然后操作演示。啟發(fā)學(xué)生思考這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題，看“兩面涂色的小正方體在大正方體的什么位置上？”學(xué)生觀察得出：兩面涂色的小正方體都在大正方體的12條棱上。但每條棱的兩端兩個(gè)小正方體都是三面涂色，不符合要求。通過觀察，可以得出大正方體每條棱上有5個(gè)兩面涂色的小正方體。那么可以推理大正方體12條棱上共有兩面涂色的小正方體個(gè)數(shù)是5×12=60個(gè)。這與題目中所給的已知條件完全相同。通過歸納、類比，我們不難得出：大正方體12條棱的長度都相等，每條棱上兩面涂色的小正方體個(gè)數(shù)是相同的，就是60÷12=5（個(gè)）。由于大正方體每一條棱的兩端都有一個(gè)三面涂色的小正方體，由此可以推理出大正方體的一條棱上就由5+2=7個(gè)小正方體組成，即大正方體的棱長就是7×1=1（厘米）。這樣大正方體的體積就是73=343立方厘米。

當(dāng)然，合情推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中它不是孤立存在的，有時(shí)與演繹推理、邏輯推理綜合應(yīng)用。合情推理只有植根于學(xué)生基本活動經(jīng)驗(yàn)這塊沃土，才能開出更加艷麗的花朵，結(jié)出豐碩的果實(shí)。