鞏明珠

向量近代理科中最重要也是最基本的數(shù)學(xué)概念之一，兼具代數(shù)的性質(zhì)和幾何的性質(zhì)。同時(shí)，向量是高中數(shù)學(xué)最主要的知識(shí)點(diǎn)，是學(xué)生用來解決高中幾何問題的主要手段。

一、高中幾何向量的概念

在高中數(shù)學(xué)的幾何中，向量是一種兼具數(shù)值大小和箭頭方向的幾何對(duì)象。幾何向量，也叫歐幾里德向量，是平面向量和空間向量的組成元素。其表達(dá)方式是一個(gè)帶箭頭的線段。箭頭的指向代表了向量在平面或者空間里的方向，線段的長度則是向量在數(shù)值上的大小。一個(gè)向量可以有三種表達(dá)方式。用小寫字母a、b、c…和希臘符號(hào)…表示一個(gè)向量是代數(shù)表示法。用有向線段和單位向量AB來表示一個(gè)向量是幾何表示法，如圖1。用平面坐標(biāo)OXY或；立體坐標(biāo)OXYZ來表示一個(gè)向量則是坐標(biāo)表示法，如圖2。幾何向量的幾何性質(zhì)決定了向量的運(yùn)算定理。加法、減法、乘法是較為常見的數(shù)值運(yùn)算，如表1所示。數(shù)量積是幾何數(shù)學(xué)里特有的一種數(shù)乘運(yùn)算，而向量積則是幾何向量獨(dú)有的運(yùn)算方式，如圖3。

二、高中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何向量的問題

高中數(shù)學(xué)對(duì)幾何向量知識(shí)點(diǎn)的考查主要集中在基礎(chǔ)知識(shí)和應(yīng)用解題這兩個(gè)方面?；A(chǔ)知識(shí)方面，考查的是向量的基本概念和運(yùn)算方式，一般都以求長度、求夾角、判斷幾何形狀和垂直、平行等關(guān)系的選擇題、填空題為主。應(yīng)用解題方面，考查的是向量知識(shí)與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，一般都是以數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)來設(shè)計(jì)解答題的。

三、高中幾何向量的具體應(yīng)用

（一）用向量來解平面幾何。平面向量既有大小又有方向，可以進(jìn)行數(shù)值上的代數(shù)運(yùn)算，也可以利用幾何性質(zhì)進(jìn)行幾何演算。

【例1】已知定點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（-1，0）和（1，0），點(diǎn)P是圓（x-3）2+（y-4）2=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2+2的最大值和最小值。

【解題思路】根據(jù)題目中的說明，建立起OXY的平面直角坐標(biāo)軸，將點(diǎn)A和點(diǎn)B標(biāo)注在坐標(biāo)上。然后根據(jù)圓的幾何公式，假設(shè)圓心為點(diǎn)C，求出圓心的位置坐標(biāo)。接著，假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），代入公式，求出2+2的長度區(qū)間。

【解題過程】如圖4，以x為橫軸，以y為豎軸，建立平面直角坐標(biāo)軸，設(shè)圓心為點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 。

因?yàn)?（-1，0），=（1，0），所以+=0，·=-1。

由中點(diǎn)公式可以得出+=2，所以，

2+2=（+）2-2·

=（2）2-2（-）·（-）

=42-2·-22+2（+）

=2+2

又因?yàn)?（3，4），點(diǎn)P在圓（x-3）2+（y-4）2=4上，

所以=5，=2，=+

得出結(jié)論，-≦=≦+

即3≦≦7

所以，20≦2+2=2+2≦100

答：2+2的最大值是100，最小值是20。

（二）用向量來解立體幾何

空間向量就是把平面向量及其線性運(yùn)算推廣到了空間，主要用來解決三維空間的圖形問題。

【例2】已知四棱錐S-ABCD中，SA=SB=SC=SD=AB=BC=CD=AD，P為SD上的一點(diǎn)。

求證：（1）ACSD；（2）SD平面PAC時(shí)，SC上是否存在一個(gè)點(diǎn)E，使得BE//平面PAC。如果點(diǎn)E存在，則求出SE：EC的值；如果點(diǎn)E不存在，則說明不存在的理由。

【解題思路】根據(jù)題目中的說明，建立起OXYZ的空間直角坐標(biāo)軸，利用向量的垂直條件·=0，則，可以證明出和這兩個(gè)向量的平行關(guān)系。而要滿足線面平行的條件，就要通過運(yùn)算得出l//·=0的結(jié)果。

【解題過程】如圖5，連接BD，假設(shè)AC和BD的交點(diǎn)是點(diǎn)O，依據(jù)題目中的說明可知，SO平面ABCD。所以，以點(diǎn)O為空間直角坐標(biāo)軸的坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B為x軸，以通過O的AC為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)軸。證明如下：假設(shè)AB=a，可知OS=a，得出點(diǎn)S的坐標(biāo)是（0，0，a），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-a，0，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，a，0）。因?yàn)椋?（0，a，0），=（-a，0，-a）·=0，所以，ACSD。

四、結(jié)語

綜上所述，向量是一種帶有幾何性質(zhì)的量，是一套具有優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)體系。高中學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何數(shù)學(xué)時(shí)會(huì)遇到對(duì)向量的認(rèn)識(shí)不清、忽視向量法的適用性和資料總結(jié)嚴(yán)重匱乏這三種問題。因此，高中數(shù)學(xué)教師在教授學(xué)生用向量法快解決數(shù)學(xué)問題的實(shí)際應(yīng)用中要參照本文列舉出的典型題型解題方式，幫助學(xué)生理順題目說明中提供的線索，明晰解題的思路和步驟，條理清晰地解決問題，讓學(xué)生能夠輕易地理解，熟練掌握用向量法解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的具體應(yīng)用方式。