賴金濤,傅建中,沈洪垚,甘文峰

（浙江大學機械工程學院,浙江杭州310027）

基于NURBS曲面敏感點的曲面檢測測點優(yōu)化

賴金濤,傅建中,沈洪垚,甘文峰

（浙江大學機械工程學院,浙江杭州310027）

基于NURBS曲面控制點重構(gòu)的加工誤差在機測量方法,提出測點優(yōu)化選擇方法.通過對NURBS曲面進行分析,將曲面上控制點影響最強點和曲面極值點定義為曲面的敏感點,利用曲面敏感點的在機測量數(shù)據(jù)對NURBS曲面控制點進行重構(gòu),得到擬合加工曲面.比較加工曲面和設(shè)計曲面可以得到曲面的加工誤差,對曲面的加工精度進行評估,指導曲面的誤差補償.實驗過程對一自由曲面進行實際加工,通過在機測量和三坐標測量得到曲面的加工誤差,分別利用均布法、等參數(shù)法和敏感點法對測點進行選擇,得到相應的擬合加工曲面.分析結(jié)果表明,采用提出的測點優(yōu)化選擇方法獲得的加工曲面具有更好的擬合精度.

NURBS曲面；控制點重構(gòu)；測點優(yōu)化；在機測量

自由曲面在零件設(shè)計中越來越廣泛的應用對自由曲面的精密化制造提出了更高的要求.國內(nèi)外很多學者對如何測量和補償自由曲面的加工誤差進行了研究,與一般規(guī)則零件的加工誤差不同,自由曲面的加工誤差在曲面范圍內(nèi)是不同的,因而對自由曲面的加工誤差進行測量和評估變得非常困難.高精度的自由曲面加工一般包括如下步驟.在數(shù)控機床上加工自由曲面,然后將加工后的零件轉(zhuǎn)移到三坐標測量機上對曲面上的一系列離散點進行測量,用測量得到的點云數(shù)據(jù)插值得到加工曲面［1］,通過比較加工曲面和設(shè)計曲面得到曲面的加工誤差分布；最后根據(jù)得到的誤差分布進行誤差補償加工,達到提高自由曲面加工精度的目的.

對自由曲面的測量主要有2個要求：測量的精度和測量的效率；主要影響因素包括測量的方法、測點的選擇和曲面的重建方法.曲面的測量方法分為接觸式測量和非接觸測量［2］.測量點的數(shù)量和分布直接影響到測量過程的效率,如何在保證一定測量精度的情況下選擇合適的測點數(shù)量和分布至關(guān)重要.鄭惠江［3］提出一種針對STL模型數(shù)據(jù)文件格式特點的自然二次曲面特征參數(shù)提取方法和基于三角形折疊的復雜曲面離散數(shù)據(jù)檢測點布局策略.Ainsworth等［4］提出在自由曲面參數(shù)空間uv方向上均勻采樣的方法.Elkott等［5］提出基于等參數(shù)化、等面積和等平均曲率的測點選擇方法,可以有效地選擇自由曲面檢測的測點.Li等［6］采用B樣條對自由曲面進行建模,利用費雪信息矩陣的統(tǒng)計分析方法對測量點進行優(yōu)化選擇,提高了曲面測量的效率.Woo等［7］研究了Halton-Zaremba序列采樣方法在自由曲面測量中的應用.Obeidat等［8］對自由曲面的分區(qū)測點規(guī)劃進行研究,提出3種針對自由曲面的采樣點選擇算法.陳浪等［9］提出以物體重心坐標為數(shù)學模型的采樣算法,保存了曲面拓撲信息和網(wǎng)格自組功能,為自由曲面的坐標測量提供了簡潔高效的途徑.

通過三坐標測量機進行自由曲面零件測量需要將工件從機床上轉(zhuǎn)移到三坐標測量機上重新進行裝夾定位,因而得到的測量數(shù)據(jù)需要和設(shè)計曲面進行配準［10］.在進行補償加工時,需要再次將工件轉(zhuǎn)移到機床上,這不僅會引入重定位誤差,而且在機床和測量機間來回轉(zhuǎn)移會耗費大量的輔助時間.在機測量技術(shù)的出現(xiàn)很好地解決了該問題,Chen等［11］使用在機測量方法對自由曲面上的529個點進行測量,擬合出了加工的曲面.然而,在機測量對測量的效率提出了更高的要求,低效率的測量過程大大降低了機床的加工效率.Cho等［12］根據(jù)預測的切削誤差對測點的數(shù)量和分布進行優(yōu)化,提高了在機測量的效率.王益等［13］提出基于NURBS曲面控制點重構(gòu)的加工誤差在機測量方法,能夠快速地獲取自由曲面加工誤差,并對曲面的面輪廓度誤差進行評定.基于等參數(shù)的測點選擇雖然可以滿足測量的精度要求,但是冗余的測點會降低測量效率,需要對測量進行優(yōu)化選擇.

本文基于NURBS曲面控制點重構(gòu)的加工誤差在機測量方法,提出一種測點優(yōu)化選擇方法.將曲面上控制點影響最強點和曲面極值點定義為曲面的敏感點,通過對敏感點的測量來獲取自由曲面的加工誤差,提高了曲面誤差測量的效率.

1 測量原理介紹

從NURBS曲面的定義（見式（1））可以看出,曲面由控制點、權(quán)因子和節(jié)點向量確定,其中任意參數(shù)的變動都會引起曲面的形狀發(fā)生改變.本文提出一種基于NURBS曲面控制點重構(gòu)的加工誤差在機測量方法,可以通過對加工曲面上一系列點的實際坐標值來獲取曲面加工誤差.利用在機測量系統(tǒng)對曲面上一系列離散點進行測量,得到曲面測點位置實際加工的坐標；然后根據(jù)測點坐標對設(shè)計曲面控制點進行重構(gòu),獲得加工曲面；最后根據(jù)加工曲面和設(shè)計曲面,計算出曲面的加工誤差.

式中：

k和l分別為曲面uv方向的次數(shù),di,j（i＝0,1,2,…,m；j＝0,1,2,…,n）為曲面的控制頂點,wi,j為與控制頂點di,j相聯(lián)系的權(quán)因子,Ni,k（u）和Nj,l（v）分別為曲面u方向k次和v方向l次的B樣條基函數(shù).

設(shè)p為k×l次NURBS曲面上參數(shù)為u（ue≤u＜ue＋1）和v（vf≤v＜vf＋1）的一點,對應的控制頂點為di,j,p點調(diào)整后通過q（x,y,z）點（見圖1）,新的控制頂點為.由于p點的位置同時受到很多個控制頂點的影響,需要同時調(diào)整p點對應的控制頂點di,j（i＝e－k,e－k＋1,…,e；j＝f－l,f－l＋1,…,f）.根據(jù)設(shè)計曲面和加工曲面在采樣點處的差異對設(shè)計曲面的控制點進行迭代重構(gòu),將迭代后滿足設(shè)定的擬合精度err的曲面作為加工曲面,di,j每次迭代量εi,j通過下式［13］計算：

圖1 設(shè)計曲面和加工曲面Fig.1 Designed surface and machined surface

2 曲面敏感點

通過對曲面上一系列點的測量可以實現(xiàn)對NURBS曲面加工誤差的測量,測量點的數(shù)量和分布直接影響了曲面加工誤差測量的效率和精度.一般情況下,測量點的選擇方法有均布法和等參數(shù)法,曲面加工誤差的測量精度會隨著曲面2個方向上等分數(shù)n的增大而提高.顯然,測量點的數(shù)量會以n2的速度增長,這會大大降低整個測量過程的效率.根據(jù)本文采用的基于NURBS曲面控制點重構(gòu)加工誤差在機測量方法的基本原理,將NURBS曲面上控制點影響最強點和曲面極值點定義為兩類曲面敏感點,并將曲面敏感點作為在機測量的測量點.

2.1 控制點影響最強點

NURBS曲面的所有控制點共同影響整個曲面,每一個控制點都有自己的影響區(qū)域,影響區(qū)域的范圍由曲面的次數(shù)、節(jié)點向量和控制點決定.如圖2所示,一張3×3次NURBS曲面,控制點為di,j（i＝0,1,2,…,6；j＝0,1,2,…,6）,每個控制點對曲面都有自己的貢獻,圖中陰影區(qū)域為控制點d2,2的影響區(qū)域,所有控制點對曲面的貢獻疊加后得到最終的曲面.當圖2所示曲面只有控制點d2,2在z向?qū)η娈a(chǎn)生貢獻時,曲面的形狀如圖3所示,曲面上的最高點為該控制點對曲面影響最強點.

NURBS曲面的控制點和節(jié)點向量存在對應的關(guān)系,但不是一一對應的.一般來說,在計算某一uv參數(shù)下曲面上的點時,首先會根據(jù)uv參數(shù)在節(jié)點向量中的序號確定對計算點有貢獻的控制點,然后利用與控制點對應的節(jié)點向量來計算uv方向的基函數(shù)值,最終代入曲面的定義式計算出曲面上與參數(shù)空間中uv對應的三維坐標中的點.圖4標識了3次NURBS曲面控制點與節(jié)點向量的對應關(guān)系.設(shè)t0～t10為曲面某一方向的節(jié)點,d0～d6為對應的一組控制點,控制點d0的影響區(qū)域為t0～t4,控制點d1的影響區(qū)域為t1～t5,以此類推.在某一控制點的影響區(qū)域內(nèi),區(qū)域內(nèi)存在一個影響最強點.

圖2 NURBS曲面及控制點d 2,2的影響區(qū)域Fig.2 NURBS surface and influence area of d 2,2

圖3 z向單控制點作用下曲面形狀Fig.3 Surface shape with single control point

圖4 控制點與節(jié)點向量的對應關(guān)系Fig.4 Relation between control points and knot vector

將式（1）分解為

當z向只有一個控制點di,j產(chǎn)生的貢獻不為0時,

圖3所示的曲面只有d2,2對曲面產(chǎn)生貢獻,代入式（2）可得,

根據(jù)曲面的節(jié)點向量可以計算出R2,3；2,3（u,v）在參數(shù)域中的分布,結(jié)果如圖5所示,分布的變化趨勢和圖3中曲面的形狀一致.R2,3；2,3（u,v）對曲面的影響在u＝0.282 5,v＝0.288 5時最強,并在遠離該點處迅速衰減,在影響區(qū)域外部為0.

圖5 參數(shù)域中R 2,3；2,3（ u ,v）的分布Fig.5 Distribution of R 2,3；2,3（ u ,v） in parametric domain

通過比較控制點影響最強點的實測值和理論值,可以直接決定該控制點的調(diào)整方向,因為該控制點對這一坐標具有主導影響.將曲面控制點影響最強點定義為曲面的敏感點,可以通過計算節(jié)點向量各節(jié)點處對應的型值點得到.

2.2 極值點

由于曲面控制點對曲面的影響區(qū)域的重疊性,曲面上的極值不一定出現(xiàn)在節(jié)點向量節(jié)點處,將曲面極值點作為敏感點用來驅(qū)動調(diào)整設(shè)計曲面,可以保證加工曲面的極值信息.NURBS曲面的極值包含局部極大值和極小值,通常復雜的曲面會同時存在多個極大值和多個極小值.

為了精確地找到曲面上所有的極值點,采用粗略查找和精確定位相結(jié)合的方法.粗略查找過程將整個曲面在參數(shù)空間內(nèi)進行均勻離散,計算出各離散參數(shù)對應的型值點Pi,j（i＝1,2,…,p；j＝1,2,…,q；p、q分別為曲面在參數(shù)空間uv方向上的離散數(shù)）.如圖6所示,當Pi,j的z坐標同時大于等于與之相鄰的4個點時,則Pi,j為曲面上的一個極大值點；若Pi,j的z坐標同時小于等于與之相鄰的4個點時,則Pi,j為曲面上的一個極小值點.

粗略查找可以確定出曲面上存在的極大值和極小值的個數(shù)及大致的分布,精確定位過程是利用最速下降法確定曲面的極值的準確位置.C1以上連續(xù)的曲面在極值點處的一階導數(shù)p′（u,v） 在z方向上為0,可以以此來判斷一個點是否為極值點.利用最速下降法求解曲面極值點的程序流程如圖7所示.圖中,

圖6 極值判斷Fig.6 Extreme point P i,j

圖7 精確定位極值點流程圖Fig.7 Flow of determining extreme point

式中：s為設(shè)定的迭代步長.

3 實驗分析

圖8 NURBS實驗曲面Fig.8 Experiment NURBS surface

為了驗證提出的測點選擇方案的有效性,設(shè)計了如圖8所示的100 mm×100 mm的NURBS實驗曲面,節(jié)點向量U＝［0,0,0,0,0.264 703,0.5,0.740 06, 1,1,1,1］,V＝［0,0,0,0,0.275 307,0.5,0.753 61,1, 1,1,1］.在MIKRON UCP600五軸立式加工中心上對實驗曲面進行加工,利用Renishaw RMP60對加工曲面上根據(jù)等參數(shù)法選擇的120個待測點進行在機測量并記錄測量數(shù)據(jù)（見圖9）,120個測量點對應的uv參數(shù)如表1所示.

表1 在機測量測點對應的參數(shù)值Tab.1 Corresponding parameters of measuring points

圖9 在機測量Fig.9 On-machine measurement

利用NURBS曲面控制點重構(gòu)方法可以根據(jù)設(shè)計曲面的信息和120個測點的坐標信息得到加工曲面,利用三坐標測量機上對曲面上900個點進行測量（見圖10）,并在Rhinoceros軟件中對測量點進行擬合得到擬合曲面,結(jié)果如圖11所示.曲面加工誤差通過式（3）計算,根據(jù)加工曲面和設(shè)計曲面計算出曲面的加工誤差如圖12（a）所示,通過三坐標測量得到的曲面加工誤差如圖12（b）所示.可以發(fā)現(xiàn),2種方法下曲面的加工誤差在曲面范圍內(nèi)的分布基本一致.

式中：（xm,ym,zm）為加工曲面上的測量點,（xs,ys,zs）為設(shè)計曲面上離測點最近的點.

為了驗證所提的測點優(yōu)化選擇方法的有效性,對曲面敏感點法、等參數(shù)法和均布法測點選擇下曲面的重構(gòu)誤差進行比較.由于直接在加工曲面上通過在機測量的方法無法得到精確的參考曲面,將NURBS曲面重構(gòu)后得到的曲面作為一個參考加工曲面,利用曲面敏感點法在參考加工曲面上進行測量點選擇；然后利用均布法和等參數(shù)法在等量測量點數(shù)的基礎(chǔ)上進行測量點選擇,其中均布法在笛卡爾坐標系下x向6等分、y向7等分,等參數(shù)法在參數(shù)空間內(nèi)u向6等分、v向7等分.表2顯示了3種方案下選擇的測點位置,對應在曲面上的位置如圖13所示.

圖10 三坐標測量Fig.10 Coordinate measurement

圖11 三坐標測量點曲面擬合Fig.11 Fitting surface from coordinate measurement data

圖12 加工曲面法向誤差Fig.12 Normal error of machined surface

表2 3種方式下曲面的測點Tab.2 Sampling points in three strategies

計算3種測點選擇方案下參考加工曲面上的測點坐標,利用3組測點分別對設(shè)計曲面進行重構(gòu),設(shè)定擬合精度為10－6mm,得到3個加工曲面.比較得到的加工曲面和參考加工曲面可以得到加工曲面的重構(gòu)誤差.為了比較不同測點選擇對曲面重構(gòu)精度的影響,選取u＝0.5、v＝0.5 2條采樣線進行擬合誤差分析,結(jié)果如圖14所示.可以看出,2種情況下擬合出的加工曲面和參考加工曲面在采樣線處的擬合誤差都較小,采用敏感點作為測量點時得到的加工曲面具有更高的擬合精度.曲面的平均擬合誤差和最大擬合誤差在敏感點法下為2.56×10－5mm和8.78×10－4mm,相比于等參數(shù)法的3.17×10－5mm和11.5×10－4mm分別減小了19.2%和23.7%,相比于均布法的2.88×10－5mm和10.5× 10－4mm分別減小了11.1%和16.4%.

圖13 實驗曲面測點分布Fig.13 Sampling points of experimental surface

4 結(jié) 論

（1）本文根據(jù)基于NURBS曲面控制點重構(gòu)的加工誤差在機測量的特點,提出一種測量點選擇方法.定義曲面上控制點影響最強點和曲面極值點為曲面的敏感點,利用測量曲面敏感點得到的坐標數(shù)據(jù)重構(gòu)設(shè)計曲面的控制點,得到加工曲面,減少了曲面加工誤差測量所需的測點數(shù)量,提高了測量的效率.

（2）根據(jù)所提的方法設(shè)計了相關(guān)的實驗,通過對曲面上120個點進行測量得到近似的參考加工曲面.通過在機測量方法和三坐標測量方法得到了曲面的加工誤差,并且根據(jù)均布法、等參數(shù)法和敏感點法在參考曲面上選取相應的坐標數(shù)據(jù),并得到相應的擬合加工曲面.對得到的擬合曲面進行精度分析.結(jié)果表明,采用敏感點法得到的加工曲面平均擬合誤差比等參數(shù)法和均布法減小了19.2%和11.1%,最大擬合誤差比等參數(shù)法和均布法減小了23.7%和16.4%.

圖14 采樣線擬合誤差Fig.14 Fitting error of sample curve

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Measuring points optimization in machining error inspection based on reconstruction of NURBS control points driven by sensitive points

LAI Jin-tao,FU Jian-zhong,SHEN Hong-yao,GAN Wen-feng
（College of Mechanical Engineering,Zhejiang University,Hangzhou 310027,China）

A new method to optimize the sampling points of free-form surface was proposed in the surface error inspection based on reconstruction of NURBS control points.The NURBS surface was analyzed,and the points mostly affected by the control points and the extreme points were defined as the sensitive points of the surface.The machined surface was obtained by reconstruction of NURBS control points using the measurement data at the sensitive points.The machining error of the surface can be achieved by calculating the difference between the machined surface and designed surface.Then the accuracy of the surface can be further evaluated and compensated.The experiment was conducted on a NURBS surface and the machining error of the part was achieved both through the on-machine method and the coordinate measurement method.The uniformly distribution method,the equi-parameter method and the proposed method for measuring points selecting were applied to the NURBS surface.Results showed that the machined surface with the sensitive point method had a better fitting accuracy.

NURBS surface；reconstruction of control points；sampling points optimization；on-machine measurement

10.3785／j.issn.1008-973X.2015.07.001

TH 161

A

1008- 973X（2015）07- 1201- 07

2014- 05- 17. 浙江大學學報(工學版)網(wǎng)址：www.journals.zju.edu.cn／eng

國家自然科學基金資助項目（51175461）；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目（20120101110055）.

賴金濤（1988－）,男,博士生,從事自由曲面加工誤差在機測量的研究.ORCID：0000-0002-6621-0460.E-mail：ljt88＠zju.edu.cn

,傅建中,男,教授,博導.E-mail：fiz＠zju.edu.cn