鄭文慶

幾何直觀是利用動(dòng)作、圖形洞察數(shù)學(xué)本質(zhì)的一種方式，既有形象思維的特征，又有抽象思維的特點(diǎn)。它可以通俗、生動(dòng)地揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有利于學(xué)生探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解，提高思維轉(zhuǎn)化能力。那么，如何借助幾何直觀，讓學(xué)生的思維從晦澀走向簡(jiǎn)約呢？

一、借助動(dòng)手操作，讓思維從抽象走向直觀

動(dòng)手操作是一種以“動(dòng)”促“思”，調(diào)動(dòng)學(xué)生全身心投入學(xué)習(xí)過程的有效形式。因而，在課堂上，要盡量給學(xué)生提供動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)。當(dāng)然，操作活動(dòng)的目的是為了使學(xué)習(xí)內(nèi)容直觀化，讓每一位學(xué)生都有機(jī)會(huì)參與，為他們積累豐富的感性認(rèn)識(shí)。當(dāng)然，在操作活動(dòng)中，不能為操作而操作，而應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生自覺地思考、探索，學(xué)會(huì)用自己的語言說明操作的過程以及得到一些結(jié)論。

如，單元試卷中有這樣一道填空題：“把一條繩子對(duì)折再對(duì)折，然后從中間剪開，一共可以剪成（ ）段?！睂W(xué)生的答案可謂五花八門，但大體上有三種：3段、4段和5段。

其實(shí)，只要教師留意，就能發(fā)現(xiàn)：這種題不僅在低中年級(jí)出現(xiàn)，也常在高年級(jí)出現(xiàn)，甚至在奧數(shù)競(jìng)賽中也經(jīng)常出現(xiàn)，只不過是對(duì)折的次數(shù)不同罷了。

既然這種題型出現(xiàn)的頻率較高，而學(xué)生答題的正確率又很低，何不作為實(shí)踐活動(dòng)的第一手素材，引導(dǎo)學(xué)生探究一下這個(gè)問題呢？

于是，教師事先布置學(xué)生準(zhǔn)備好剪刀、羊毛線（代替繩子）等工具和材料，上一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課——“剪繩子問題”。教師先讓學(xué)生剪一剪，積累一定的感性認(rèn)識(shí)。接下來再讓學(xué)生填一填，完成下面這個(gè)表格，并帶著問題思考：剪成的總段數(shù)與對(duì)折的次數(shù)的關(guān)系如何？

總段數(shù)與對(duì)折次數(shù)關(guān)系統(tǒng)計(jì)表

學(xué)生填完表后，剪成的總段數(shù)與對(duì)折的次數(shù)的關(guān)系已經(jīng)漸漸明朗、清晰起來，初步形成規(guī)律：一根繩子對(duì)折一次后，從中間剪開，會(huì)剪成3段（兩端加一，即2+1）;一根繩子對(duì)折兩次后，從中間剪開，會(huì)剪成5段（2×2+1）;如果繼續(xù)對(duì)折，從中間剪開，對(duì)折幾次，就會(huì)得到幾個(gè)2相乘再加1的段數(shù)。

看似枯燥的一道思考題，因賦予其操作的成份，“化靜為動(dòng)”，把靜態(tài)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，動(dòng)靜結(jié)合，就能讓學(xué)生在具體、直觀的操作活動(dòng)中理解數(shù)量關(guān)系，問題的解決也就變得觸手可及乃至水到渠成。

二、依托畫圖方法，讓思維從障礙走向疏通

畫圖也是一種重要的幾何直觀方法。教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助圖形分析題意，包括分析已知條件和問題，并逐步上升到能將直觀圖與數(shù)學(xué)語言、符號(hào)語言進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換，從而解決實(shí)際問題。

如，“36人植樹，每組3人，可以分成多少組？”這道題從除法的意義來說是包含除法。學(xué)生從二年級(jí)第一次認(rèn)識(shí)除法到三年級(jí)的繼續(xù)學(xué)習(xí)，包含除法一直是難點(diǎn)。為此，教學(xué)時(shí)，教師采用了畫圖的方法，并結(jié)合圖形理解問題（如圖1）：

圖1

36人植樹，每組3人，能分成多少組，就是要求36里面包含了多少個(gè)3？

這樣的直觀演示符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，也降低了難度，便于學(xué)生領(lǐng)會(huì)、掌握。

畫圖的方法不僅能幫助學(xué)生理解問題，也能幫助他們理解數(shù)量關(guān)系。如，有一道這樣的題目：“下課時(shí)，小朋友們圍成一圈做游戲，從小明開始向左數(shù)，小紅是第6個(gè)人，從小紅開始往左數(shù)，小明是第4個(gè)人，一共有幾個(gè)人？”很多一年級(jí)學(xué)生感到很難，或者能夠想出結(jié)果卻不會(huì)列算式，教師不妨引導(dǎo)他們用畫圖的方法幫助理解數(shù)量關(guān)系。（如圖2）

圖2

通過畫圖，將復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單，這樣學(xué)生就很容易列出算式：6+4-2=8（人），也理解了“-2”是因?yàn)樵谟?jì)算總?cè)藬?shù)時(shí)，小明、小紅分別多算了一次。

三、凸顯形數(shù)結(jié)合，讓思維從模糊走向清晰

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來。通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而讓思維從模糊走向清晰。

如，看圖了想一想，可以把這個(gè)算式轉(zhuǎn)化成怎樣的算式計(jì)算。

圖3

教學(xué)時(shí)，教師可以分三個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)，在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。第一層次：指導(dǎo)看圖，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化。呈現(xiàn)算式后，教師可以給學(xué)生一些思考的時(shí)間和空間，學(xué)生一般會(huì)應(yīng)用通分的方法，轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算。這時(shí)，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生思考其他的方法。當(dāng)學(xué)生思維受阻時(shí)，才出示直觀圖，先結(jié)合各個(gè)分?jǐn)?shù)理解直觀圖中各部分的意義，再啟發(fā)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為1-進(jìn)行計(jì)算。第二層次：適當(dāng)拓展，突出直觀。教師將算式拓展到1++++…+，要求學(xué)生選擇上面的方法進(jìn)行計(jì)算，學(xué)生一般會(huì)根據(jù)畫直觀圖的方法，將算式轉(zhuǎn)化為1-進(jìn)行計(jì)算。這時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么要用畫直觀圖的方法？使學(xué)生體會(huì)數(shù)與形的完美結(jié)合，從而將復(fù)雜的算式轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的算式進(jìn)行計(jì)算。第三層次：深度思考，強(qiáng)化直觀。教師可以啟發(fā)學(xué)生觀察分母的特點(diǎn)：分母分別是2、2個(gè)2相乘、3個(gè)2相乘、4個(gè)2相乘……在直觀圖上對(duì)應(yīng)的是先把正方形平均分成2份，取其中的1份;再把剩下的圖形平均分成2份，取其中的1份……最后分出的圖形與剩下的圖形相等。借助直觀圖，要求涂色部分的大小，只要用單位“1”減去剩下圖形的大小。從而，把復(fù)雜的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的計(jì)算問題的同時(shí)，又初步培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀意識(shí)。

四、注重遷移類推，讓思維從膚淺走向深刻

小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫有兩條線索：一是處于表面的知識(shí);二是隱含于知識(shí)背后的模型思想。教師只有創(chuàng)造性地使用教材，變“教教材”為“用教材”，做到源于教材而高于教材，才能領(lǐng)會(huì)知識(shí)深處的數(shù)學(xué)基本思想。

如，人教版數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)第73頁的一道思考題：跳繩比賽中，小紅和參加比賽的每個(gè)人握一次手，一共握了39次。參加跳繩比賽的一共有多少人？教學(xué)時(shí)，教師可以先通過握手、觀察、思考等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，為學(xué)生提供充裕的實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間和空間。接著，讓學(xué)生選擇自己喜愛的圖形，分別表示握手的人數(shù)和參賽的人數(shù)，自主探索圖形中隱藏的秘密：參賽人數(shù)比握手人數(shù)多1（握手人數(shù)比參賽人數(shù)少1）。再讓學(xué)生舉例子，根據(jù)思考題的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行“異”題“同”構(gòu)：每道題目的數(shù)量關(guān)系相似，通過類比訓(xùn)練，一方面有助于培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維能力，另一方面有助于分析、比較異同，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)。最后，借助當(dāng)堂訓(xùn)練，既溝通了本冊(cè)教材第12頁“我們一共有10個(gè)男生，老師讓相鄰兩個(gè)男生之間站一個(gè)女生。一共可以站進(jìn)多少個(gè)女生？”與這道思考題數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系，又溝通了小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的植樹問題、上樓問題、鬧鐘問題，乃至鋸木頭問題、電線桿問題、插彩旗問題與這道思考題的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)了“間隔數(shù)與點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系”的規(guī)律，實(shí)現(xiàn)了有效建構(gòu)。

教學(xué)諸如此類的思考題時(shí)，教師千萬不能走過場(chǎng)、就題論題，而應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地抓住典型材料，把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)連成線、形成面、結(jié)成體。解題過程中，部分學(xué)生也許不甚理解，但大部分學(xué)生親身經(jīng)歷、體驗(yàn)、感悟模型的建構(gòu)過程，基本上會(huì)用自己的語言來表述，在頭腦中留下久遠(yuǎn)而深刻的記憶。到了高年級(jí)，碰到類似的問題，他們沉睡的思維記憶就會(huì)重新被激活，解題的關(guān)鍵就會(huì)被抓住，數(shù)感也得到培養(yǎng)。

◇責(zé)任編輯：徐新亮◇